初中数学中方案设计题的常见类型及解法

天雷教育 2011-07-07

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初中数学中方案设计题的常见类型及解法

来源：作者：尹必磊时间：2009-08-25 点击：

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中明确提出，要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题。
    近几年中考试卷中有一类方案设计题，它要求学生根据题意设计符合条件的方案，或对已知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数、方程或不等式（组）的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念。本文结合具体问题介绍其常见类型及解法。
    一、利用函数或不等式的性质
    例1　（2007年重庆市）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：

脐橙品种　　　　　　　　 A　　 B　　 C
                        每辆汽车运载量（吨）　　　6　　 5　　 4
                        每吨脐橙获得（百元）　　 12　　16　　 10

    (1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
    (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
    (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。
    解　(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x辆，装B种脐橙的车辆数为y辆，那么装运C种脐橙的车辆数为(20-x-y)辆，则有
    6x+5y+4(20-x-y)=100，
    整理得：y=-2x+20。
    (2)由(1)知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、-2x+20、20-x-y，易得20-x-y=x。

    解得：4≤x≤8。
    因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种：
    方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；
    方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车；
    方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车；
    方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；
    方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车。
    (3)设利润为W（百元），则
    W=6x×12+5(-2x+20)×16+4x×10
    =-48x+1600。
    因为k=-48＜0，
    所以W的值随x的增大而减小。
    要使利润W最大，则x=4，故选方案一。

    即当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。
    点评　本题利用一元一次不等式组来确定未知数的取值。这类问题有很强的现实意义。
    二、利用数据计算
    例2　（2007年南昌市）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
    方案1　所有评委所给分的平均数；
    方案2　在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；
    方案3　所有评委所给分的中位数；
    方案4　所有评委所给分的众数。
    为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验，下面是这个同学的得分统计图（如图1）。

    图1
    (1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
    (2)根据(1)中的结果，请用统计知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。
    解　(1)方案1最后得分：

    方案3最后得分8；
    方案4最后得分8或8.4。
    (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案。
    因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。
    点评　本题通过计算，结合平均数、中位数以及众数的实际意义，判断出最佳方案，要求考生有一定的计算能力和生活经验。
    三、利用题中范例
    例3　（2006年扬州市）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据：

    (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近＿＿；
    (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是＿＿，摸到黑球的概率是＿＿；
    (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
    (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了，这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。
    解　(1)0.60；
    (2)0.60,0.40；
    (3)白球个数为12只，黑球个数为8只；
    (4)方案1：
    ①添加：向口袋中添加一定数目的黑球，并充分搅匀；
    ②实验：进行大数次的摸球实验（有返回），记录摸到黑球和白球的次数，分别计算频率，由频率估计概率；