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倍数与因数奥数测试题

 昵称6925888 2011-05-10
倍数与因数奥数测试题(2009-09-27 16:42:50)

人教版《因数与倍数》

一、基础与提高。

1、教学目标:

(1)认识自然数、整数、倍数、因数;

(2)认识奇数和偶数,掌握2,3,5的倍数的特征。

(3)在1-100中,能找出10以内某个自然数的所有倍数;能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中,能找出某个自然数的所有因数;能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

(5)利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

2、基础知识讲解:

●自然数a除以自然数b(0除外),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。

如果a能被b整除,a叫做b的倍数,b叫做a的因数。

●能被2,3,5整除的数的特征:

2的倍数特征:个位是0,2,4,6,8的数

5的倍数特征:个位是0,5的数

3或9的倍数特征:各个数位上的数字之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征:末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征:末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征:奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。

●奇数与偶数:能被2整除的数叫偶数,不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数:一个数除了1和它本身以外,没有其它的因数,这个数叫做质数(素数)。一个数除了1和它本身外,还有别的因数,这个数叫做合数。1既不是质数,也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫做分解质因数。

●最大公因数与最小公倍数:一般情况用短除法求。

特殊情况:倍数关系:(m,n)=m      [m,n]=n  (n是m的倍数)

              互质关系:(m,n)=1      [m,n]=mn

3、经典例题:

例1:下列哪些式子是整除式?

(1)8.8÷1.1=8        (2)130÷10=13

(3)29÷7=4……1      (4)14÷5=2.4

     分析与解:根据整除的定义,被除数和除数必须是整数,商是整数而没有余数才叫整除,因此只有(2)式才是整除式。

 

例2:写出24的因数和倍数。

分析与解:因为1×24=24    2×12=24    3×8=24    4×6=24

所以24的因数有:1,2,3,4,6,8,12,24

因为24×1=24,24×2=48,24×3=72,24×4=96……

所以24的倍数有24,48,72,96……

 

例3:一个数万位上是最小的合数,百位上是最大的一位数,个位上是最小的质数,百分位上的数既不是质数也不是合数,其余数位的数字是零,这个数是多少?

    分析与解:最小的合数是4,最大的一位数是9,最小的质数是2,既不是质数也不是合数的数是1。所以这个数是40902.01。

 

例4:1路汽车每隔3分钟发一次车,3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车同时发车后,至少再过多少分钟后又同时发车?

    分析与解:1路汽车每隔3分钟发一次车,就是指发车时间是3的倍数,3路汽车每隔5分钟发一次车,就是指发车时间是5的倍数。至少再过多少分钟又同时发车一次,只要求是3和5的最小公倍数即可。

    [3,5]=15。

   答:至少再过15分钟后又同时发车。

 

例5:小明想把一张长36厘米,宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形,最后没有多余,请问这些正方形的边长是多少?一共可以折出多少个正方形?

    分析与解:要想使最后没有多余,那么正方形的边长必须是36的因数,也必须是24的因数,这些因数里最大的一个就是正方形的边长。

    (36,24)=12

     36÷12=3

     24÷12=2

     3╳2=6

    答:这些正方形的边长是12厘米,一共可以折出6个正方形。

 

例6:为庆六一,六年级同学买来336枝红花,252枝黄花,210枝粉花,用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花?在每束花中,红、黄、粉三种花共有几枝?

    分析与解:要使每一束花的花束最多,并且没有剩余,就是求每束花的最大公因数。

    (336,252,210)=42

     336÷42=8

     252÷42=6

     210÷42=5

     8+6+5=19(支)

     答:这些花可以扎成每束最多42束同样的花,在每束花中,红、黄、粉三种花共有19支。

 

4、数学思想方法总结:

   在实际应用时,如何区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题.其实,可以把问题模型化,画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最大公因数.把若干个长方形拼成一个边长最小的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最小公倍数.

5、设计构想:

    <倍数与因数>的知识点相当多,概念特别容易混淆,建议同学们把这部分知识整理成知识树,理清它们的区别与联系。本单元的题型也很多,通过各种各样的题型练习,同学们可以学会如何审题,找到具体问题与实际知识点之间的联系。

6、巩固练习:

1、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。

   分析与提示:4和25是互质数,同时能被4和25整除的数一定是100的倍数,这个最小五位数是10000。

 

2、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合,甲齿轮有28个齿,乙齿轮有42个齿,当这两个齿轮第二次咬合时,乙齿轮转了几圈?

    分析与提示:[28,42]=84

    84÷42=2

    答:乙齿轮转了2圈。

 

3、(1)A和B都是自然数,若A÷B=10,那么A与B的最大公因数是(    ),

最小公倍数是(    )。

(2)若A=3×2×5×7   B=3×5×2×11,则A和B的最大公因数是(    ),最小公倍数是(    )。

    分析与提示:(1)A和B是倍数关系时,且A大于B,A与B的最大公因数是B,最小公倍数是A。

    (2)A和B的最大公因数是3×2×5=30,最小公倍数是3×2×5×7×11=2310。

 

4、有两个数,它们的最大公因数是15,最小公倍数是225,其中一个数是45,另一个数是多少?

    分析与提示:两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数。所以另一个数是15×225÷45=75。

 

5、有两个数,其中的一个数是另一个数的,已知它们的最小公倍数是54,那么这两个数的最大公因数是多少?

     分析与提示:将“其中的一个数是另一个数的”这句话进行转化得:“另一个数是这个数的3倍”,可发现,当两个数是倍数关系时,它们的最小公倍数就是较大的那个数,所以这两个数分别是54和18,它们的最大公因数是18。

 

6、长和宽为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?

        分析与提示:因为105=1╳105=3╳35=5╳21=7╳15

        可把每一组数据当做长方形的长和宽,故有5种。

 

7、一个长方形的面积是240平方厘米,长和宽是相邻的两个自然数,这个长方形的周长是多少厘米?

         分析与提示:240=15╳16,所以这个长方形的周长是(15+16)╳2=62厘米。

 

8、把14、33、6、55、35、49这六个数平均分成两组,使这两组数各自的积相等。

        分析与提示:先把这6个数分解质因数:

        14=2╳7

        33=3╳11

        6=2╳3

        55=5╳11

        35=5╳7

        49=7╳7

       在这6个因式中,共有2个2,2个3,2个5,2个11,4个7。

       所以这两组只能是49,6,55和14,35,33。

 

二、数学能力的拓展与提高。

1、数学思维方法的讲解。

(1)在求公倍数时,每3天去一次与每隔3天去一次并不一样,要注意区别。

(2)求一个数的因数有多少个,有一个公式,请同学们掌握,同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。

 

2、数学思维方法的应用。

例1:若A=32×54×75,那么A有多少个因数?

     分析与解:A的因数含有因数3的有3种情况,含有因数5的有5种情况,含有因数的有6种情况,搭配起来,共有3╳5╳6=90种情况。

     答:A有90个因数。

     由上题我们可发现求因数个数的计算方法:

     若A分解因式的结果是:

     A=am×bn×……×cp

     那么A的因数有(m+1)×(n+1)×……×(p+1)个。

 

例2:有0,1,5,7,6五张卡片,从中选出四张组成一个四位数,使得这个数能被2整除,又能被3整除,这个数最大是多少?

      分析与解:先选择较大的数。若选择7,6,5,1四个数,不管组成的数是多少,都不能被3整除,故选择7,6,5,0四个数字,这个数最大是7650,它既能被2整除,又能被3整除。

 

例3:六年级72名学生共捐款( )85.9()元,若每人捐款的数量两样多,请你推测每人捐了多少钱?

       分析与解:因为72=8×9,8和9互质,所以( )859( )这个数一定是8和9的倍数。

      若是8的倍数,那么59( )一定是8的倍数,只有592是8的倍数。

      若是9的倍数,8+5+9+2=24,只有24+3=27,所以这个数只能是38592。

      385.92÷72=5.36(元)

      答:可推测出每人捐人5.36元。

 

例4:某班学生人数在40与50之间。如果分成6人一组,那么有一个小组少4人;如果分成8个人一组,那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。

      分析与解:先假设这个班的人恰好可分成6人一组,也恰好可分成8人一组,那么这个班的人数就是8和6的公倍数,在40-50之间的数满足这个条件的只有48,尝试一下:

48-4=44

44÷8=5……4

满足条件。

答:这个班的人数是44人。

 

例5:从学校到少年宫的路上,一共有37根电线杆,原来每2根电线杆之间相距50米,现在要改成每2根之间相距60米,除两端的2根不需移动外,中间还有多少根不必移动?

        分析与解:先求出学校到少年宫的路程:

        (37-1)×50=1800(米)

         [50,60]=300

         所以第300米、600米、900米、1200米、1500米处的电线杆不必移动。

         答:中间有5根不需要移动。

           

3、巩固练习:

 

1、一个最简分数,分子、分母的和是50,如果把这个分数的分子、分母都减去5,所得分数的值是,原来的分数是(    )。

A、    B、    C、    D、

    分析与提示:原来分数的分子与分母的和是50,把这个分数的分子和分母都减去5后,现在分子与分母的和是40,分数的值是,现在分数的分子是40÷5╳2=16,分母是24,原来的分数是,故选择B。

 

2、警察查找一辆肇事汽车牌号(四位数),一位目击者对数字很敏感。他提供说:“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数,前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔叔猜出这个车牌号吗?

     分析与提示:最大的两位偶数是98,倒推法得到前两位数是(98-2)÷4=24。所以这个车牌号码是2498。

 

3、一个能被2和3同时整除的四位数,它的千位上的数既是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它的十位上的数是最小的质数,个位上的数是多少?

      分析与提示:千位上的数是9,百位上的数是1,十位上数是2,同时又因为这个四位数能同时能被2和3整除,所以个位上的数可能是0或6。

 

4、一筐苹果不超过250个,3个3个地数,5个5个地数,7个7个地数恰好数完。这筐苹果最多有多少个?

      分析与提示:这筐苹果肯定是3的倍数,5的倍数,7的倍数。[3,5,7]=105,在250以内,这堆苹果最多有210个。

 

5、商店里有6箱货物,分别重16,17,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问:商店里剩下的1箱货物重多少千克?

       分析与提示:这6箱货物共重16+17+18+19+20+31=121千克,因为一个顾客的货物是另一个顾客的2倍,这两个顾客买走了其中的5箱货物总重一定是3的倍数,只有121-16=105,121-19=102,121-31=90满足条件。

       105÷3=35       35=17+18      满足要求;

       102÷3=34       34=16+18      满足要求;

       90÷3=30                      不满足要求;

       答:商店里剩下的1箱货物重16千克或19千克。

 

6、甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一点同时同向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?

       分析与提示:甲跑一圈需要时间:600÷3=200(秒)

                   乙跑一圈需要时间:600÷4=150(秒)

                   丙跑一圈需要时间:600÷2=300(秒)

                   [200,150,300]=600

       答:经过600秒三人又同时从出发点出发。

 

7、500位同学站成一排,从左到右数“1,2,3”报数,凡报到1和2的离队,报3的留下,向左看齐再重复同样的报数过程,如此进行了若干次后,只有两位同学了,这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个?

      分析与提示:第一次报数留下的人是3,6,9,12,……恰好是3的倍数。

      第二次报数留下的人是9,18,27,……恰好是9的倍数。

      第三次报数留下的人是27,54,81,……恰好是27的倍数。

      第四次报数留下的人是81,162,243,……恰好是81的倍数。

      第五次报数留下的人是243,486号同学。

      答:这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。

 

三、数学思维训练。

1、经典例题:

例1:在六位数568□□□的方框中填入三个数字,使这个六位数能被3,4,5整除。求满足条件的最小的六位数。

分析与解:设六位数为568ABC,因为六位数分别是3,4,5的倍数,所以:

(1)5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数,即A+B+C被3除余2。

(2)BC 是4的倍数。

(3)C=0或5。

由此可知,C=0,且B是0,2,4,6,8之一。

由于要求最小的六位数,所以A从最小数开始试验,有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六位数为568020。

 

例2:已知七位数92AB427能被99整除,求这个七位数。

分析与解:因为99=9╳11,且9和11互质,所以所求的七位数要能被9和11整除。有:

(1)9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数,得:

A+B=3或    A+B=12

(2)9+4+7+A-(2+2+B)=16+A-B是11的倍数,得:

A-B=6或  B-A=5,

对比条件可知,只有当A+B=12,A-B=6时,A、B有解:

A=9  ,B=3

因此所要求的数是:9293427

 

例3:把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块,而没有剩余,问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少?共可裁成几块?

分析与解:要把长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块,还不能剩余,这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求是最大的正方形纸块,所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。

1米3分米5厘米=135厘米

1米5厘米=105厘米

(135,105)=15

长方形的面积是:135╳105=14175(平方厘米)

正方形的面积是:15╳15=225(平方厘米)

共可裁成正方形纸块:14175÷225=63(张)

 

例4:一盒铅笔,可以平均分给2,3,4,5,6个小朋友,这盒铅笔最少有多少支?

分析与解:这些铅笔可以平均分给2,3,4,5,6个小朋友,因此,铅笔的支数一定是2,3,4,5,6的公倍数,求铅笔最少有多少支,就是求2,3,4,5,6的最小公倍数。

[2,3,4,5,6]=60

 

例5:两个质数的和是50,求这两个质数的乘积的最大值是多少?

     分析与解:把50表示为两个质数的和,共有四种形式:

50=47+3=43+7=37+13=31+19

经计算发现:31╳19=587最大。

 

例6:试写出十个连续的自然数,个个都是合数。

分析与解:我们要想找出十个连续的自然数而且每个数都是合数,显然1,2,3,4,5,6,7,8,9,10是不行的,因为这十个自然数不是个个都是合数。

我们设K=1╳2╳3╳4╳5╳6╳7╳8╳9╳10╳11

那么K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个数。

K是2的倍数,所以K+2能被2整除;

K是3的倍数,所以K+3能被3整除;

K是4的倍数,所以K+4能被4整除;

……

K是11的倍数,所以K+11能被11整除。

所以K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个合数。

 

2、数学思维训练题:

 

1、爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过几年是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少?

      分析与提示:此题先可以这样想:

设小明今年X岁,爷爷今年就是7X岁。再过A年,可列方程:

6(X+A)=7X+A

解得X=5A

再过B年,可列方程:

5(X+B)=7X+B

解得X=2B

所以X既是5的倍数,又是2的倍数,所以X是10的倍数。可从10尝试验证。恰好得到爷爷今年70岁,小明今年10岁。

 

2、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练,甲跑一圈需要70秒,乙跑一圈需要75秒,两人约好同时从起点出发,到两人同时回到终点时结束晨练,那么这次晨练他们用了几分钟?

      分析与提示:[70,75]=1050。

1050÷60=17.5(分)

      答:这次晨练他们用了17.5分钟。

 

3、有一根绳子,分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断,那么这根绳子最后被剪成几段?

      分析与提示:假设这段绳子长60米。

       60÷10=6(米)

       60÷12=5(米)

       60÷15=4(米)

      10等分和12等分重叠的地方在30米处;

      10等分和15等分重叠的地方在12米、24米、36米、48米处;

      12等分和15等分重叠的地方在20米、40米处。

      9+11+14-7=27

      27+1=28(段)

      答:这根绳子最后被剪成28段。

 

4、大雪后的一天,小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长,他俩走的起点和

方向完全相同,小亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两人的脚印有重合,所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印,求花园的周长。

      分析与提示:[54,72]=216

                  216÷54=4(步)

                  216÷72=3(步)

                  4+3-1=6(步)

                  60÷6╳216=2160(米)

          答:花园的周长是2160米。

 

5、有一根长方体木料,它相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米,长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米,如果把它锯成若干个小正方体并能拼成一个大正方体,那么这个长方体的长、宽、高各是多少?这根长方体木料最少能锯成几个小正方体?需要锯几次?

         分析与提示:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,可列式:

         Ab=108   bc=32

         108=2╳2╳3╳3╳3     32=2╳2╳2╳2╳2

         由上可知宽一定是108和32的公因数(1除外),所以:

         B=2或4

         那么它的长、宽、高分别为54,2,16或者是27,4,8。

         当长、宽、高分别为54,2,16时,最少可锯成棱长是2厘米的小正方体共:(54╳2╳16)÷(2╳2╳2)=216(个)。需要锯的次数为:

54 ÷2=27    27-1=26(次)

16÷2=8      8-1=7(次)

共    26+7=33(次)

           当长、宽、高为27,4,8时,最少可锯成棱长是4厘米的小正方体,除去余料,共:(24╳4╳8)÷(4╳4╳4)=12(个)。需要锯的次数为:

             27÷4=6……3   

             8÷4=2       2-1=1(次)

           共  6+1=7(次)

 

6、爷孙俩人今年的年龄乘积是693,4年前他们的年龄都是质数,爷孙俩人今年各多少岁?

       分析与提示:先将693分解质因数:

           693=3╳3╳7╳11

           根据一般生活情况,爷爷和孙子现在的年龄只可能分别是:63岁和岁11,77岁和9岁,99岁和7岁。而4年前他们的年龄都是质数,爷孙俩今年各是63岁和11岁,或77岁和9岁。

 

7、一个长方体的正面和上面和面积和是209平方米,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?

        分析与提示:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,列式等式:ab+ac=209,即a(b+c)=209,a(b+c)=11╳19,而a,b,c都是质数,满足条件的数只有2,11,17。所以这个长方体的体积是374立方米。

 

8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面,得到一个三位数,这个三位数是A的87倍,求A和B。

       分析与提示:可列式:10B+A=87A

                           86A=10B

                     可得A=5,B=43

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