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李尚志的博客_数学聊斋(之10,之11)

2011-08-16  西窗听雨

数学聊斋(之10,之11

10 邯郸农行案——概率2

邯郸农行两个工作人员,利用职务之便盗窃银行金库里的钱,拿去买体育彩票。他们的如意算盘是:买彩票中了奖,赚了钱之后,将盗窃的钱还回金库,多余的钱就自己得了。结果是,不但没有赚,反而血本无归。他们逃跑被抓回来,判了死刑。

我从网上浏览新闻知道这件事,没有太注意它的细节。一次看电视正好看见记者采访其中一位罪犯,才知道他买彩票在一开始还曾经赚了(这个运气简直太好了!),后来继续买下去,连续买了很多很多张,全都没有中奖。记者问他对连续不中奖有什么看法,他回答:“太意外了!”看来他是死也不回头的。如果来世再投胎,他还会继续买下去。

我没有记住他是连续买了多少张彩票全都没有中奖。不过由此想到了一个考试题,在北航招收保送生的考试中用上了:

假定买某种彩票中奖的概率为 10%,如下两件事哪一件发生的的可能性更大?

1.只买一张就中奖。 2. 连续买了20张全都不中奖。

按一般人的直观感觉:买一张就中奖是很有可能的,连续买20张全都不中奖就“太意外了”。既然有10%的人中奖,那就很有可能是我自己。既然中奖率是10%,正常情况下买10张就应当中奖了,即使运气再差一点,买11,12张或者15,16张总应当中奖了吧,20张都不中简直是天方夜谭。

这两件事的概率也很好计算,现在的中学生都学过。

买一张就中奖的概率当然就是10%

20张都不中奖的概率是 (1-10%)20 = 0.920 = 0.1215…>10%,比买一张就中奖的可能性更大。

考试中要求考生不用计算器,考察他们利用数学知识解决问题的能力。多数考生想出了办法,比如利用二项式定理计算 (1-0.1) 20 的前几项。另外还有一个办法:先算0.9 2 =0.81 再算0.9 4 = 0.812= 0.6561,再算 0.9 8 = 0.65612=0.430467,再算 0.9 16 = 0.4304672 = 0.1853 ,最后得到 0.920 = 0.916 x0.94 = 0.1853 x0.6561=0.1215…

买体育彩票的中奖率当然没有达到10%。到底是多少我没有去调查。不过,可以问:如果中奖率是千分之一,买2千张都不中奖的概率是多少? 如果中奖率是万分之一,买2万张都不中奖的概率是多少?两种情况下的中奖率分别为 (1-1/1000)2000(1-1/10000)20000,用计算机计算出近似值分别为 0.1352, 0.135322

更一般地,中奖率为 1/n,买2n 张都不中奖的概率是(1-1/n2n。当 n趋于无穷大时,(1+1/nn趋于极限 e = 2.71828…, 而(1-1/nn 趋于极限 e -1,而(1-1/n2n趋于 e -2 = 0.135335…。当 n = 1000,10000时,也可以用 e -2 作为所求概率的近似值。

11 杯中水面与墙上光影——生活中的圆锥曲线

如果问什么是圆锥曲线,很多中学生就会马上回答:到一个定点和一条定直线的距离之比为定值的点的轨迹,称为圆锥曲线。这是书上写的,当然不会错。但是,如果再问一句:“既然叫做圆锥曲线,总应当与圆锥有关系吧。这样定义的轨迹与圆锥有什么关系?”能够回答出来的中学生就会少得多了。

如果知道圆锥曲线可以用一个平面去截一个圆锥来得到,将它们称为圆锥曲线就很自然了。但是,很多学生不知道这件事。这不能怪学生,因为书上不讲。即使有的书上讲了,也不是教材的正文,至多是个阅读材料,因为不考试,所以老师也不讲。为什么不能作为正文来讲?我猜想:课本正文的内容大概都必须“既要知其然,还要知其所以然”,反过来就是“如果不能知其所以然,就不让你知其然。”如果只知道“不经过圆锥顶点的平面截圆锥得到的曲线是圆锥曲线”,这只能算是“知其然”。要“知其所以然”,就必须给出证明。但是,这个证明比较难,不宜作为教材正文的内容。既然不能讲“所以然”,因此就将“然”也一刀砍了!

“知其所以然”,当然是好事情。但是,好事情做得太过分就会变成坏事。比如你去买一个电视机,目的就是用它来看电视节目。如果还要求你“知其所以然”,了解电视机的内部构造和元件原理,甚至了解无线电原理、麦克斯韦方程,一般老百姓做不到。是否就不准这些“不知其所以然”的人们买电视机了呢?当然不是。只要他会插电源,打开电视,会用遥控器调整频道,就能看电视了。如果有的人想学修电视机,那就需要了解元件。如果想发明新型的电视机,那才需要精通无线电原理等更深的科学知识。在每一个人的知识结构中,能够知其所以然的只能是少数核心的知识,大量的知识只能是知其然而不知其所以然,其中有的知识在需要的时候再去知其所以然。

平面截圆锥得到圆锥曲线,要“知其所以然”虽然比较困难,但要“知其然”却很容易。一句话就讲了,并且也很容易理解。不过,只是宣布一个结论让学生去死记硬背,也不是好办法。能不能有一个折衷办法,不讲严格证明,但还是给一点理由让学生相信、并且留下深刻印象? 有一个办法,就是做实验。拿一个圆锥和一个平面,用平面截圆锥让学生观察截痕,看它的形状是否像圆锥曲线。

这个实验说起来容易,真做起来就不那么容易。用什么做圆锥?用木头、金属吗?老师和学生要加工出一个比较精确的圆锥恐怕很难。将圆锥加工好了,再用平面去截也很难实现。用泥巴做圆锥,加工起来倒是容易,不过很难保持精确的形状。

老子说“上善若水”。比泥巴更容易加工的原料是水?能不能用水做一个圆锥,再用平面去截它?可以。水的形状由容器的形状决定。只要容器的形状是圆锥的一部分,其中装的水的形状也就是圆锥的一部分。比如,喝水用的一次性杯子,上面粗,下面细,可以看作圆台形,其内表面可以看作圆锥面的一部分,其中装的水的外表面也就是圆锥的一部分。由于重力的作用,水面可以看成平面。水面与容器分界线就自然是平面与圆锥面的交线。当杯子平放时,水平面与圆锥的轴垂直,交线是圆。将杯子倾斜,交线就是椭圆。如果想得到抛物线或者双曲线,水就不能装在杯子里而要“装”在杯子外,也就是将水装在盆或桶里,再将杯子泡在水里,让水平面与杯子的外表面相交得到交线,就可以得到抛物线或者双曲线(的一支)

比水更容易加工”的原料是光。光不能装在容器里,但可以从“容器”“倾泻”出来形成一定的形状。比如,手电筒射出来的光束,圆形灯罩里的台灯照出来的光束,天花板上的筒灯里照出来的光束,就都是圆锥形。光束照到墙上,就好比用平面(墙)去截圆锥,光照到的亮处与没有照到的地方的暗处的分界线就是平面与圆锥的交线,就是圆锥曲线。调整手电筒照射的方向,可以得到圆、椭圆、抛物线、双曲线。台灯和筒灯照出来的圆锥形光束的轴基本上与墙平行,得到的交线是双曲线的一支。如下图:

很多学生知道平面与圆锥面的交线是圆锥曲线。但在它们心目中,只有考卷上给出的“已知一个圆锥”才是圆锥,手上拿的杯子、台灯射出的光束就不是圆锥。我在对学生进行口试时问过倾斜的杯中的水面边缘的形状是什么曲线,很多学生认为当杯子上下一样粗、形状是圆柱时水面边缘是椭圆,而当杯子上面粗下面细时就认为不是椭圆,而是一头尖一些、一头平一些、像鸡蛋那样的曲线。他们把书上的知识与现实生活完全割裂开来。我们必须帮助他们改变这个不良习惯。还有的学生看见筒灯在墙上照出的光影边缘就认为是抛物线。我问他抛物线与双曲线有什么区别。他回答说:到一个定点和定直线的距离之比等于1的点的轨迹是抛物线,距离之比是大于1的常数的点的轨迹是双曲线。这当然不错。但是,在墙上找不到所说的定点、定直线,也很难度量距离之比,所以不能用这样的定义来作出判断。其实,抛物线与双曲线有一个重大区别是:双曲线有渐近线,抛物线没有。我们在墙上不能直接看见双曲线的渐近线,但可以间接看到:既然双曲线无限趋近于这两条渐近线,也就是无限趋近于两条相交直线,那么当双曲线向两段无限延伸时,自身的形状就应当越来越接近两条相交直线。而抛物线则不然,越来越接近于两条相互远离的平行直线。


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