计算机基础理论：原码、反码、补码、移码

fisher60 2011-07-18

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计算机基础理论：原码、反码、补码、移码(2009-04-23 00:02:36)

一、标准理论

1、原码的定义

①小数原码的定义

	[X]_原 =		X	0≤X ＜1
	[X]_原 =		1－ X	－1 ＜ X ≤ 0

例如： X=+0.1011 , [X]原= 01011
X=－0.1011 [X]原= 11011

②整数原码的定义

	[X]_原 =		X	0≤X ＜2n
	[X]_原 =		2ⁿ－X	－ 2n ＜ X ≤ 0

2、补码的定义

①小数补码的定义

	[X]_补 =		X	0≤X ＜1
	[X]_补 =		2＋ X	－1 ≤ X ＜ 0

例如： X=+0.1011, [X]_补= 01011
X=－0.1011, [X]_补= 10101

②整数补码的定义

	[X]_补 =		X	0≤X ＜2ⁿ
	[X]_补 =		2ⁿ⁺¹＋X	－ 2ⁿ ≤ X ＜ 0

3、反码的定义

①小数反码的定义

	[X]_反 =		X	0≤X ＜1
	[X]_反 =		2－2^n-1－X	－1 ＜ X ≤ 0

例如： X=+0.1011 [X]_反= 01011
X=－0.1011 [X]_反= 10100

②整数反码的定义

	[X]_反 =		X	0≤X ＜2ⁿ
	[X]_反 =		2ⁿ⁺¹－1－X	－ 2ⁿ ＜ X ≤ 0

4.移码：移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。

①移码的定义：设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则 [X]_移=2ⁿ + X      -2ⁿ≤X ≤ 2ⁿ
例如： X=＋1011      [X]_移=11011      符号位“1”表示正号
               X=－1011      [X]_移=00101      符号位“0”表示负号

②移码与补码的关系： [X]移与[X]补的关系是符号位互为反码，
例如： X=＋1011 [X]_移=11011 [X]_补=01011
X=－1011 [X]_移=00101 [X]_补=10101

③移码运算应注意的问题：
◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2ⁿ ，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。
◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2ⁿ），属于浮点数下溢。

二、补码加、减运算规则

1、运算规则

[X＋Y]_补= [X]_补＋ [Y]_补
[X－Y]_补= [X]_补＋ [－Y]_补

若已知[Y]_补，求[－Y]_补的方法是：将[Y]_补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y]_补= 101101 [－Y]_补= 010011

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出

三、原码一位乘的实现：

设X=0.1101，Y=－0. 1011，求X*Y
解：符号位单独处理， x_符＋ y_符
数值部分用原码进行一位乘，如下图所示：

高位部分积	低位部分积/乘数		说明
0 0 0 0 0 0	1 0 1 1		起始情况
＋） 0 0 1 1 0 1			乘数最低位为1，+X

0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0	1 1 0 1	1(丢)	右移部分积和乘数
＋） 0 0 1 1 0 1			乘数最低位为1，+X

0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1	1 1 1 0	1(丢)	右移部分积和乘数
＋） 0 0 0 0 0 0			乘数最低位为0，+0

0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0	1 1 1 1	0(丢)	右移部分积和乘数
＋） 0 0 1 1 0 1			乘数最低位为1，+X

0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0	1 1 1 1	1(丢)	右移部分积和乘数

四、原码一位除的实现：一般用不恢复余数法（加减交替法）

部分积	低位部分积附加位		操作说明
0 0 0 0 0 0	1 0 1 1		起始情况
＋） 0 0 0 0 0 0			乘数最低位为1，+X

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0	1 1 0 1	1(丢)	右移部分积和乘数
＋） 1 1 0 0 1 1			乘数最低位为1，+X

0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1	1 1 1 0	1(丢)	右移部分积和乘数
＋） 0 0 0 0 0 0			乘数最低位为0，+0

0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0	1 1 1 1	0(丢)	右移部分积和乘数
＋） 0 0 1 1 0 1			乘数最低位为1，+X

0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0	1 1 1 1	1(丢)	右移部分积和乘数

§2.5 浮点运算与浮点运算器

一、浮点数的运算规则

1、浮点加减法的运算步骤

设两个浮点数 X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
实现X±Y要用如下5步完成：
①对阶操作：小阶向大阶看齐
②进行尾数加减运算
③规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。

④舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
⑤判结果的正确性：即检查阶码是否溢出
若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；
若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。

例题：假定X=0 .0110011*2¹¹，Y=0.1101101*2^-10（此处的数均为二进制） ?? 计算X+Y；
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
     [Y]_浮： 0 0 110 1101101
             符号位阶码尾数

第一步：求阶差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：对阶：Y的阶码小， Y的尾数右移4位
         [Y]_浮变为 0 1 010 0000110 1101暂时保存
第三步：尾数相加，采用双符号位的补码运算
     00 1100110
    +00 0000110
     00 1101100
第四步规格化：满足规格化要求
第五步：舍入处理，采用0舍1入法处理
故最终运算结果的浮点数格式为： 0 1 010 1101101，
即X+Y=+0. 1101101*2¹⁰

2、浮点乘除法的运算步骤

①阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）
即 [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]补
[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]补

②浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理
例题：X=0 .0110011*2¹¹，Y=0.1101101*2^-10
求X※Y
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
[Y]_浮： 0 0 110 1101101
第一步：阶码相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1 010+1 110=1 000
1 000为移码表示的0
第二步：原码尾数相乘的结果为：
0 10101101101110
第三步：规格化处理：已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。
第四步：舍入处理：按舍入规则，加1进行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2⁺⁰⁰⁰

chapter two

计算机内部，数是用二进制表示的。二进制数的编码方式有补码、原码、反码
   和增码。二进制数的表示形式有定点表示(整数INTEGER和20到2-1之间的数)和浮点
   表示两种。
   无论什么数，它总是由符号和数值两部分组成。在计算机中数值和符号用某种
   编码的形式表示。为明确起见，把原来的数值叫做真值，而把机器中对符号和数值
   进行编码之后的数值叫做机器数。
   1.原码
   ▲n位二进制定点小数X=x0x1x2...xn-1的原码[X]原定义为:
   ┌X    当1>X>=0时
   [X]原=┤
   └1-X=1+│X│    当0>=X>-1时
   其特点有:
   (1)0的原码有两种,即0.0000...0和1.0000...0。
   n个    n个
   (2)数的表示范围[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]
   (3)最高位为符号位.若负数时符号位为1;正数则符号位为0.
   (4)作乘除运算时较为方便,但作加减运算时较为复杂.
   例:    若X=0.0101101.则[X]原=0.0101101
   若X=-0.1010010,则[X]原=1.1010010
   ▲n位整数X的原码定义如下:
   ┌X    当2n-1>X>=0时
   [X]原=┤
   └2n-1-x=2n-1+│X│    当0>=X>-2-n-1时
   2.补码
   ▲n位二进制定点小数X=x0x1x2...xn-1的补码[X]补定义为:
   ┌X    当1>X>=0时
   [X]补=┤
   └2+X=2-│X│    当0>X>=-1时
   其特点有:
   (1)0的补码有只有一种形式,即0.0000...0
   n个
   (2)数的表示范围[-1,(1-2-n+1)]
   (3)最高位为符号位.若负数时符号位为1;正数则符号位为0.
   (4)对于两个数X,Y,且X+Y不溢出,则有[X+Y]补=[X]补+[Y]补.
   (5)补码加法的溢出判别,若两数均为负数相加,则最高位进位是0为下溢;若
   两数均为正数相加,则最高位是1为上溢;若一正数和一负数相加,则不会发生溢出.
   (6)作加减运算时较为方便,但作乘除运算时要比原码复杂.
   例:若    X=-0.1000100,    则[X]补=10-0.1000100=1.0111100
   若    X=0.1000001,    则[X]补=X=0.1000001
   注:负数补码的求法:按位求反末位加1
   如:求-0.1000100的补码
   (1)按位求反:1.0111011
   (2)末位加1:    1.0111100
   1.0111100即为-0.1000100的补码。
   ▲n位整数X的补码定义如下:
   ┌X    当2n-1>X>=0时
   [X]补=┤
   └2n+X=2n-│X│    当0>X>=-2n-1时
   3.反码
   ▲n位二进制定点小数X=x0x1x2...xn-1的反码[X]反定义为:
   ┌X    当1>X>=0时
   [X]反=┤
   2-2-n+1+X    当-1<X<=0时

   其特点有:
   (1)0的反码有两种,即0.0000...0和1.1111...1。
   n个    n个
   (2)数的表示范围[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]
   (3)最高位为符号位.若负数时符号位为1;正数则符号位为0.
   (4)反码和补码的关系:[X]补=[X]反+2-n+1.
   (5)反码加法:[X+Y]反=[X]反+[Y]反+Ψ(Ψ为[X]反+[Y]反的最高位进位).
   (6)反码加法的溢出判别和补码相同.
   例:    若X=-0.1011    则[X]反=10-0.0001-0.1011=1.0100
   若[X]补=1.0110,    求[X]反.
   因为    [X]补=[X]反+0.0001
   所以    [X]反=[X]补-0.0001=1.0101
   或者:X=-10+1.0110=-0.1010
   则[X]反=(10-0.0001)-0.1010=1.0101
   ▲n位整数X的反码定义如下:
   ┌X    当2n-1>X>=0时
   [X]反=┤
   └(2n-1)+X    当0>=X>-2n-1时
   总之,一个正数X的原码、补码、反码均为其本身。一个二进制负数的原码、补
   码、反码可用公式求得；一个负数的原码只要将符号位变为１，而其它都不变，一
   个负数的反码只要将原码除符号位外其它位按位求反即可，一个负数Ｘ的补码可用
   列方法求得：写出Ｘ的原码，将其按位求反，再在末尾加上１即可。

二、民间通俗说法

对于在内存中存有的数据都是以二进制形式存在可是为了更好地区分正数和负数便采用了不同的编码存储:
对于正数,在内存中存在的是其原码:
如:
int i=1;
则变量i在内存中的存大形式为: 00 00 00 00 00 00 00 01
一个C语言中的整型变量占有两个字节即16位二进制数位.最高位为符号位 "0"表示其为正.
原码是将变量直接转为二进制存储.

对于负数如:
int i=-1;
首先在符号位上表征其为负即最高位为1: 10 00 00 00 00 00 00 01
符号位后便是1的原码:         0 00 00 00 00 00 00 01
实际上负数据并非这样存储,而是先将符号位之后的15位每位求反:0变1,1变0.
则所得码为(符号位不变,其它位求反,反码即每原码每位求反):                           11 11 11 11 11 11 11 10
补码为原码再加 1 ,则为:
    11 11 11 11 11 11 11 11
负数在内存中以补码形式存储在内存中草存在的形式为其补码形式即:
       11 11 11 11 11 11 11 11
                取数时系统先看符号位如果是"0"则直接输出,如果为"1" 则认为所存为负数:
即将所存数减1先求出其反码,若仍以"-1"为例则补码减1后为:                          11 11 11 11 11 11 11 10
然后符号位外每位求反得其原码:     10 00 00 00 00 00 00 01
然后输出: -1.

内存中存的数都是以补码形式存在的，原码是正数的时候，补码就是原码，是负数的时候，补码就是原码取反加1，反码就是原码取反
主要原因是原码和反码在表示数的时候的不唯一性，比如表示零的时候，原码、反码就有两种表示法，10000000和00000000，所以采用补码。