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庞加莱猜想(全文)2

 weicat 2011-05-11

庞加莱猜想(全文)2

(2005-12-19 21:55:11)
几何的基本观点

神乃几何学家。
—— 柏拉图


德国大学有一个传统:任何人在获得教职时必须发表就职演说。1854年,被聘为
G\"ottingen 大学讲师的 G. F. B. Riemann 向上级提交了三个题目作为候选的就职
演说标题。按惯例,上头将会在前两个题目中选择一个,所以 Riemann 只认真准备
了前两个。但 Gauss 选择的是第三个。Riemann 仓促准备后便上阵了,结果整个大
厅里只有 Gauss 一个人听得懂。这篇演讲成为几何学史上里程碑式的文献:《论几
何学的基本假设》(\"Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde
liegen)。

在这篇演讲中,Riemann 提出了流形的概念,并且指出:流形上赋予一个度量后,
便可以研究其几何性质,如长度、角度、曲率等等。当时已经存在了两千年的球面几
何和欧氏几何,以及新兴的双曲几何,都可以归结到 Riemann 的观点下来,即,曲率
分别为常数+1,0,-1的几何。

1872年,23岁的 Felix Klein 在就任 Erlangen 大学教授时,发表了另外一篇对
几何学影响深远的就职演说,这便是后人所说的"Erlanger Program"。Klein 提出,
几何学所研究的是空间在变换群作用下不被改变的性质,并可以据此对几何学进行分类。
例如,球面几何研究的就是 S^n 在群 O(n+1) 作用下不改变的性质,而欧氏几何研究
的是 R^n 在平移、旋转、反射等变换下不改变的性质。

Riemann 和 Klein 对几何学的认识代表着几何学的不同侧面。Klein 的观点更为
古典一些。Riemann 的思想在提出后的六十年中一直没被充分理解,也没有得到足够重
视,直到广义相对论诞生后,它才进驻到几何学的中心。

时光跳转至20世纪70年代末。William P. Thurston 在研究三维拓扑的过程的中,
提出了这样一个问题:按照 Klein 的观点,三维流形上可能有多少种有意义的几何?
这个问题并不困难,梢加细致的讨论后,Thurston 得出答案:八种, 它们是:

S^3 (三维球面几何)
E^3 (三维欧氏几何)
H^3 (三维双曲几何)
S^2×E^1
H^2×E^1
Nil
Sol

后几种几何的确切含义可以参见[Th4]。在这八种中,最复杂、也最重要的是双曲
几何。双曲几何,或称“非欧几何”,其创立过程在很多科普书籍里都有记叙(见[LZ]),
这里不再赘述。Thurston 的工作在某种程度上表明,大多数三维流形上都可以有双曲
几何,因而双曲几何对于三维流形便尤其重要。


参考文献:

[LZ] 李忠,周建莹,“双曲几何”,湖南教育出版社 (1991).

[Th4] W. P. Thurston, "Three-dimensional geometry and topology", Princeton
University Press (1997).

造化爱几何

Direct arguments remain essential, but 3-dimensional topology has now
firmly rejoined the main stream of mathematics.

—— C. T. C. Wall


Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形:我们总可以给微分流形赋予一个
Riemann度量,从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了,因为 Klein
意义下的几何对度量的要求非常特殊,并不是所有的流形上都能有这样的几何。不
过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何,这就是 Riemann, Klein, Poincar\'e,
Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说,在可定向闭
曲面里,S^2上当然是球面几何,T^2上则可赋予欧氏几何,双环面等更复杂的曲面
上可以有双曲几何。

三维以上就没有这么好运了,Thurston 的天才创见就在于:提出了单值化定理
在三维情形的类比,我们将在下面向读者简略介绍其内容。

类似于前面所介绍的曲面的连通和,对三维流形也可以有连通和的概念。拿两
个三维流形,在每个里面挖去一个开的实心球,这样每个三维流形里就出现了一个
空穴。然后把两个带空穴的流形沿着空穴的边界(是球面)粘起来,得到的就是两个
流形的连通和。连通和的逆操作就称为连通和分解,即把一个三维流形沿着某个满
足一定条件的球面割开,使之分为两块。然后沿着那个球面在每块上粘一个实心球。
对每个得到的流形,还可以继续作连通和分解,直至无可再分。

任取一个紧致的(可能带边)三维流形,尽量作连通和,把它分成尽可能简单的
三维流形的连通和,就好比对整数进行质因数分解。这一步的存在性是由 H. Kneser
在1929年证明的。五十年代末 John Milnor 发现怪球后,转而研究三维流形,首先
考虑的就是这一步。有人告诉他 Kneser 已经做了这方面的工作,Milnor 便去研读
原文,发现把证明方法稍加改进还可以进一步证明某种唯一性。Kneser-Milnor 的
这个定理就是我们处理三维流形的第1步。

拓扑学家的基本想法是沿着一些曲面把三维流形割开,第1步本质上是沿着一些
球面割开,而球面可说是最简单的曲面。另外一种简单的曲面是圆盘,——如果起
初考虑的是带边流形的话,那可能还需要沿着一些圆盘继续切割。这姑且算作第1.5
步,它的可行性是依据 Papakyriakopoulos 的奠基性工作。

除了球面和圆盘外,最简单的曲面就是环面和平环(annulus,即两个同心圆及
其间夹的部分)。上世纪七十年代,Waldhausen, Jaco, Shalen, Johannson 证明了:
经前面处理后的三维流形,有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平
环)割开,使每小块尽可能简单。这就是我们的第2步,通常用后三人的姓命名为 JSJ
分解。(见[JS],[Jo].)

Jaco 等人公布他们的工作后,Thurston 几乎立即敏锐地洞察到其中的几何内
蕴。他指出,紧致三维流形经过前面若干步操作后,剩下的每一小块都能赋予几何
结构,即附录二所说的八种几何结构之一。而且这种几何结构在某种意义上是比较
“好”的,例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。这便是我们今天所说的
Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。Thurston 本人对 Haken
流形证明了他的猜想,这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深,强烈地
依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂上讲授这一证明,并将
未正式出版的讲义[Th1]在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人,间接复
印的则更多,可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式发表他的证明。
他计划写一系列共7篇文章,第一篇[Th3]于1981年投出,1986年才得以发表,可见
其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传,后面的几篇甚至根本没有出现。

Thurston 本人曾说,他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度
引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍
Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性,但像 Thurston 这样直
觉远超乎常人的天才人物,根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活
自然有很多人抢着替他干,其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾
给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明(见[MB]),McMullen 以别的
方法也给过严格证明。同样的事情也发生在 Thurston 其余的几个重要定理上。直
至今日,他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。

需要指出,在几何化猜想之前,Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation
方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清
晰著称,这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙,
你就必须做一些非常实实在在的工作以立足;只有当你成为 Thurston, Gromov 那
样的大师时,你才有资格指点江山、勾画蓝图,而把具体工作留给别人去做。

Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar\'e 猜想,最近对 Poincar\'e 猜
想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar\'e
猜想。因为 Poincar\'e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题,而 Thurston
描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双
曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在
他之前,低维拓扑虽然也做得很热闹,也有 Milnor 等大人物涉足其中,但毕竟只是
拓扑里一个偏僻的分支,引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后,低
维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位,引起广泛关注。


参考文献。

[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).


[JS] W. H. Jaco, and P. B. Shalen, "Seifert fibered spaces in 3-manifolds",
Mem. Amer. Math. Soc. No.220 (1979).

[Jo] K. Johannson, "Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundaries",
Lecture Notes in Mathematics 761, Springer-Verlag (1979).

[MB] J. W. Morgan, and H. Bass, "The Smith conjecture", Academic Press
(1984).

[Th1] W. P. Thurston, "The geometry and topology of 3-manifolds", Princeton
University (1978).

[Th3] W. P. Thurston, "Hyperbolic structures on 3-manifolds I: Deformation
of acylindrical manifolds", Ann. Math. 124(1986), 203-246.

Free at last?

这种相信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案,你能
通过纯思维找到它,因为在数学中没有ignorabimus(不可知)!

—— David Hilbert


要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想,传统的几何、拓扑方法已经无能为力
了,需要发展新的方法。1982年,Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪
爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在[Ha]中提出了 Ricci flow 的概
念,给几何化猜想带来一丝曙光。

所谓 Ricci flow,“流动”的是度量。在流形上随便给定一个初始度量,Hamilton
让它随时间变化,并用一组偏微分方程来描述这种变化,这便是 Ricci flow. Hamilton
期望,在特定的初始条件下,随着时间的增长,Ricci flow 能够流向比较“好”的
度量。二十多年来,Hamilton 等人做了大量工作,使 Ricci flow 发展为微分几何
里一种行之有效的方法。1996年,Hamilton 被授予 Veblen 奖,"for his continuing
study of the Ricci flow and related parabolic equations for a Riemannian
metric",与他同时获奖的是中国青年数学家田刚。

Hamilton 引入 Ricci flow 的一个非常明确的目标就是证明 Thurston 的几何
化猜想。所以当2002年底,俄国数学家 Grisha Perelman 宣布他用 Ricci flow 证
明了几何化猜想,从而解决 Poincar\'e 猜想时,数学界的第一印象是:这件事是挺
合乎情理的。

Perelman 总共有三篇文章。[Pe1]于2002年11月12日刊载在xxx.lanl.gov上;
[Pe2]于2003年3月11日刊载在同一网站;第三篇文章则还没开始写。Perelman 声称
世界上有三个人可以替他写这第三篇文章,不过他所指的三人之一却说自己不知道该
怎么写。

Perelman 的文章立刻激起了数学界的广泛关注,许多大学邀请他去作报告,也
有很多小组开始研读他的论文。审阅他论文的包括许多一流的微分几何学家,如
Richard Hamilton, Richard Schoen, 田刚等。至今还没发现他有什么错误。以 MIT
的两个小组为例,他们已经审阅完第一篇文章,第二篇还正在看。已经验证通过的部
分包含很多有趣且重要的结论。所以即使最后发现有错误,也是一个非常了不起的工
作。

目前数学界大部分人对此抱着比较乐观的态度,还没有人提出负面意见。甚至有
人已经急着要分一杯羹了:据说 Hamilton 宣称,因为 Perelman 大量使用了他的工
作(确是如此!),所以那一百万美元得分他一半。不过笔者并不清楚 Hamilton 究竟是
否说过这样的话,也不清楚他(如果说过)是以什么样语气说的。

Perelman 曾到美国访问过三年,当时已经能获得很好的职位。但他为了能心无旁
骛地研究几何化猜想,又回到俄国,销声匿迹长达八年之久,终于一鸣惊人。他原先
在圣彼得堡,一个月只挣一百美元,日子过得很不容易。通常我们写论文,都会感谢
某某基金会对自己提供的经济资助,但 Perelman 在[Pe1]中写道:"I was partially
supported by personal savings accumulated during my visits to the Courant
Institute in the Fall of 1992, to the SUNY at Stony Brook in the Spring of
1993, and to the UC at Berkeley as a Miller Fellow in 1993-95. I'd like to
thank everyone who worked to make those opportunities available to me."

现在 Perelman 当然不愁吃穿了,还有好多美国大学抢着聘他去,他都不愿意。
田刚说 MIT 找了几个俄国人劝他,试图向他证明 Boston 比圣彼得堡好。后来流传
一个笑话说他迟早会去美国,因为俄国的 Mafia 比较多,知道他得了一百万美元后,
他的安全会成问题……

当然了,现在断言 Perelman 将会获得一百万美元的巨奖还为时过早。就算他
的文章能够发表在权威数学刊物上,按 Clay 研究所的条件,还得两年无人指出其
中错误才能获奖。但无论如何,Perelman 的工作是对微分几何的巨大贡献,我们也
因此向着 Poincar\'e 猜想的最后解决又迈进了一大步。


也许我们真的就已经站在了终点上。

(完)

参考文献:

[Ha] R. S. Hamilton, "Three manifolds with positive Ricci curvature", Jour.
Diff. Geom. 17(1982), 255-306.

[Pe1] G. Perelman, "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric
applications", xxx.lanl.gov (2002).

[Pe2] G. Perelman, "Ricci flow with surgery on three-manifolds", xxx.lanl.
gov (2003).


低维拓扑

代数拓扑和微分拓扑是数学的女王。
—— Jean Dieudonn\'e


按其研究方法,拓扑可分为代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑。代数拓扑和微分
拓扑一直是拓扑学的主流,而几何拓扑更注重几何直观。很难说这三种拓扑学之间
有什么严格的界限,因为我们经常是综合使用三种方法的。

二十多年来在数学里颇为热门的低维(2,3,4维)拓扑更多地属于几何拓扑的范围,
因为传统的代数、微分方法在低维大多失效。关于为什么低维会比高维更困难,中
科院数学所的李邦河院士认为有如下原因:

一是 Whitney 技巧失效。这是微分拓扑的奠基人 Hassler Whitney 在三十年
代引入的一种把流形嵌入高维空间的的方法。但如果两者的维数相差过小,就无法
施行操作,原因在“维数的玩笑”一节中已经简略解释过。

二是示性类失效。示性类(characteristic class)是同调群中的一些特定元素,
可以反映流形的一些拓扑性质。但在低维情形,有意义的示性类非常少,能由此获
得的信息也很少。例如可定向三维闭流形的各种常见示性类都是0,四维流形有意义
的常见示性类也只有两三个。这使得代数拓扑的许多方法在这里都无能为力。

以上都还是技术原因,按笔者理解,还有一个心理原因。在许多问题上,低维
其实比高维容易得多(毕竟低维更容易想象,变化也更少),但就因为这样,人们对
低维问题的要求便更多更细,使低维时遇到的问题尤为困难。

举个例子,流形的分类问题在二维时早已解决,三维情形还不知道能否解决,
四维以上则是不可解的。事实上,任何一个有限表现(finitely presented)群都能
实现为某个四维闭流形的基本群。如果我们能够对四维流形进行分类,那么我们当
然就能对有限表现群进行分类,而这是不可能的:群论学家们已经证明了这种群的
区分是“不可解”问题,也就是说,不存在一种能够在 Turing 机上实现的算法来
判断任意两个给定的有限表现群是否同构。所以在流形的分类问题上,高维比低维
更困难,但我们在高维只能满足于部分的解答,只是在低维才期望一个完全的解答。

传统方法在低维时无能为力,数学家们便引进了种种奇奇怪怪的方法,使低维
拓扑同许多别的数学分支联系起来。我们在正文中已经谈过 Thurston 的工作. 几
乎就在同时,丘成桐, Meeks, Schoen 等人把微分几何里的“极小曲面”引入三维
拓扑,解决了一些基本的问题。Hamilton 的工作也算是将微分几何同三维拓扑联系
在一起。

四维拓扑里则是另外一番景象。就在 Freedman 证明四维 Poincar\'e 猜想后
几个月,Atiyah 的学生 Simon K. Donaldson 在他的博士论文中利用 Yang-Mills
场找到了一组四维流形的不变量。Donaldson 不变量是微分拓扑的不变量,因而能
够区分一些同胚但不微分同胚的四维流形。很快,Freedman 就用 Donaldson 的结
果发现了 R^4 上有不同的微分结构,后来人们又发现 R^4 上有无穷多种不同的微
分结构。(微分结构是流形上的一种结构,它使我们能像在通常的欧氏空间中一样在
流形上作微分。) 这是一个非常令人吃惊的结论,因为在 n≠4 时,R^n 上都只有
唯一的微分结构。Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与
其它维数空间不同的深刻性质,而且将四维拓扑与规范场论联系到了一起,他本人
因此获得1986年的 Fields 奖。

Donaldson 的理论吸引了大批数学家去研究,90年代初曾召开过一次这方面的
国际会议,有超过两百人参加。但 Donaldson 理论需要解SU(2)丛上的非线性偏微
分方程,计算十分困难,经过十年左右的努力,数学家们才摸到一些计算的门道。

1994年,Edward Witten 提出了一种新的不变量:Seiberg-Witten 不变量。
在 Seiberg-Witten 理论中,只需要解U(1)丛上的非线性偏微分方程,困难程度远
比 Donaldson 理论低,按 Taubes 的说法,"at least a thousand times easier".
但令人惊诧的是,它的威力与 Donaldson 理论不相上下,Witten 甚至能够从物理
上说明它们是等价的。

嗅觉敏锐的数学家们迅速扑向这个新理论,大量问题和例子瞬间被解决。如著
名的关于嵌入曲面亏格的 Thom 猜想,有四五组人几乎在同时用 S-W 理论给出了证
明。到1995年的春季学期,许多大学已经开设了讲授 S-W 理论的研究生课程;到
1996年,则有好几本关于 S-W 理论的专著面世,如[Moo],[Mor].

Seiberg-Witten 理论的一个严重后果是:除了少数动作最迅猛的人以外,其余
早先研究 Donaldson 理论的专家基本上都失业了,据说还有人因此而自杀。而且
Seiberg-Witten 不变量的计算实在太容易,(相对于 Donaldson 理论,) 以致于
那些好做的、有趣的问题在一两年内就全被人解决了。近年来 Seiberg-Witten 理
论虽然也有一些发展,但已经远不如它刚诞生时那样引人注目。当然这方面的研究
仍有很多,上学期 Princeton 就开设了两门 S-W 理论的研究生课程。Anyway, 包
括田刚在内的很多人都相信,四维拓扑在不远的将来还会迎来一次新的高潮。

低维拓扑与其余数学(或科学)分支的最令人惊异的结合发生在纽结理论中。纽
结理论(knot theory)是一门研究绳子打结方式的数学分支,它最早是由物理学家
William Thomson (Lord Kelvin) 于19世纪末开始研究的。那时普遍认为世界是
由“以太”构成,Kelvin 勋爵提出一种假说:以太在空间中产生旋涡,就像抽烟
时吐出的烟圈一样。旋涡可以打结,不同种类的结表示不同的化学元素。于是物理
学家们便开始研究纽结,并编制出了最早的纽结表。后来以太说被摒弃,物理学家
不再理会绳子如何打结,倒是数学家出于纯数学的兴趣研究它了。纽结理论早期的
研究进展记叙在一本被誉为"godgiven"的书[Ro]中,[Jia]则是一本很好的普及读物。

在低维拓扑进驻数学核心的同时,算子代数里也在发生着由 Alain Connes 领
导着的一场革命,新西兰数学家 Vaughan Jones 就是这场革命中的一员年轻干将。
一次,Jones 作一个学术报告,台下听讲的拓扑学家 Joan Birman 指出,他所写
的一组公式跟纽结理论里的一些公式非常相象。Jones 同 Birman 作了长谈,自己
又回去刻苦研究,终于发现了两者之间的内在联系。他利用 von Neumann 代数,
提出了一种新的纽结不变量:Jones 多项式。

Jones 多项式是一种威力强大的纽结不变量,但它并不复杂,后来 Kauffman
甚至提出了一种完全初等的看法,高中生便能读懂。所以很多人对 Jones 因此获得
1990年的 Fields 奖都感到很不以为然。但通过这么简单初等的多项式,Jones 把
纽结理论与算子代数这两个看上去完全没有关系的的两个数学分支联系到了一起,
进而使得纽结理论同量子群、李代数、统计力学、量子场论等许多数学和物理分支
发生了密切关系。

世界上有两种伟大的数学工作,一种是给很多人创造了饭碗,还有一种是砸掉
了很多人的饭碗,通常前一种更容易获得 Fields 奖。Jones 多项式无疑属于前一
种,由此甚至产生了一门被称为“量子拓扑学”的数学分支,发表了无数论文和专
著。Jones 多项式后来还有很多推广,比较有名的是由 Hoste, Ocneanu, Millett,
Freyd, Lickorish, Yetter 和 Prztycki, Traczyk 等人提出的 HOMFLY-PT 多项
式,Witten 利用拓扑量子场论提出的 Witten 不变量,以及 Vassiliev 不变量。

参考文献:


[Jia] 姜伯驹,“绳圈的数学”,湖南教育出版社 (1991).

[Moo] J. D. Moore, "Lectures on Seiberg-Witten invariants", Lecture Notes
in Mathematics 1629, Springer-Verlag (1996).

[Mor] J. W. Morgan, "The Seiberg-Witten equations and applications to the
topology of smooth four-manifolds", Princeton University Press (1996).

[Ro] D. Rolfsen, "Knots and links", Publish or Perish (1976).



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