思维工具趣谈（一）——欧氏几何和非欧几何默认分类 2008-07-20 12:52:02 阅读200 评论1 字号：大中小 订阅 读过初中的朋友都学过欧氏几何，它是2000年前就创建的、现在还在广泛应用的线性科学。 对非欧几何，大家可能就不是那么熟悉了，至于第一个非欧几何的产生过程，估计知道的人更少——这是一个很有趣的过程！ 欧氏几何是在五条公设的基础上，经过严密的形式逻辑推导出来的公理体系。 公设就是公认的、不需要经过证明的定理。 长期以来，数学家们对欧氏几何的第五公设颇有疑议，因为这个公设直到第二十九个命题中才用到，而且仅用一次，以后再也没有使用。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 第五公设的内容是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基决定用反证法来检验五公设是否正确。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设——“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。 如果这个系统最终出现自相矛盾的结果，根据反证法的定义，就证明原先的假定是错误的，也就等于证明了第五公设的正确。 但是，在他极为细致严格的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最终罗巴切夫斯基得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论体系。这个体系是一个像欧式几何一样完善、严密的几何学——这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，也是第一个被创立的非欧几何学。 几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。 1851年，德国数学家黎曼创立了另一个非欧几何——黎曼几何。 欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。 罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。 黎曼几何讲“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。 不同的几何，适用于不同的范畴。 欧氏几何是日常生活中应用最广泛的几何，它与经典力学一样，是线性的科学，是绝对的线性时空观，所以它与相对论的时空观是不相容的，欧氏几何不能用于相对论。而黎曼几何是非线性的球面几何，它与相对论的时空观是相容的，近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 线性科学只能逼近和近似的描述真实世界，我举两个例子来说明欧氏几何的线性特征： 一个是大家熟悉的造房子。 如果我们要造一幢矩形的房子，设计图纸上的房子一定是矩形的，造出来的房子，两边的墙也一定是与地面垂直的，但是我们可以肯定一点，那就是这幢房子决不会是标准的长方形，这幢房子屋顶的长度一定大于底面的长度——因为这幢房子实际上一定是扇形的！ 另一个例子就是飞机跑道。 飞机跑道必须确保跑道上的任何一段都保持水平，在图纸上它一定是一根平直的直线，但是实际造成的跑道一定是一根圆弧——与地球曲率一样的圆弧，否则它就无法保证任何一段都保持水平。 为什么理论上的直线，都变成曲线了呢？原因就在于真实世界里，没有一样东西可以摆脱地球的引力——在引力场里，空间（直线）发生了扭曲，所以线性的几何只能逼近真实世界的非线性，也一定无法适用于非线性的科学，譬如相对论。 所以欧氏几何和其他线性科学一样，在精度、标度、维度为常规范围时，是可以逼近和描述真实世界的，但是当精度要求高、标度大、速度大、不能忽略引力的情况下，它就不适用了。 非欧几何可以包容欧氏几何——欧氏几何实际上可以看成非欧几何的特例——欧氏几何就是当曲面几何的曲率无穷小，曲面变成平面时候的几何。 可见非线性科学包容线性科学，是高于线性科学的科学，这就像彩色电视机和黑白电视机——彩色电视机可以放映黑白画面，黑白画面只是彩色的一个特例，但是黑白电视机不能放映彩色画面，所以彩电包容黑白电视机，高于黑白电视机。 但是由于欧氏几何是线性的，所以非常容易学习、理解、运用、推广，在常规范畴，它的精度也够了，所以我们不排斥它，还在大量的用它。只是我们一定要懂得它有局限性，有适用范围，它只能逼近和近似的描述真实世界，它只是人造的线性思维工具，并不是真实世界的客观规律。 我们现在的教科书里，都没有对孩子进行这样的教育，所以大部分孩子的脑子里，都没有线性和非线性的概念，这造成绝大多数孩子长大后，难以理解非线性思维和非线性科学——譬如相对论的时空扭曲概念，很多人就一直不能理解！我在后面，还会举出不少这样的例子——难道我们的教育不应该进行这种改进吗？ 谢谢！ 商与儒 |
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