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（2）数的奇偶性 判断一个整数是奇数还是偶数，只要看这个数的个位数字，个位数字是0、2、4、6、8的整数就是偶数，个位数字是1、3、5、7、9的整数就是奇数。 一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。 如果把0和自然数按从小到大的顺序排成一列： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、…… 可以看出偶数和奇数是交替出现的。如果n是一个奇数，那么n－1与n+1都是偶数，如果n是偶数，那么n－1与n+1都是奇数。一般地，任取上述数列的一个连续的片断，其中所含的奇数与偶数的个数或者相等，或者仅差一个。 奇偶数是对立的，奇数不等于偶数。但奇偶数在一定条件下可以互相转化，奇数（偶数）加上1（或减去1）就得到偶数（或奇数）。奇偶数有如下运算性质： （1）奇数±奇数=偶数 （2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。 （3）奇数×奇数=奇数 （4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。 （5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。 上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。 我们在解答数学题时常需要巧妙运用这些性质，灵活地解答一些有趣，又有一定难度的数学问题。 〖请你读一读〗 例1.有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的 多18，这五个偶数之和是多少？ 【分析与解答】解法一：设第一个偶数为x，则后面四个偶数依次为：x+2，x+4，x+6，x+8。根据题意得： x+4－（x+x+8）× =18 故这五个偶数的和为 （32+4）×5=36×5=180。 解法二：设第三个偶数为x，则第一个偶数与第五个偶数的和为2x。依题意有： x－2x× =18 因此，这五个偶数的和为36×5=180。 答：这五个偶数之和是180。 例2.在3333333334×3333333333的乘积中，有多少个数字是偶数？ 【分析与解答】解法一： 3333333334×3333333333 =3333333334×3×1111111111 =10000000002×1111111111 =（10000000000+2）×1111111111 =11111111110000000000+2222222222 =11111111112222222222 所以有10个数字是偶数。 解法二：先退一步，从最简单的情形算起，从而发现规律，求得结果。 4×3=12 34×33=1122 334×333=111222 则乘积中数字是偶数的个数恰好是被乘数（或乘数的位数）。 答：3333333334×3333333333的乘积中有10个数字是偶数。 试一试：两个十位数1111111111和9999999999的积有几个数字是奇数？ 例3.用0、1、2、3、……9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大，那么这五个两位数的和是多少？ 【分析与解答】如果不考虑“和是奇数”这一条件，那么当五个两位数和最大时，应由9、8、7、6、5作十位上的数，0、1、2、3、4作个位上的数，和是360为偶数。且五个两位数中有3个偶数，2个奇数。 为了符合“它们的和是一个奇数”这一要求，则奇数的个数应为奇数。这需将其中的一个偶数调整为奇数，或者将一个奇数调整为偶数。同时考虑和尽可能大这一要求，将十位数中的5与个位数中的4互换，和为351，满足题中的条件。 答：这五个两位数的和是351。 试一试：用0-9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的小，那么这五个两位数的和是多少？ 例4.某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明，该班同学得分总和一定是偶数。 【分析与解答】 解法一：先来考虑每一名参赛同学的得分情况，对于每个同学来说，50道都答对可得150分，是个偶数。如答错一题，就要从150分中减去（3+1）=4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，150减去偶数还是偶数。同样，如不答一题，就要从150分中减去（3－1）=2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，150减去偶数也还是偶数，因此，无论怎样，每个同学的得分都是偶数。任意多个偶数的和仍为偶数，因此全班同学的得分总和也是偶数。 解法二：设某个同学有m道题答对，则得3m分；有n道题答错，则减去n分；那么这个同学未答的题是50－m－n道，即得50―m―n分。于是该生实际得分为： 3m－n+（50－m－n） =2m－2n+50 =2（m－n）+50 =2[（m－n）+25] 即每个同学的得分都是偶数。 因此，全班同学的得分总和一定是偶数。 例5.有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和是奇数，且都是两个两位数的乘积（例144=12×12），那么，这一类自然数中，第三大的数是多少？ 【分析与解答】根据两个两位数的北积小于200的自然数的条件，可知乘积的百位数字是1。那么，这两个两位数的十位数字也都必字是1。 再根据两个两位数的乘积的各位数字之是奇数和条件，可知乘积的各位数字和是“1+奇+奇”或“1+偶+偶”两种情况。 同时，若两个两位数中有一个数是11，其乘积的十位数字必是百位与个位数字之和，这样，乘积的各位数字之和就是偶数。因此，两个两位数中一定没有11。 根据上述，并试算，符合条件的数有如下九个： 10×10=100 10×16=160 12×14=168 答：这类自然数中第三大数是180。 试一试：一个小于200的自然数，它的每个数字都是奇数，且它是两个两位数的乘积。那么，这个自然数是多少？ 例6.3=1+2，1、2是连续的自然数，10以内能用几个连续自然数的和表示出来的数有哪几个，请你写出来？35能不能用几个连续自然数的和表示出来？如能，你能写出几种表示形式，请写出来。 【分析与解答】当几个连续自然数的和不小于3时，根据数的奇偶性及运算性质可知有如下五种情况： （1）所有的奇数都可以用两个连续自然数的和式表示； （2）所有的偶数都不可用两个连续自然数的和式表示； （3）所有的奇合数可分解成几个奇数的积式，这样可找到几个连续自然数的中间数，可用奇数个连续自然数的和表示； （4）当偶数分解时，除2 （n是自然数）之外，还有其它质因数，可用偶数个（或奇数个），连续自然数的和式表示； （5）若一个自然数能用偶数个连续自然数的和式表示，其中间两数之和必定是奇数。 根据上述，10以内可以用n个连续自然数的和式表示的数共有五个数，如下： 3=1+2；5=2+3；6=1+2+3； 7=3+4；9=4+5（或9=2+3+4）； 根据上述，35可以用几个连续自然数的和式表示，如下： 35=17+18 因为35=5×7=7×5 所以35=5+6+7+8+9 例7．一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后小明共得23分。他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数，请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？ 【分析与解答】根据题意知，小明做错的题的数目一定是奇数个。如果是做错一题，则应做对12道题才会得2×12－1=23（分），这样小明共做13题，未做题的个数20－13=7不是偶数，即不合题意；如果小明做错3道题，则应做对13题才能得2×13－3=23（分），此时小明未答的题目数是4，恰为偶数个。此外显然小明不可能做错5道或5道以上的题目。 答：小明答错了3道题。 点评：这种解题方法叫做穷举法。因为一共才考了20道题，小明答错的题数必定是有限个，我们可以先枚举出各种可能一一加以讨论，否定那些不合题意的，肯定那些合乎题意的，然后得到答案。不过实际上穷举法往往只用于那些要处理和讨论的情况较少的问题，如果情况太复杂或计算工作量太大，人们往往采用别的办法。 本题也可以入小明做对题的道数入手，进行穷举一一加以讨论。 试一试：某校数学竞赛，共有20道填空题。评分标准是每做对一题得5分，做错一题倒扣3分，某题没做，该题为0分。结果小华得69分，那么小华有多少道题没做？ 例8．有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是：1页、2页、3页……14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？ 【分析与解答】既然问题最多有多少篇文章是从奇数页开始的，我们可以这样想：第一篇文章从奇数页开始，要想后续的每篇文章也从奇数页开始，就应该使前若干篇文章的总页数为偶数，这是因为偶数+1=奇数。又因为偶数+偶数=偶数，由此可知，如果我们把所有的偶数页的文章（共7篇）先编排，那么这7篇文章的起始页就都是奇数页。 剩下的8篇奇数页的文章就不可能每篇文章都从奇数页开始，而是奇、偶相间，这是因为奇+奇=偶，偶+奇=奇。也就是说，这8篇为奇数页的文章共有4篇文章从奇数页开始。所每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有11篇。 例9．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的两个偶数之和尽量地小，那么这样的两个偶数之和最小可能是多少？ 【分析与解答】根据题意，四个不同的真分数的分子是1，两个分母是奇数的分数之和其分母必为奇数，分子为偶数。两个分母是偶数的分数相加，公分母必为偶数，且用2约分后分母也必为奇数，而分子也为偶数，且用2约分后分子仍为偶数，这样它们相加的和的分数值相等。 我们来研究公分母的情况，为了使用2约分后的最简分数的分母为奇数，公分母=奇×奇×2，要使分母为偶数的两个偶数之和尽可能小，公分母中的两个奇数质因数要尽可能小，应取1和3。显然取1不符合题意，改取3和5，分别乘以2后所得的两个偶数是6和10，其和是16。因此符合题意的等式是： + = + = 若取5和7，组成的等式是 + = + = 。 若取7和9，组成的等式是 + = + = 。 因此这样的两个偶数之和最小可能是6+10=16。 答：这样的两个偶数之和最小可能是6+10=16。 例10．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数是？ 【分析与解答】根据题意，若设三个质数分别为A、B和C，则 A+B+C= ，这样三个质数中必定有个质数是7。如果A=7，则B×C=B+C+7，也就是B×C－(B+C)=7。 根据熟的奇偶性：偶－奇=奇；奇－偶=奇，进行讨论。 由B×C为偶数，其中B（或C）必定是2，则2×3－（2+3）=1；2×5－（2+5）=3；2×11－（2+11）=9；……均不符合条件。因此，偶－奇=奇不符合条件。 由B×C为奇数，其中B、C均为奇数，则B+C是偶数。若B=3，C=5，那么，3×5－（3+5）=7，符合条件。 因此，这三个奇数分别是3、5和7。 答：这三个奇数分别是3、5和7。 〖请你试一试〗 1.39个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是多少？ 2.任意取出1994个连续的自然数，他们的总和是奇数还是偶数？ 3.有“1”“2”“3”“4”四张数字卡片，每次取三张组成三位数，其中是偶数的有多少个？ 4.一串数字排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、……。问这串数中前10个数中（包括第100个数），有多少个偶数？ 5.某些连续自然数的和等于30，那么这样连续自然数有几组？写出来。 6.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色且大小相同的球各10个。红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出八个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？ 7.有1993个孩子，每个胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同，试问，否将这些孩子排成若干排，每排中都有一个孩子的号码数等于其余孩子号码数的和？并说明理由。 8.在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯。如果每次同时拨动四个房间的开关能不能把全部房间的灯关上？为什么？ 9.如果两人每握一次手，握手的双方都记握手一次。则握手的次数是奇数的那些人的总数是奇数还是偶数？ 10.某次数学竞赛，共有40道试题，规定答对一题给5分，不答给一分，错倒扣1分试说明不论多少人参赛，全体学生得分的总和一定是偶数。] 11.扑克牌中的J、Q、K分别表示11、12、13。甲取13张红桃，乙取13张草花，两人都各自任意出一张牌凑成一对，这样一共可以凑成13对。如果将每对求和，再将这13个和相乘。问积是奇数还是偶数？ 12.问是否存在着这样的整数A、B、C，使得： A×B×C+A= A×B×C+B= A×B×C+C= 13.能否将1、1、2、2、3、3、……10、10这20个数排成一排，使得2个1之间夹着这20个数中的一个数，2个2之间夹着这20个数中的2个数……2个10之间夹着这20个数中的10个数？说明理由。 14. 1+2+3+4……+2007+2008是奇数还是偶数？ 15.能否在下面的□内填入加号或减号，使得等式成立？为什么？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=10 16.有一列数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中，有多少个奇数？ 17.甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球。小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面。如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋。小强就这样从甲袋中摸了2995次后甲袋中还剩几个球？它们各是什么颜色？ 18.算式1×2+3×4+5×6+……+99×100的得数是奇数还是偶数？ 19.甲、乙两人做游戏，先指定五个自然数。甲把这五个数以任意顺序填在表格的第一行，然后乙把这五个数填在第二行，最后将所有同一列的两个数的差（以大减小）相乘。约定如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜。问乙是否有后发制人的必胜策略？ 20.在一间屋子里，有一百盏电灯排成一行，依从左到右的顺序编上号码1、2、3、4、……、99、100，每盏电灯上有一根拉线开关。开始的时候，全部电灯是关着的。有100个同学在门外排着队，第一个走进屋来，把编号是1的倍数的电灯开关都拉了一下（即把所有的电灯都打开了）；接着第二个人走进屋里来，把编号是2的倍数的所有电灯的开关都拉了一下（即把2、4、6、……、98、100号电灯又关上了）；第三个进来把编号是3的倍数的所有电灯的开关再拉一下，……，最后第100个人走进来，把编号是100的倍数的电灯开关拉了一下（即仅把第100号电灯的开关拉一下）。这样做完之后，问哪些电灯还亮着？ 〖参考答案〗 1.解：因为相邻的两个奇数之差都是2，所以中间那个奇数就是39个奇数的平均数。即这个中间的奇数为1989÷39=51。这这个奇数的前后应各有19个奇数。因此最大的一个奇数是89。列式为： 1989÷39+2×[（39－1）÷2] =51+2×19 =89 答：其中最大的奇数是89。 2.解：任意取出1994个自然数，其中奇偶数各占一半即1994÷2=997（个）为奇数。又奇数个奇数和为奇数，任意多个偶数和总是为偶数，奇数加偶数和为奇数。 所以，它们的总和为奇数。 答：它们的总和为奇数。 3.解一：依题意，所取的三张卡片组成的三位熟的个位只能是2或4两种情况。 每次取3张卡片组成的三位数中，个数是2的有6个，它们是：132，321，342，432，142，412， 同理，个位数字是4的三位数也有6个，它们是：124，214，134，314，234，324。 所以偶数共有6×2=12（个）。 解二：这样考虑：从4张卡片中，每次取3张，可以组成的三位数有4×3×2=24（个），而4张卡片中奇数偶数各占，所以组成的24个三位数中一定有偶数24÷2=12（个）。 答：其中偶数有12个。 4.解：根据题意和数的奇偶性可知，这一串是按奇、奇、偶；奇、奇、偶；……的规律排列的。同时可以看出每三个数为一组，每组中出现一个偶数。 而100÷3=33……1，余数是第100个数，它是奇数。 因此，这串数的前100个数中有33个偶数。 答：这串数前100个数中，有33个偶数。 5.解：以外0是偶数，所以不能用两个连续自然数和和式表示。 根据奇数个连续自然数的和式，中间数有10和6两种，可知为：9，10，11和4，5，6，7，8 根据偶数个连续自然数的和式，中间两数的和是15，可知为：6，7，8，9。 因此，这样连续自然数有三组，即：30=9+10+11=4+5+6+7+8=6+7+8+9。 答：这样连续自然数有三组，即：30=9+10+11=4+5+6+7+8=6+7+8+9。 6.解：根据所摸出的八个球数字和是39为奇数的条件，由数的奇偶性可知这八个数为：七奇一偶，五奇三偶，三奇五偶和一奇七偶四种可能。 根据上述四种能情况，由所给的数字4、5和6的条件，经试算，可知39=5×7+4；39=5×5+4×2+6；39=5×3+4×3+6×2；39=5+4×4+6×3 因此符合条件最多可能是有4个红球。 答：符合条件最多可能是有4个红球。 7.解：不能。 若不然，每排中所有孩子的号码之和为偶数，这是因为奇数或偶数的2倍都是偶数。 而若干个偶数的和为偶数，这就是说所有各排孩子的号码数之和为偶数。 但1+2+3……+1993和为奇数，得出矛盾。因此不能按题目要求排列。 答：不能。 8.解：题中虽然有八个房间，但只有七个房间灯开着，因此只需要考虑能否按要求把七个开着灯的房间的灯关上。另一个房关着灯的开关无须拨动。 对于一个开着的灯来说，只有拨动奇数次开关才能使灯关上。如果要使全部亮灯的房间的灯都关上，显然拨动开关的总次数应是奇数，因为奇数个奇数的和为奇数。但题目规定每次必须拨动四个房间的开关，这样不管拨动多少次，拨动开关的总次数是4的倍数，即为偶数。而奇数不等于偶数。因此，无论拨动多少次，也不能将七个亮灯房间的灯关上。 答：不能。 9.解：根据两人每握一次手，双方都记握手一次的条件，可知两人握手的和是2次，这样无论多少人握手，其握手的总次数总是偶数。 若不握手的人分成两类：甲类是握手次数是偶数的那些人，乙类是握手的次数是奇数的那些人。则甲类人的握手的总次数是偶数，这样乙类握手的总次数=握手总次数（偶数）－甲类人握手的总次数（偶数），以偶数－偶数=偶数，可知乙类人握手的总次数也是偶数。 根据乙类人握手的次数是奇数的条件，由偶数个奇数的和是偶数，可知乙类人的人数只能是偶数。 因此，握手的次数是奇次的那些人的总人数是偶数。 答：握手的次数是奇次的那些人的总人数是偶数。 10.分析：考虑其中一名参赛学生的得分情况，如果答对a题，将得5a分，答错b题得-b分，不答就有（40－a－b）分，这样这名学生共得分为： 5a－b+（40－a－b）=40+4a－2b（分） 这个显然为一个偶数。于是这个问题不难解决。 解：考虑其中一名参赛学生的得分情况：如果这名学生答对a题，答错了b题，不答的题就有（40－a－b）分，则这名学生共得分为：5a－b+（40－a－b）=40+4a－2b（分） 上式中每一项都是偶数，因此和是偶数。 答：和是偶数。 11.分析：先可以用一种方法试一试： 红心：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13 草花：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，1 求和：3，5，7，9，11，13，15，15，19，21，23，25，14 求积：3×5×7×9×11×13×15×17×19×21×23×25×14=偶数 这说明这个积如果存在奇偶性话，那么这个积应该是偶数。下面关键在于如何说明无论怎样出牌这个积总是一个偶数。要说明这13个数之积是偶数，只需要说明这13个数中有一个数是偶数即可。因为偶数×奇数=偶数。 解：这个积应当是偶数。因为任意一种出牌方法为 红心：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13 草花：a，b，c，d，e，f，g，h，I，j，k，l，m 求和：1+a，2+b，3+c，4+d，5+e，6+f，7+g，8+h，9+I，10+j，11+k，12+l，13+m 其中a、b、c…m这13个字母都是1、2、3…13这13的数中的某一个且互不相同。 先考虑这13个数之和 （1+a）+（2+b）+（3+c）+…+（13+m） =（1+2+3+…+13）+（a+b+c+…+m） =2×（1+2+3+…+13） =2×91 =182为偶数 由于（1+a），（2+b），（3+c）…（13+m）这13个加数中，如果全是奇数的话，那么这13个加数之和应该是一个奇数但是这13个之和为182，是一个偶数，这说明这13个加数之中至少有一个加数是偶数。于是这13个加数之积必定为偶数，因为其中有一个乘数为偶数。 答：这13个数之积必定为偶数。 12.分析：若存在这样的数，则由于A×B×C+A=A×（B×C+1）= 为奇数。这说明A必为奇数，因为只有奇数×奇数=奇数。同样可以说明B、C也都是奇数。这样得到A×B×C=奇数，于是A×B×C+A=奇数+奇数=偶数，这与实际相矛盾，因而不存在这样的数。 解：若存在这样的数，由于 A×B×C+A= A×（B×C+1）= 为奇数 A×B×C+B=B×（A×C+1）= 为奇数 A×B×C+C=C×（A×B+1）= 为奇数 根据奇数×奇数=奇数的性质可知A、B、C都是奇数，于是A×B×C也是奇数。 根据奇数+奇数=偶数的性质可知A×B×C+A，A×B×C+B，A×B×C+C这三个和都是偶数，但这与题目是矛盾，因此这样的数A、B、C是不存在的。 答：满足题目条件的数A、B、C是不存在。 13.分析：如是只有一组2个数1、1，则无论如何不能排出；如果只有两组4个数1、1、2、2，则无论如何也不能排出；如果只有三组6个数1、1、2、2、3、3，则能排出比如312132；如果只有四组8个数1、1、2、2、3、3、4、4，则能排出，比如41312432。可见在前面四种情况下，对1、1、2、2、3、3、……n、n，当n=1或2时，不能排出；而当n=3或4时，可以排出。当n=10时，如果由试验的方法得到的话，那将是很复杂的，下面将用奇偶性来分析此题。 解：如果能排出，则将这二十个数依次所处的位置编号如下： 数 编号 一方面，无论怎么排序，总有a + a +a +a +……+a +a =1+2+3+4+……+20=21×10=210为偶数。另一方面，由于2个1之间来一个数，所以a 和a 具有相同的奇偶性，这样a + a 必为偶数；由于2个2之间夹2个数，所以a 和a 具有不同的奇偶性，这样a +a 必为奇数；由于2个3之间夹3个数，所以a 和a 具有相同的奇偶性，这样a +a 必为偶数；同样的讨论可a +a 、a +a 、a +a 、a +a 都为奇数，而a +a 、a +a 、a +a 必为偶数。于是有a + a +a +a +……+a +a = （a + a ）+（a +a ）+……+（a +a ）=偶数+奇数+偶数+奇数+偶数+奇数+偶数+奇数+偶数+奇数=偶数+奇数=奇数。上面算式中5个偶数之和为偶数，而5个奇数之和为奇数，偶数与奇数之和为奇数。这样一方面a + a +a +a +……+a +a =偶数，而另一方面a + a +a +a +……+a +a =奇数，偶数不可能等于奇数，这是一个矛盾。这说明满足题意的排法是不存在的。 答：这20个数不能按照题意排列出来。 14.解：因为中要求判断和的奇偶性，根据加减运算中奇偶性的规律知，不必求和，只需弄清加数中有多少个奇数即可。1、2、3、4、……、2007、2008这些加数是一奇一偶排列的，所以其中共有2008÷2=1004个奇数。1004是偶数，这说明所给加法算式中共有偶数个奇数，所以和一定是偶数。 15.解：根据加减运算中奇偶性的规律知，左边运算结果的奇偶性与所填加号、减号无关，只与参与运算的数中有多少个奇数有关，由此不难得出结论。1、2、3、……8、9中共有5个奇数，所以不管左边怎样填加号、减号，它都是一个共有奇数个奇数参与运算的加减算式，运算结果必是奇数，不可能等于偶数10，所以不可能在□内填入适当的加减号使等式成立。 16.解：根据“奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数”及第一、第二个数都是奇数，按照这列数的组成规律知，各数的奇偶性依次为奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶……即每三个数为一组，其中前两个是奇数后一个是偶数。1000÷3=333……1，所以前1000个数中有偶数333个，有奇数1000－333=667（个）。 答：那么在前1000个数，有667个奇数。 17.解：为了求剩几个球，各为什么颜色，关键是弄清每摸一次，甲袋中球的数目的变化情况：
可见，每摸一次，不管摸出的两球颜色如何，甲袋中球的总数必减少1，这就可求出摸若干次后，剩多少球；甲袋中原有白球数是奇数，每次取的白球数是偶数（2或0），由“奇数－偶数=奇数”知，最后剩的白球数是奇数，结合所剩总球数就能推知所剩球的颜色。 根据题意，不管小强每次摸出的两球同色还是异色，每摸一次甲袋的总球数都减少1个，所以摸了2995次后甲袋还剩球1997+1000－1995=2（个）。每摸一次，甲袋的白球数或者不变，或者减少2，因为原有白球数1997是奇数，所以每次摸后甲袋所剩白球数总是奇数，不超过2的奇数只能是1，可见最后所剩的两个球是一白一黑。 答：甲袋还剩2个球，颜色是一白一黑。 18.解：先判断各个积的奇偶性，再判断整个和的奇偶性。因为每个积都相邻两个自然相乘，其中一个是偶数，所以每个积都是偶数，最后的得数也必是偶数。 答：得数是偶数。 19.解：积是否为偶数，由五个“差”中有没有偶数来决定。差的奇偶性取决于相减的两数的奇偶性是否相同，若相减的两数奇偶性相同，则差为偶数；若相减的两数奇偶性不同，则差为奇数。如果五个数全为奇数或全为偶数，显然“差”都为偶数。如果五个数中既有奇数又有偶数，那么奇数的个数与偶数的个数不会相等，当奇数少时，第一行的奇数即使全部对应第二行的偶数，也用不完第二行的偶数，第二剩下的偶数只能与第一行的偶数相对，从而这一列的“差”必为偶数；当奇数多时，情形类似，必出现某一列两个数全为奇数，从而这一列的“差”也必为偶数。总之，不管乙怎样填，五个“差”中总有偶数，因而乘积必为偶数，乙没有后发制人的必胜策略。 20.解：一个电灯最后是亮着还是不亮取决于开关被拉的次数。因为开始所有电灯是关着的，所以被拉了偶数次的电灯，最后仍是关着的；被拉了奇数次的电灯，最后则是亮着的。一个灯被拉的次数，等于它的编号数的约数个数，所以需要考虑自然数约数个数的奇偶性。对此我们有如下结论：平方数的约数个数必是奇数，非平方数的约数个数必为偶数。例如36是平方数，它的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个；18是非平方数，它的约数有1、2、3、6、9、18共6个。应用这一结论就可求最后结果。 因为只平方数的约数个数是奇数，所以编号数为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的电灯开关被拉了奇数次，这10盏电灯最后还亮着。 |
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