人教版八年级上册数学知识点及基本方法步骤

八年级上册数学知识点及基本方法步骤

第十一章  全等三角形

1、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。

2、全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

3、角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

4、角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

5、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：

①确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等边三角形所隐含的边角关系）；

②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；

③正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

第十二章  轴对称

1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3、角平分线上的点到角两边距离相等。

4、线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6、轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

7、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

8、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）

   点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）

   点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y）

9、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

10、等腰三角形的判定：等角对等边。

11、等边三角形的三个内角相等，等于60°。

12、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。

                       有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

                       有两个角是60°的三角形是等边三角形。

13、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

14、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

 

 

第十三章  实数

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x²=a，那么数x就叫做a的平方根。

3、正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

4、立方根：一般地，如果一个数x的立方根等于a，即x³=a，那么数x就叫做a的立方根。

5、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

 

6、数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

 

 

第十四章  一次函数

1、画函数图象的一般步骤：

第1步列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值）；

第2步描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点）；

第3步连线（依次用平滑曲线连接各点——按横坐标由小到大的顺序）。

2、根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式，既函数解析式。

3、若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

八字方针：正撇负捺（K），上加下减（b）

具体图象：大大不过四，小小不过一，大小不过二，小大不过三

4、正比列函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。

5、正比列函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大（增函数），当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小（减函数）。

6、在一次函数y=kx+b中，当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小。

7、已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）：

（1）把两点代入函数一般式y=kx+b列出方程组

   （2）求出待定系数

   （3）把待定系数值再代入函数一般式，得到函数解析式

8、会从函数图象上找到：

一元一次方程的解（即与x轴的交点坐标横坐标值），

一元一次不等式的解集（试情况而定），

二元一次方程组的解（即两函数直线交点坐标值）

第十五章  整式的乘除与因式分解

一、同底数幂的乘法法则:

(m,n都是正数)

它是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字、式子、字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；

⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）

二、幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方法则： (m,n都是正数)

它是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆。

2、式子

3、底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

如将（-a）³化成-a³

 

4、底数有时形式不同，但可以化成相同。

5、要注意区别（ab）ⁿ与（a+b）ⁿ意义是不同的，不要误以为（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ（a、b均不为零）。

6、积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n为正整数）。

7、幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三、 整式的乘法

（1） 单项式与单项式相乘

单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

（2）单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

（3）多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘。，其二次项系数为1，一次项系数等于两个

因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。

对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得    

四、平方差公式

1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

五、完全平方公式

1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，

口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

2、结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3、在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。

添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样

六、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n)。

2、在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0。

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.5⁰=1),则0⁰无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0^-1,0^-3都是无意义的;当a>0时,a^-p的值一定是正的；当a<0时,a^-p的值可能是正也可能是负的,如 ,

④运算要注意运算顺序。

 

七、整式的除法

1、单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

2、多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

八、分解因式

1、把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解与整式乘法是互逆关系。

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

分解因式的一般方法：

第一种：提公共因式法

1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、概念内涵:

(1)因式分解的最后结果应当是“积”；

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式；

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

3、易错点点评:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错；

(2)公因式是否提“干净”；

(3)多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。

第二种：运用公式法

1、如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2、主要公式:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:

 

3、易错点点评:

因式分解要分解到底.如 就没有分解到底.

4、运用公式法:

(1)平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式；

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方；

③二项是异号。

(2)完全平方公式:

①应是三项式；

②其中两项同号,且各为一整式的平方；

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍。

5、因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

第三种：分组分解法

1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

2、概念内涵:

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

3、注意: 分组时要注意符号的变化.

第四种：十字相乘法

1、对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积，  , , 且满足 ,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解.

2、二次三项式 的分解:

       

3、规律内涵:

(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同。

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p。

4、易错点点评:

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错；

(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。