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浅谈充分必要条件的判断与证明

2011-07-20  生活-快乐
浅谈充分必要条件的判断与证明

博兴县第二中学    曹连伟    2011年7月20日 09:18

刘玉华于11-7-20 10:16推荐充分必要条件的判断与证明例题典型,总结全面
朱恒杰于11-7-20 11:44推荐对充分必要条件的判断与证明方法总结的详尽全面,有学习和借鉴价值。
   对于充分、必要条件的判断与证明,有些初学的同学感觉困难,下面就结合典型例题介绍几种充要条件的判定与证明方法,有认识不到位的地方,望老师们批评指正。

一、充分条件与必要条件的判定

判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义。如果p?q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称qp的必要条件;如果q?p,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称qp的充分条件;如果既有p?q,又有q?p,记作p?q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的。

1、定义法

利用定义判断命题的充分、必要条件应该明确:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推导结论,从结论推导条件;③确定条件是结论的什么条件.具体情况如下:

 

【归纳总结】利用定义判断充分、必要条件要注意从两个方向进行判断。判断过程中,一般通过举反例来判断条件与结论之间的不能推出关系。

2命题法

p为条件,q为结论,由此构造一个命题:如果p,则q,则

(1)如果原命题成立,逆命题不成立,则原命题的条件是充分不必要的;

(2)如果原命题不成立,逆命题成立,则原命题的条件是必要一充分的;

(3)如果原命题和它的逆命题都成立,则原命题的条件是充要的;

(4)如果原命题和它的逆命题都不成立,则原命题的条件是既不充分又必要的。

【归纳总结】

 

3、传递法

由于逻辑联结符号“T”、“ü”、“?”具有传递性,因此可根据几个条件的关系,经过若干次的传递,再判断两个条件之间的条件关系。

【归纳总结】利用“T”、“ü”、“?”连结条件要注意考虑两个方向,即按“T”与“ü”传递的方向。

4、集合法

p为条件,q为结论,且设p所对应的集合为A{x|p}q所对应的集合为B

【归纳总结(1)要分清充分性和必要性;

(2)注意两种说法“pq的必要不充分条件”与“q的必要不充分条件是p”是等价的;

(3)从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围。

二、充要条件的证明

证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明。

【归纳总结】(1)条件已知证明结论成立是充分性。结论已知推出条件成立是必要性;

(2)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论。

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