实验２５ 薄透镜
透镜是构成显微镜、望远镜和照相机等多种光学仪器的基本光学元件。焦距是透镜的主要特性参量。因此，了解透镜成像的规律，测量透镜的焦距，是最基本的光学实验。测量薄透镜的方法有多种，本实验仅从中选出几种，作为光学实验的初步练习。 【预习重点】测量薄透镜焦距的几种方法和有关实验技术知识。 参考书：《光学》，母国光、战元龄编，第二、三、四章；《光学》上册，赵凯华、钟锡华编，第一章。 【仪器】光具座、ＧＧＱ５０型仪器高压汞灯、已知焦距凸透镜、待测焦距凸凹透镜各一片、物屏、像屏、平面镜、光栏和滤光片等。 【原理】凸透镜可使光线因折射而会聚，也称会聚透镜。凹透镜具有使光束发散的作用，又称发散透镜。 １）薄透膜成像公式通过透镜中心并垂直于镜面的几何直线称做透镜的主光轴。平行于主光轴的平行光经凸透镜折射后会聚于主光轴上的一点Ｆ，这点就是该透镜的焦点（见图２５—１）。一束平行于凹透镜主光轴的平行光，经凹透镜折射后成为发散光（见图２５—２）。将发散光束反向延长交于主光轴上的一点Ｆ，称之为凹透镜的焦点。从焦点到透镜光心Ｏ的距离就是该透镜的焦距ｆ。当透镜的厚度远小于焦距时，即为薄透镜。在近轴光线的条件下，它有最简单的成像规律：
式中：ｕ表示物距；ｖ表示像距；ｆ为透镜的焦距。ｕ、ｖ、ｆ均是从透镜的光心Ｏ点算起沿主光轴的距离。物距ｕ恒取正值。像距ｖ的正负由像的实虚来确定，实像时ｖ为正，虚像时ｖ为负。凸透镜的ｆ为正值，凹透镜的ｆ为负值。根据式（２５—１），测定了物距ｕ和像距ｖ，即可用下式计算出透镜的焦距： ｆ＝（ｕｖ)/(ｕ＋ｖ)（２５—２）
图２５—１ 凸透镜的焦点和焦距
图２５—２ 凹透镜的焦点和焦距 焦距的倒数１／ｆ叫做透镜的光焦度。如果焦距以ｍ为单位，其倒数再乘１００，就是通常所谓眼镜度数。例如２００度的近视镜，就是焦距为０.５ｍ的发散透镜。 ２）测量凸透镜焦距的方法（１）平行光法。当物平面位于凸透镜的焦平面（过焦点Ｆ且垂直于透镜主光轴的平面）时，来自同一物点沿不同方向入射的光束，经过凸透镜折射后相互平行称为平行光。此平行光再经另一凸透镜折射后便成像于该透镜的焦平面上（见图２５—３）。像到透镜的距离就是所测透镜的焦距ｆ２。
图２５—３ 用平行光法测凸透镜的焦距 （２）自准法。物平面位于凸透镜的焦平面上，通过透镜的物光为平行光。用一平面镜将这束平行光反射至透镜上，经折射后又成像于原焦平面，即：物及其像都在透镜的焦平面上（见图２５—４）。
图２５—４ 用自准法测凸透镜焦距 （３）共轭法。由于ｕ、ｖ都是从透镜光心算起，为了避免因这一点的位置估计不准带来的误差，测凸透镜焦距常用共轭法。由图２５—５可见，这方法相当于物像互易。设物屏至像屏距离为ｌ（要求ｌ＞４ｆ），当透镜在Ｏ１处时，屏上出现一个清晰的放大像（设此时物距为ｕ，像距为ｖ）；把透镜移至Ｏ２处，在屏上又成一个清晰的缩小像（设此时物距为ｕ′，像距为ｖ′）。若Ｏ１与Ｏ２距离为ｄ，容易证明凸透镜的焦距
这样，只要量出物屏和像屏间的距离ｌ，以及透镜两次成像移动的距离ｄ，代入式（２５—３）就可算出焦距ｆ。
图２５—５ 用共轭（物像互易）法测凸透镜焦距 ３）用物距—像距法测凹透镜焦距凹透镜不能成实像，因而不能直接用屏来找像的位置。为此可以按图２５—６所示，使用一个辅助凸透镜。物ＡＢ经凸透镜成像为Ａ′Ｂ′，然后在凸透镜Ｌ１和像Ａ′Ｂ′之间插
图２５—６ 凹透镜焦距的测量光路 入凹透镜Ｌ２，由于凹透镜Ｌ２的发散作用，原来会聚于Ａ′Ｂ′的光线，会聚点移到Ａ″Ｂ″。根据光线传播的可逆性，如果将Ａ″Ｂ″视为发光物，则经凹透镜折射后形成的虚像就是Ａ′Ｂ′。由此，只要测出 ４）透镜的像差理想的成像应该是，物平面上每一点发出的光，在像平面上会聚成一个相应的点，并且不改变其相关位置。这样的像是完全清晰，没有像差的。实际上简单的透镜成像会发生多种类型的像差，其中最简单和最显著的两种是色差和球差。色差是由于玻璃折射率是光波长的函数引起的，用不同波长的光测量透镜的焦距，结果会稍有差异（图２５—７），所以被白光照明的物就不能会聚成单一的像平面。对红光聚焦较好时，像就带蓝紫边，而对蓝紫光聚焦较好时，像又带红橙边。球差的产生是因为简单的球面透镜不能把照射于透镜所有部位的光线都会聚于一点。如图２５—８所示，从同一个物点Ａ发出的近轴光线１会聚于Ａ1′点，张角较大的光线２会聚于Ａ2′，张角连续变化，会聚点也连续改变，因而就找不到完全清晰的成像平面。为了提高像的清晰度可以给透镜加一光栏，遮住张角大的光线，只让近轴光线通过。当然，光栏的孔径愈小效果就愈好，但是由于光通量减少，像的亮度就低。为了校正透镜的色差和球差，光学仪器常采用复合透镜组。
图２５—７ 透镜的色差
图２５—８ 透镜的球差 【实验要求】首先认识仪器，在光具座上安置好物屏、像屏和已知焦距的凸透镜，然后点亮高压汞灯，用共轭成像法调节系统的“等高同轴”（即大、小像箭尾重合，若更换透镜须重复这一调节）。 １）测量凸透镜焦距（１）平行光法。使物屏至已知焦距的凸透镜的距离等于该透镜的焦距，于是通过凸透镜的光为平行光。再支起待测凸透镜，调节两个透镜同轴，在像屏上找到最清晰的箭头像（见图２５—３）。记录待测凸透镜和像屏的位置读数，两数相减就是这个透镜的焦距。 （２）自准法。不用已知焦距的凸透镜，只在待测凸透镜之后加一个平面镜，使物光经透镜折射后被平面镜反射回来，再通过透镜会聚到物屏上，当透镜与物屏间的距离恰好等于透镜焦距时，在物屏的箭头旁可得一个清晰的倒立箭头像（见图２５—４）。记录物屏和透镜位置读数，算出焦距。 （３）共轭法。使像屏与物屏的距离大于４倍焦距，利用两次成像法检查“等高同轴”。取５个不同的ｌ值，按式（２５—３）测焦距。由于各测量的随机性，焦距值也可视为随机量，求出其不确定度ｕｆ。 ２）测凹透镜的焦距先用凸透镜成像（像比物屏箭头小一些为宜），记录像屏位置Ｂ′。保持凸透镜位置不动，把凹透镜放在凸透镜和像屏之间，使两个透镜同轴（凭眼睛察看），然后把像屏适当推远，移动凹透镜，在像屏上再次获得清晰的像（如图２５—６所示）。记录凹透镜位置Ｏ２和像屏位置Ｂ″，求出ｕ２、ｖ２和焦距ｆ２。改变凸透镜的成像位置取不同的ｕ２和ｖ２值，按上述方法重复测量５次。 ３）观察凸透镜的球差和色差（１）球差的观察。可以利用平行光测凸透镜焦距的光路，在待测凸透镜前分别置放不同半径的圆环形光栏，使光束通过透镜的不同部位，测出对应的焦距ｆ１、ｆ２等值；并与近轴光线测出的焦距值ｆ０进行比较。 （２）色差的观察。光路同上，在光源前附加红色和蓝色滤光片，分别测出透镜的焦距，加以比较。 【数据处理】１）平行光法透镜位置： ｃｍ；像屏位置： ｃｍ；焦距ｆ＝ ｃｍ。 ２）自准法物屏位置： ｃｍ；透镜位置： ｃｍ；焦距ｆ＝ ｃｍ。 ３）用共轭法求焦距透镜成大像和小像的位置分别为ｄ１和ｄ２，物屏和像屏的位置分别为Ｌ１和Ｌ２。 （１）原始数据记录：
（２）分析焦距ｆ的不确定度。 ４）测凹透镜的焦距以Ｂ′表示凸透镜成像的像屏位置，以Ｏ２表示凹透镜位置，Ｂ″表示加凹透镜后再成像的像屏位置。 （１）原始数据记录：
（２）分析焦距的不确定度。 【设计实验】试设计利用自准法测凹透镜焦距的光路和测量步骤。 【思考题】（１）若物在凸透镜焦距以内，能否在像屏上得到实像？怎样观察物的像？试画出光路图并加以说明。 （２）欲通过凸透镜在屏上得到物的像，物和像屏的距离必须大于（至少等于）４倍焦距试证明之。 （３）由共轭法测焦距，得大像高度为ｙ′，小像高度为ｙ″，试证明物高ｙ＝√ｙ′ｙ″ |
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