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浅谈历史故事与数学思想

2011-06-08  乐山老杨
浅谈历史故事与数学思想
姜堰市第四中学  颜小兵
      在许多历史故事中,蕴含着深遂的数学思想,如果我们以这些历史故事来启迪我们的思维,则能获得数学的灵感,提高我们的数学素养和文化素养。
      一、鲁班造锯与类比思想
      鲁班是一名能工巧匠。又一次,鲁班的手不慎被丝茅草割破后,他仔细观察,惊奇地发现丝茅草的叶子边沿布满小齿,原来是这些小齿把自己的手划破的,于是便产生联想,根据丝茅草的结构和特征发明了锯子。鲁班在这里就运用了“类比思想”。在数学学习中,教师引导学生从一个生疏问题联想到一个相似且熟悉的问题,可以帮助学生突破感官的时空限制,扩大感知领域,把以前认识的事物与所要解决的问题联系起来,丰富学生的认识,发展学生的思维,促使学生有所发现、有所创造,找到解决问题的途径,培养学生的创造能力。
      例1:从时钟指向4点开始,至少经过多少分钟,分针和时针才能重合?
分析与解:时针每走一格,分针就需走12格,如果把一格看作路程单位,那么就可以联想到这样一个熟悉的行程追及问题:“甲、乙两人从两地同向而行,甲在乙前面4千米,甲每小时走1千米,乙每小时走12千米。如果甲、乙两人同时出发,问乙经过多少时间能追上甲?”通过这样的对比联想,可得例5的解法:4÷(12-1)=4/11(小时):240/11分钟。
      二、曹冲称象与转化思想
      三国时,曹操的一位朋友用船给他送来一头大象,曹操很想知道大象的重量,可大象太重无法直接称量,众大臣冥思苦想仍不得法。这时,聪明的曹冲想到了一个方法:把不能直接称量的大象体重转化为能直接称量的石头重量。就是先把大象牵到船上,在船身刻上水位线,再从船上牵下大象,把石头一块块装上船,直到水位线与大象在船上时刻划的水位线相同,然后卸下石头,称出石头重量,由此间接测出大象的体重。曹冲思考、解决称象的问题运用了极为重要的思想:转化思想。数学学习中,学生如能掌握这种转化策略,在遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时,就可通过某种转化过程,使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化,从而顺利解决问题。
      例2:一条横截面是梯形的水渠,它的下底宽1米,上口宽2米,水深1.2米,如果渠中水流的速度是每小时200米,求1小时流过的水有多少立方米?
         分析与解:这是一个求流水量的问题,比较抽象,解题时,可引导学生运用转化策略将问题划归为一个等价可解的问题:求横截面是梯形的直棱柱体积问题,列式为:(2+1)×1.2÷2×200=360(立方米)。
      三、司马光砸缸与逆向思维
      司马光砸缸的故事是学生很熟悉的历史故事:一个小伙伴不慎跌人装满水的大缸中,司马光和伙伴们人小个矮,无法将缸内的小伙伴拉出,在使“人离开水”的情急之中,司马光想到了使“水离开人”的办法,用石头砸破缸,让水流走,救出了小伙伴。真可谓聪明之举。司马光砸缸把“人离开水”变为“水离开人”,运用的就是一种逆向思维策略。数学学习中,有些问题正向思考,往往思绪繁琐,甚至束手无策而无法解答。此时,可以从问题出发,一步一步逆向推理寻找解决问题所需的条件,从而发现数量之间的本质联系,使问题迅速得到解决。
      例3:某数加25,再除以5,再减去15,然后乘以7,最后得70,求某数。
    分析与解:从条件“最后得70”逆向分析,如果不乘以7,结果应为70÷7=10;如果不减去15,此数应是10+15=25;如果不除以5,此数应为25×5=125;如果不加上25,某数应是125-25=100。
      四、“道旁李苦”与反正法
      古时候,一个叫王戎的孩子与伙伴们在大路上玩耍,他们看到路旁树上结了许多李子,都蜂拥而上摘李子吃,惟有王戎没去摘。路人问之,王戎断定说李子是苦的,还不能吃。伙伴们感到奇怪,便问王戎:“你又没吃,怎知李子是苦的?”王戎说:“假设李子是甜的,早就被过路的人摘完了,树上怎么还会有这么多的李子呢?”故事中王戎的推理分析运用了反正法思想。数学学习中,经常可以运用这种假设策略,先假设需要解决问题中的某个条件成立,由此得出一些关系和结论,与已知条件产生差异和矛盾,通过找出差异的原因消除矛盾,最终达到解决问题的目的。
      例4:玻璃店委托铁路局运1000块玻璃,议定每块运费0.5元,如损失一块,不但没有运费,并且要赔偿成本3.5元。货物运到目的地后,铁路局获得运费480元,铁路局完好运到目的地的玻璃有多少块?
         分析与解:假设铁路局把1000块玻璃全部完好地运到目的地,则铁路局可获运费0.5×1000=500(元),这比实际获得的运费多500-480=20(元)。因为损失一块玻璃比把它完好运到目的地少0.5+3.5=4(元),可知比实际获得运费多20元是把损失的20÷4=5(块)玻璃假设为完好运到目的地造成,所以铁路局完好运到目的地的玻璃是1000-5=995(块)。
转帖:语文历史故事与数学思维方法

语文课中有许多历史故事,其中不少故事中都蕴含着数学思维方法。由这些故事我们可以更容易地理解和掌握相关的数学思维方法。
 鲁班造锯与类比思维
鲁班造锯是我们熟悉的一个历史故事。当鲁班的手不慎被一片小草割破后,他仔细观察发现小草叶子边沿布满了有序的小齿。于是便产生联想,根据小草的结构发明了铁锯。鲁班在这里用了类比思维方法。
类比思维是从要解决的问题,联想到与它类似的一个熟悉的问题,用熟悉的问题的解法来思考所要解决的问题。
例:李老师为学生去买书,他带的钱正好可买15本语文书或24本数学书。如果李老师买了10本语文书后,剩下的钱全部买数学书,可以买几本数学书?
分析:如果把总钱数理解为总工作量,把带的钱可买15本语文书或24本数学书理解成甲、乙两人单独完成总工作量需15天、24天,那么原题可类比为这样一道工程题:“一项工程,甲做15天完成,乙做24天完成,现在甲做10天后,再由乙接着做,问还需多少天才能完成。”所以有下面解法:
答:还可买8本数学书。
 

曹冲称象与转化思维
在曹冲称象的故事中,聪明的曹冲运用了这样一个方法:要知道大象的体重但不能直接去称,便把问题转化为容易办到的称石头的重量,最后由石头的重量求得大象的体重。
这个方法在数学上叫等价转化法,由不易解决的甲问题转化为等价的易解决的乙问题,通过乙问题解决进而解决甲问题。
例:有人在如图的小路上行走,当他从A处走到B处时,共走了几米?假设小路宽度都是1米。(美国《数学月刊》)
分析:如果行人在行走时拿一个宽1米的扁平拖把边走边拖地,那么他每前进1米,则拖1平方米面积的场地。行人走完小路,相当于拖把拖遍整个平面图面积。这样把长度问题转化为面积问题。
解:8×16=128(米)
答:共走了128米。


司马光砸缸与逆向思维
司马光砸缸是我们熟悉的又一个历史故事。当一个小朋友掉进大水缸里以后,其它小朋友想到的是让“人离开水”,当无法把落水小孩捞出来时便惊慌失措。司马光想到的是让“水离开人”,在紧要关头把缸砸破让水流出,救活了小朋友。
“人离开水”的逆向思维是“水离开人”,逆向思维是一种积极地具有创造性的思维方法,这种思维形式在数学中屡见不鲜。
例:有一个老太太提着一个篮子去卖鸡蛋,第一个人买走了她的鸡蛋的一半又半个;第二个人买走了剩下的一半又半个;第三个人买走了前两个人剩下的一半又半个,正好买完全部鸡蛋。问老太太一共卖了多少鸡蛋?
解:第三个人买走了一半又半个,正好买完,说明那一半也只有半个,他一共买了一个鸡蛋。
第二个人买走“一半又半个”,将他的半个退回篮子中,这时篮子中就有一个半鸡蛋了,而这“一个半”正好占一半,所以第二个人买之前,即第一个人买之后篮中是三个鸡蛋。
再将第一个人的半个退回篮子中,为三个半鸡蛋,这样原来篮中共有七个鸡蛋。

 

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