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一.回归分析
在试验中因变量与自变量有以下两种关系。 函数关系: 即因变量与自变量之间有确定的数学关系式表达,且具有一一对应的关系。 相关关系: 即因变量与自变量之间并不具有确定的函数关系,但它们之间确实存在某种密切的关系,这种关系可以通过试验或其他方法建立起来。 通常采用试验数据的回归分析确定变量之间的关系。回归分析即采用数理统计方法,从大量试验数据中寻求变量之间相关关系的数学表达式,并对确定的数学表达式的可信度进行统计检验。 回归分析有一元线性回归分析、一元多项式回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析等。
二.最小二乘法
利用回归分析建立试验数据的经验公式有许多方法,其中以最小二乘法这最优级。 若给出n次测量数据x1,y1;x2,y2;…;xn,yn,用最小二乘法建立经验公式时,假设自变量xi为给定值,均无误差,而因变量yi则带有测量误差。两变量之间不管是何种关系,总可以用一个m阶多项式来逼近,即 (3-1) 式中,B0,B1,B2,…,Bm为待定常数或回归系数 。 式(3-1)还可以写成: (3-2) 如果测试的结果无误,则正确的常数求得后,各结果均应适合于式式(3-3)。但因试验结果不可避免的有误差,故将试验结果代入式(3-3),则等号右方不为零,而为某一微量d(称剩余偏差) 式(3-3)称为观测方程组。 据最小二乘法原理,如各系数B之值能使各剩余偏差之平方和为最小,其值即为最佳值。亦即各系数B之最佳值应使式子为最小。那么,其一阶微分等于零,二阶微分为正值。由此可得一系列正态方程。 解方程组(3-4)即得 B0,B1,B2,…,Bm 。
三.一元线性回归分析
作为一般方程回归分析的特例,一元线性回归是工程中常遇到的情况。在此着重加以介绍。 一元线性回归方程可由式(3-1)简化为 (3-5) 则其剩余偏差为: 若进行k次测量,则剩余偏差的平方为,获得最小值的条件是其对回归系数的一次导数为零,即 便可得: 联立可解得: 式中:即为xi平均值, 即为yi平均值。 式(3-6)及后续各式中,均指。 若令 则式(3-6)可改写为: 在用最小二乘法计算回归系数的过程中,假设变量之间呈线性相关,并用线性回归方程式表示。但是试验数据是否有良好的线性度,应予以检验。这就是通常称作回归方程似合程序的检验,它是采用相关系数R的大小来描述两个变量的线性相关的密切程序,数学表达式为: 即 结论:R的绝对值越近于1,则回归直线与试验数据点拟合得越好。R与测量组数k有关 ,找到直线方程后,根据k查出R的显著值,再作出拟合程度的判别.
来自: 昵称7106100 > 《我的图书馆》
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