OpenGL中的glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef原理

OpenGL中的glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef原理

 

单位矩阵　　对角线上都是1，其余元素皆为0的矩阵。

在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．

它是个方阵,除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0.

OpenGL中的坐标用齐次坐标表示，即(x,y,z)表示成(x',y',z',h)，其中x=x'/h; y=y'/h; z=z'/h. 通常h取1. 比如空间中的点(2,3,4)，在OpenGL中将表示成(2,3,4,1). 齐次坐标表示方式适合于矩阵运算，也很方便地表示了无穷远的点，比如(1,0,0,0)就表示x轴上无穷远的点，因为1/0是无穷大，这里约定0 /0=0.

接着要说点矩阵(线性代数)的知识。OpenGL里面的平移、旋转、缩放等变换均是线性变换，用矩阵相乘来表示。以平移变换为例，请见官方对glTranslatef函数的说明。假设有点(3,3,3)，如果把该点沿x轴移动2单位，沿y轴移动3单位，沿z轴移动4单位，那么该点会是(3+2, 3+3, 4+4) = (5,6,7). 用矩阵表示是：

左边的矩阵称为平移变换矩阵，若把2、3、4换成x、y、z，则用它乘以一个齐次坐标表示的向量，就可以将该向量平移(x,y,z). 旋转变换和缩放变换都像平移变换一样可用一个矩阵来表示。这里可以不用理会这些矩阵长什么样，只需清楚它们乘以一个齐次坐标表示的向量，就可以使该向量发生需要的变换。

把平移变换矩阵记为T(x,y,z)，旋转变换矩阵记为R(x,y,z,s)，表示绕向量(x,y,z)旋转s角度；把向量记为X。这里只需要知道 它们是矩阵就行了，现在要把一个点X，如(3,3,3,1)，移动(2,2,2)单位，再绕y轴旋转30度角，用矩阵表示即 R(0,1,0,30)*T(2,2,2)*X，可以理解为离X最近的矩阵最先作用。理解这个顺序很重要，这样，所有变换都可以用一串矩阵的相乘来表示， 计算机里面也确实是这么做的。

介绍完基本的数学知识，下面说OpenGL的作用机制。OpenGL有个变换矩阵堆栈，堆栈就像子弹夹一样，先进的后出。OpenGL中的每个向量，在被定义之后进入到OpenGL世界中，都必须先乘以这个变换矩阵堆栈的栈顶变换矩阵。如下图所示：

理解完上面的知识，再来理解glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef这些函数干了什么就容易多了。这些函数就是对这个堆栈的操作：

• glTranslatef：将T(x,y,z)右乘与堆栈的栈顶变换矩阵。右乘的解释，假设目前栈顶变换矩阵为M，那么就相当于把M修改为M*T.
• glRotatef ：将R(x,y,z,s)右乘与堆栈的栈顶变换矩阵。
• glLoadIdentity：将堆栈的栈顶变换矩阵设置成单位矩阵。
• glPushMatrix：将堆栈的栈顶变换矩阵复制一份，然后Push到堆栈中。所谓Push，就像塞子弹一样把一个矩阵压入到堆栈中，此时，栈顶就是这个新的矩阵了，注意定义的向量都是和栈顶变换矩阵作用的。
• glPopMatrix：将堆栈的栈顶变换矩阵Pop出来。

该讲的讲完了，下面出几道题目练习下吧。

1、OpenGL代码是：glLoadIdentity(); glTranslate3f(4,5,1); glRotate3f(0,1,0,90); glVertex3f(1,1,1); 请问此时栈顶变换矩阵是什么？(1,1,1)这个点到了OpenGL世界中的点是什么？

答：栈顶变换矩阵是T(4,5,1)*R(0,1,0,90)，(1,1,1)到OpenGL世界中的坐标是T(4,5,1)*R(0,1,0,90)*(1,1,1).

2、解释为什么使用glPushMatrix和glPopMatrix的组合可以隔离这两个函数中的变换，使之不影响后面的点？

答：glPushMatrix新压入的变换矩阵是复制了原来的栈顶变换矩阵，所以它继承了之前的变换，此后执行glTranslatef、 glRotatef这些函数时，修改的是栈顶变换矩阵，在glPopMatrix之前的点都将受到栈顶变换矩阵的作用，之后用glPopMatrix，把 栈顶变换矩阵Pop掉，此时的栈顶变换矩阵又还原成原来的那个栈顶变换矩阵。

3、为什么有时候glTranslate3f和glRotate3f能颠倒有时候又不能？

答：矩阵A乘以矩阵B未必等于矩阵B乘以矩阵A，当它们相等时，很多只是巧合。