1. 主振型的正交性
正交的概念：两个向量
，其中
，
，称为
正交；矢量的概念。
正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。
这里我们讨论主振型的正交性：
以两个自由度体系为例:
功的互等定理（Betti’s law）
即:
故有
上式可推广到一般情况
第一个正交关系为：
或
证明：
由特征方程有
将上式两边分别乘以得
对其中任一式转置并相减得
如果
同理也可推得
（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。）
对k=L 时，我们定义
Mk , Kk分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。
由特征方程有:
即:
由此得:
这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。这个公式是单自由度体系频率公式的推广。
正交关系的利用：
判断主振型的形状是否正确；
在振型分解法中的应用。
例17-8讲解重点正交性的验算
2*. 主振型矩阵
如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即
这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为
根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y] 和 [Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。下面证明：
[Y]T[M][Y]=
上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……Mn, 由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。即
[Y]T[M][Y]=
对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。
同样可得
其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。
