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运用“体会数据随机”的想法看“摸球实验”——张丹

 昵称6133883 2011-05-13
在统计与概率教学中,鼓励学生动手操作做实验已经得到了广大教师的共识,在不少的课堂中可以看到教师设计了多种实验供学生操作。但是,随之而来也给教师带来了不少困惑,特别是有的教师提出,很多问题不用做实验学生都知道结果,为什么还要做。比如“盒内放了8个黑球、2个白球,这些球除颜色外完全相同,任意摸出一球,摸到哪种颜色球的可能性大”,学生凭经验完全能判断出摸到黑球的可能性大,为什么还要进行实验?是不是有点“低估”了学生,或者是为了“动手操作”而操作?还有的教师提出,有时候做了实验,由于偶然性还出现了“相反”的情况。比如一次听课中,在做上面提到的摸球实验时,就出现了一个小组摸了10次球,摸出4次黑球、6次白球的结果,学生反而糊涂了。
  就在广大教师普遍感到困惑时,课程标准修订稿中提出了“体会数据随机”的想法。那么,什么是数据的随机,它的提出对设计实验活动有什么指导作用呢?
  一、数据随机的内涵
  数据随机主要有两层含义:一方面,对于同样的事情,每次收集到的数据可能会是不同的;另一方面,只要有足够的数据,就可能从中发现规律。举一个例子,袋中装有若干个红球和白球,一方面,每次摸出的球的颜色可能是不一样的,事先无法确定;另一方面,有放回地重复摸多次(摸完后将球放回袋中,摇晃均匀后再摸),从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律。比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。在课程标准修订稿中还提供了一个案例,学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间,如果把记录的时间精确到分,可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的,可以让学生感悟数据的随机性;更进一步,让学生感悟虽然数据是随机的,但数据较多时具有某种稳定性,可以从中得到很多信息。比如,通过一个星期的调查,可以知道上学途中“大概”需要多少时间。
  从上面所举的案例不难看出,这些实验的目的都是希望通过实验从数据中获取信息,从而对总体做一些推断,由此体会随机。
  其实,有关这一想法,在一些实验教材中已经进行了一些尝试。比如,北师大版《数学》五年级上册设计的一个活动,就是通过统计摸球的结果,对袋中所装的球的情况进行推断。
  一只口袋里装有白球和红球共10个,与同桌一起做下面的游戏。
  (1) 两人一组从口袋里摸出一个球,记录颜色后再放回。
  (2) 每组摸20次后,记录小组内摸出的红球、白球次数,猜一猜口袋里有几个白球、几个红球。
  (3) 汇总各小组的结果, 全班一共摸到白球(   )次, 红球(  )次。
  (4) 根据全班摸球的结果,你能猜出口袋里有几个白球、几个红球吗?你们小组猜的和全班猜的结果一样吗?和实际情况相符吗? 
二、运用“体会数据随机”的想法看“摸球实验”
  进一步,如何在课堂中设计合理的实验落实“体会数据随机”的目的呢?一个好的切入点是对目前课堂教学中的实验加以分析,看看哪些实验的设计是合理的,哪些还需要作进一步的思考和改进。下面是笔者收集到的有关案例,并且加以了分析,以求能给教师以启发。
  1.第一类:“验证”类
  下面是一个五年级的课堂教学片段:
  教师拿出一个盒子,盒子里有9个白球、1个黄球。提问:如果从中任意摸出1个球,可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大,黄球呢?学生略做思考后交流。
  生1:可能摸到白球,也可能是黄球。
  生2:摸到白球的可能性是9/10,因为有10个球,其中9个是白球。(大家都表示同意)
  师:好,下面就请你们分小组摸球,记录摸球的结果,验证一下大家的想法。
  熬活动的目的是验证摸到白球的概率是否为9/10。对于这种教法,课程标准修订组组长史宁中教授的观点是:如果这么教,蕴含的随机思想并不强,学生也不感兴趣,都知道了概率为什么还要做实验。*笔者认为,这种”验证“是不值得提倡的。因为学生完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率,他们产生不了做实验的需求。如果做了实验,摸到白球的频率往往不是9/10,那么学生反而产生困惑,当然也体会不到数据的作用了。
  2.第二类:“体会随机”类
  看下面一个二年级的课堂教学片段:
  组织小组活动:盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个球,摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球。每次你都猜对了么?
  活动结束时,教师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举手)
  师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢?
  (此时,两个猜对的学生急于向大家介绍方法)
  生1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样!
  师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见识一下!
  生1:(摸出一球,没看前猜测)黄色!
(拿出后是白色,生1低头坐了下去)
  师:怎么不试了?
  生1:没有信心了。
  师:怎么就没有信心了?
  生1:摸在手里分辨不出来。
  生2:我发现了,如果第一次摸出来的是黄球,第二次就猜是白球,是交错出现的。
  师:你刚才就是这样猜的,结果都对了吗?
  (生2连连点头)
  师:(半信半疑地)还有这个规律?摸1个!
  (生2摸出1个白球,放回)
  生2:第二次一定是黄球。
  (第二次生2果真摸出1个黄球)
  师:看来,下次……
  生2:第三次该是白球了!
  (第三次生2摸出1个黄球)
   师:这个规律还成立么?
  (学生们直摇头)
  师:通过刚才的摸球游戏,你发现了什么?
  生:盒子里又有黄球又有白球,摸出1个球,可能是黄球,也可能是白球。
  这个案例乍一看和上面的案例一样,都是摸球实验,但仔细分析,两者的目的却是不一样的。这个实验的目的是使学生体会不确定性,即事先无法确定实验的结果。其实,学生对于不确定性的认识并不是一帆风顺的,他们总是希望找到“确定”的结论。有的学生认为可以凭手感判断结果,有的学生把球放在固定的地方从而“破坏”随机,有趣的是还有的学生通过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。学生出现这些想法是正常的,逐渐消除学生存在的误解正是教学的目标之一。而最好的办法就是让学生亲自实验,案例中教师正是运用了这一策略。
3.第三类:“推断”类
  上面已经举过这样的例子。这样的活动是课程标准修订稿中大力提倡的,即通过数据来进行推断。这里不妨举一个自己所做的学生调研的例子。在课程标准修订稿刚刚提出“体会数据随机”的想法后,本人在东北师范大学附属实验小学三、四、五、六年级各随机抽取了1个学习小组,进行调研。教师在袋中事先放好5个球--4个黄球和1个白球。这些球除颜色外都相同,教师不告诉学生袋中球的情况。然后,以小组为单位,鼓励学生共同解决如下的问题。
  (1) 如何在不打开袋子的前提下,估计袋子里是黄球多还是白球多?
  (2) 如果可以通过摸球估计袋中球的情况,那么你们觉得需要摸几次?
  (3) 多次有放回地摸球,统计摸出的各种颜色球的数量,这时你们估计袋中是白球多还是黄球多?
  讨论后,教师打开袋子,让学生看看袋中实际的状况。
  限于篇幅,这里只概括描述学生回答问题的结果和一些片段。
  对于第(1)个问题,所有小组都通过讨论想到摸球的办法。难能可贵的是,当教师在学生摸完后追问“本来可以打开袋子直接看看就可以知道哪个颜色的球多,为什么还要讨论通过摸球估计袋中是黄球多还是白球多呢”,一个五年级的学生回答道:“有时候球太多看不清楚或者无法数出袋中到底是几个球时,这就需要摸球了。”
  在回答第(2)个问题时,出现了一个有趣的现象:虽然所有的学生都认为不能摸一次就进行估计,但随着年级的升高,学生中并没有出现觉得应该摸的数量多一些的情况。在4个学习小组中,三年级学生认为需要摸15次;四年级学生认为需要摸5次;五年级学生认为需要摸12次;而六年级学生则认为摸4次就可以了。
  在回答第(3)个问题时,大部分小组都能够根据数据做出合理的推断,并且能够说明自己的理由。例如,当三年级学生15次摸球的结果是摸出10个黄球和5个白球时,四个人一致推断袋中黄球多。一个学生表达了理由:“因为数量多摸出的可能性就大,现在是黄球摸出的多,就可以判断是黄球多。”显然学生根据数据进行了合理的推断。接着教师询问:“那么是否有可能袋中白球多呢?”3个学生回答不可能,有1个学生给出了很好的补充:“我补充一下,即使是白球多,可能性也很小。”大家都表示了认同。有趣的现象出现在四年级,他们摸的次数只有5次,摸出了“3个白球和2个黄球(实际摸球情况是白,黄,黄,白,白)”的情况。当教师询问此时的估计时,他们产生了分歧。
  生1:白球多。
  生2:不一定。(生3附和)
  生4:黄球多。
  生1:我认为就是白球多,你看看那些摸出来的球呀。
  (教师希望能够引起大家对生1的回答的注意,但没有起到作用)
  生4:我根据奇偶性来判断,奇数+奇数=偶数。假设盒子里的球是奇数,拿出来的是奇数,剩下的一定是偶数。摸出来又放回去了,说明盒子里的球还是奇数。
  (生4的回答似乎并没有指向要思考的问题,并且思考过程也出现了局部“混乱”。教师提醒他现在讨论的问题)
  生4:黄球和白球一个是奇数一个是偶数,奇数和偶数就应该相差1*,所以也可能是黄球多。
  生3:我认为一样多。
  (教师提示此时摸的次数少,是否可以再摸几次,但没有引起学生的注意)
  由上面的回答不难看出,在测试的4个学习小组中,学生对于“随机”的经验并没有随着年级的增长而增长;并且结合第(2)个问题的回答,学生对于实验次数增加会提高推断的可靠性的认识是比较缺乏的。
  虽然以上只是一个小实验,样本也很少,但可以初步看出,学生已经有了通过摸球实验进行推断的经验,并且能够根据数据进行合理的推断。由此可见,课程标准修订稿中的想法是有可能在小学实现的,当然这还需要作进一步的研究。同时,学生在此过程中到底能体会到什么程度,他们的困难是什么,还有哪些好的学习素材,都需要大家作进一步的思考与实践。
4.第四类:“运用频率估计概率”类
  有的教师在课堂中创设了如下的情境:父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是,与过去教学不同,用来决定是否去的工具并不是硬币,而是啤酒瓶盖。*
  在这个活动里,学生做的是“抛瓶盖”的实验。那么,“抛瓶盖”和“抛硬币”有什么不同呢?我们知道,如果用的是硬币,由于掷一枚硬币,硬币落下时有两种可能:正面朝上和反面朝上,并且两种结果是等可能的,所以这是一个古典概率的问题。古典概率的问题,我们可以由公式计算出某种结果发生的概率。虽然小学不正式学这个公式,但通过经验并加以分析,学生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。此时再让学生做实验,学生不仅产生不了愿望,并且往往会由于数据(频率)与概率的不一致而产生困惑。瓶盖虽然落下时也有两种可能,但两者不是等可能的,不符合古典概率的要求。这时我们可以通过做实验,运用频率去估计概率的大小,从而对正面朝上和反面朝上的可能性进行比较。这不仅使实验变得很有必要,并且能够帮助学生澄清一些误解。面对儿子提出的决定方法是否公平的问题,开始时大多数学生都表示了认可。要消除学生的误解,自然需要实验帮忙,于是做实验变得“水到渠成”。学生亲自经历了实验的过程,收集实验数据,分析实验结果,并将所得结果与自己的猜测进行比较,修正了自己的猜测。进一步,在课堂中教师又利用了形象的比喻“踢毽子”,帮助学生分析为什么“反面”朝上的可能性大。至此,教师引导学生完整经历了以下过程:首先猜测结果发生的可能性大小;然后亲自动手进行实验,收集实验数据,分析实验结果,并将所得结果与自己的猜测进行比较;最后进行理性分析,并与实验结果联系起来。
  5.第五类:“体会频率与概率的关系”类
  还有的教师设计实验是在已经知道概率的前提下,将频率与概率进行对比,从而帮助学生体会频率与概率的关系。例如,已经验证一枚硬币是均匀的,则任意抛出后,落地时正面朝上的概率是1/2。我们设计实验可以使学生体会虽然频率随实验次数的不同而变化,但大量重复实验时,频率会稳定在1/2。对于这一目标,在小学阶段的课程标准中是不作要求的,教师可以对学有余力的学生适当渗透,但不必强求体会。
    以上对目前课堂教学中的几种实验的设计加以分析,希望能引起教师们对于实验设计目的的思考。当然,对于什么是数据的随机,小学生对此的理解是什么,在小学阶段如何设计好的学习活动促使学生加以体会,使他们真正感受到数据分析的价值,无疑是一个需要长期不断思考和实践的课题。

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