李尚志的博客------数学大观——文科数学教学的一次尝试

数学大观——文科数学教学的一次尝试

一年以前，北航研究生院希望我为北航文科的研究生开设一门数学课程，课程的内容和名称都由我确定。我虽然上过多年的数学课，并且在数学基础课程教学指导分委员会分工负责文科的数学基础教学，组织并参加了几次有关的会议，但实在没有给文科的学生上数学课的经历，因此有兴趣借此机会进行一次试验，获得一些感性认识。

为了上这门课，首先要解决的问题是：给这些文科的研究生上数学课要达到什么教学目的？如果是经济类的“文科”，学生在专业学习和研究中本来就需要用到许多具体的数学知识，他们可以去学习理工科的相应的数学课。但是，如果是语言、文学、哲学这样“真正意义”的文科，对他们有用的其实不是某些具体的数学知识，而是数学的思想和观念。而且，他们中的不少人，当初之所以选择文科而不选择理工科，很大程度上是由于对数学的害怕、讨厌甚至仇恨。如果再板着面孔将一些具体的数学知识硬灌给他们，不但不可能让他们掌握这些数学知识，反而会强化他们对数学的反感和仇视，有什么好处呢？因此，我一开始确定的教学目标就是：1. 展示数学的神奇、精彩、美丽的本来面目，在一定程度上赢得文科学生对数学的好感和兴趣；即使达不到这一目的，哪怕能够降低他们对数学的反感和仇视也好。2. 让文科学生对数学的一些重要的思想方法有所了解和体会。

怎样才能引起文科学生对数学的兴趣，并帮助他们对数学的思想方法有所了解和体会？如果只是说一些赞扬数学的华丽词语，讲一些数学思想方法的高谈阔论，很可能会适得其反，不但不能让学生喜欢数学，懂得数学，反而使他们对数学更反感。我的计划是通过一些具体的例子来体现数学的精彩和美丽、思想和方法。金庸的武侠小说《倚天屠龙记》中张三丰教张无忌太极剑，先是张三丰通过一定的招式来演示，然后张无忌跟着学习。张无忌使出来的招式竟然与张三丰的大不相同。张三丰不但不责怪张无忌离经叛道，反而要求张无忌将他所演示的招式彻底忘掉，才算是真正学会了。这个故事虽然显得有些离谱，但是却体现了一种高明的教学方式：张无忌需要学的不是太极剑的具体招数，而是太极剑的意识和理念。然而意识和理念必须通过具体招数来体现。张无忌透过具体招数学到了意识和理念，然后又将这些招数抛弃，在实战使用中通过自己随心所欲使出来的另外的招数体现了学到的意识和理念。简而言之就是：无招胜有招，通过有招学无招。我设计的文科数学的课程就采用了这样的思路：通过数学中一些重大的问题及其解决的过程，来体现解决问题的思路。尤为重要的是：最关键的最原创的思路往往是最简单的，因而是最精彩的。我从最简单的 3+2=5 开始，以此为例说明数学的抽象就是“难得糊涂”，就是从不同的事物中忽略不同点而提取共同点。将“3个手指加2个手指”、“3支铅笔加2只铅笔”、“3个乒乓球加2个乒乓球”混为一谈，忽略了肉做的手指和木头做的铅笔的差别、长的和圆的差别，只关心数量的多少，这就是“3+2=5”。用字母表示数，如乘法公式 “(a-b)²=a²+b²-2ab”，字母所代表的数的多少也忽略了，提取出共同的运算规律。更高水平的“糊涂”是这个公式中的字母 a,b 甚至可以不代表数而是代表向量，得到的就是几何学中的余弦定理。这只是一个例子。整个课程的目的就是为了传播理念而不是为了传授“招数”，但课程的内容全部是由“招数”组成，这就是“通过有招学无招”。

“3+2=5”是幼儿园的算术; 用字母表示数是中学数学; 即使再举一些微积分的例子甚至“有理数更多还是无理数更多”这样的例子，至多也只是大学本科的数学。这样“低等”的数学能作为研究生的数学课程吗？研究生的课程水平当然应当比本科生课程更高。但是对于文科研究生的数学课程来说，水平更高不一定体现在数学知识的难度，而可以体现在思想的深度和哲学的高度。“抽象就是难得糊涂”，“通过有招学无招”，说的是“普遍性存在于特殊性之中、抽象存在于具体之中”这样的哲学观点。针对文科学生的特长，整个课程的各个例子及其叙述方式，既体现一定的数学思想，也体现一定的哲学思想。为了增加本课程的人文气氛，还举了不少金庸的武侠小说中的例子来说明这些思想，并且采用了诗歌的语言来体现数学内容和数学思想。例如，在讲复数时不是强行定义i²= – 1，而是通过诗句“平方得负岂荒唐，左转两番朝后方”给出了一个几何模型：将“左转 90^o ”的变换记作 i ，则 i² 就是“左转两番”，也就是左转 180^o, 就是向后转，相当于用 – 1 去乘。又如，诗句“星移斗转落银河，月印三潭伴碧波。保短保长皆变换，能伸能屈是几何”不但给出了线性变换的两个例子：“星移斗转”（绕轴的旋转）、“月印三潭”（关于平面的对称），还体现了关于几何变换的不变量的著名的爱尔兰根纲领。除了有诗歌，还有音乐：利用等比数列计算了 1,2,3,4,5,6,7, i 各个音的频率，再利用计算机编程播放出来。其目的，是希望改变数学在文科学生中死板枯燥、恐怖冷峻的成见，代之以既英姿飒爽又和蔼可亲的本来面目。

这个课程叫什么名称也使我费了不少心思。既然是“通过有招学无招”，最先想到的是“数学思想概论”、“数学的思想与方法”这一类的名称。但又觉得这样的名称过于板着面孔，没有亲切感，缺乏人文气息。想了好几个月也没有想出一个满意的名称。直到2005年暑假，我在成都出差，北航研究生院一位工作人员打我的手机催我赶快确定课程名称。当时我还坐在出租车上在熙熙攘攘的大街小巷穿行。也许是受天府之国人杰地灵的人文气氛的启发吧，突然想起念中学时就背熟了的范仲淹的《岳阳楼记》中的一句“此则岳阳楼之大观也”，当即决定将课程名称定为“数学大观”，就是说，它是数学的一幅写意画而不是工笔画。不敢说这个名字就是最好的。但在后来上课的时候向学生解释了我为什么要为这门课程取“数学大观”这个名字，发现学生喜欢这个名字。

经过近一年的策划，被我称为“数学大观”的这门课终于在2006年上半年付诸实施了，每周一次课，上3学时，共上了6周，总共18学时。作为一门课程，自然要有一个考试。我没有按传统的数学课那样出一些数学题让学生去解答，而是让每个学生写一篇文章实话实说谈他们的感想体会。这既是对学生学习效果的考试，也是对我的课程设计及实施的效果的考试。下面附上的是从北航人文社会科学学院行政管理专业一位学生(学号：SY0511132)的心得体会《数学原来可以如此精彩》中摘录出来的一部分内容：

在经过了6周的数学大观课程的熏陶之后，在李老师生动且深入浅出的讲授下，令我感触颇深的是对数学这门课程全新的认识，数学原来并不是只是为解题和考试服务，数学原来不仅仅是数字游戏，数学原来也不只是一群资深而不苟言笑的专家们所独占，数学原来也是人生观，数学原来也可以是方法论，数学原来可以如此精彩。尽管不可能全面、透彻地掌握数学这门学科的本质，但至少在这短短的时间内让我触碰到了数学这门学科的根本，让我触碰到了真实且真正的数学。由于是文科学生，限于数学功底以及基础的薄弱和自身种种的局限，不能够对数学知识做独到的分析，只能是学生课后的一些真实的感受和愚见。另外，李老师作为一名自然科学的教授和学者，其授课的文采令学生佩服不已，使得我这个学习文科多年的学生倍感惭愧。

通过数学大观这门课程学习后的心得，学生本人从个人的角度出发，认为李老师对文科生的数学教学是成功的，并且借鉴和分析李老师的课程的成功因素，对改变高校文科类学生对数学教育的反感，斗胆发表些许愚见。

首先，是对高校文科类学生高等数学教育的总体定位问题。这是一个首要的宏观问题，是“战略”问题，即首先要把高校中的文科类学生尤其是纯文科专业的学生当作一个特殊的群体来对待，他们有很多与其它理工科类学生不同的特点，比如前面提到的，数学基础薄弱、对数学学习兴趣的缺乏、对于数学特别是高等数学对本专业联系的认识方面不到位或不够深刻等，所以对这个群体的数学教育要从宏观出发，教育目标的定位不应该是高等数学知识体系中具体的深刻的细节领会，而是高等数学作为一个整体让该类学生领悟其思想。个人认为，李老师的课能够对我有所启发，关键在于老师一开始就对该问题的定位相当明确，从文科类大学生普遍的特点出发，运用了范仲淹的名篇《岳阳楼记》中“此则岳阳楼之大观也”，具有文学色彩的“大观”二字为其数学课程命名，而且反复强调他所授知识的对象只要具备初等数学知识至多也就是高等数学的一般基础知识，因此，李老师对文科类学生数学教育的定位问题至少在“战略”上是成功的。

其次，是对高校文科类学生数学老师授课方面的过程问题。据本人的观察以及和大多数文科类大学生的交流中发现，许多高校数学老师对文科生的授课手段和技巧方面是缺乏的，从而加大了学生对数学学习的距离，减弱了对数学学习的自信，降低了对数学学习的兴趣与热情。原因很可能在于这几个方面。第一，数学教师没有从实际出发，首先从“战略”上将文科学生群体和其他理工科类学生混同，没有做到因人而异、因材施教；第二，数学教师专业的局限性，许多数学老师多半为科班数学专业出身，在作为学生阶段在研习数学知识的过程中并未关注数学与人文类专业的关联性，把数学教学仅仅当作纯粹传授数学理论的过程，未能让学生看到数学知识对于本专业影响的良好预期；第三，数学教师自身的综合素质问题，大多数年轻的缺乏教学经验的数学老师授课“三句不离本行”，他们一般都是数学领域内的专才，但却是其它领域的“平民”，若要对文科类学生实施成功数学教育，丰富自身的人文修养是必要的。李老师所拥有的渊博的数学专业知识，多年丰富的教学实践经验，令人赞叹的个人文采以及风趣生动的授课技巧，足以让文科学生重燃对数学学习的兴趣，重拾对数学学习的信心。

最后，是对高校文科类学生数学教育的最终效果的问题。“效果”二字应该是“有效”与“结果”的合成，受现在社会上盛行的急功近利和浮躁思潮的影响，多数学生以追求60分为最现实的目标，老师也以完成教学计划为主，多数高校对文科类学生数学教育是只重“（结）果”而轻“（有）效”，一味追求“症状解”而非“根本解”造成的结果就是本末倒置，导致很多文科大学生学完了高等数学并且考试及格却不知何谓“高等数学”，最终受害的是学生和学业的学习和研究。反观李老师的课程，正如老师开篇就明确地指出数学大观这门课程最终的目的是让大家领略数学的思维和数学的精彩，而不是某个具体问题的推导与解析；要大家掌握的是“是什么”，而不是“为什么”；追求的是“根本解”即如何体会、掌握和运用数学思维，而不是“症状解”即“60分”。记得有堂课，某同学问到老师课后的心得体会有没有字数限制时，李老师的回答却是“这是一个多么愚蠢的问题啊。”反复玩味之后得出结论，“60分”=“一个多么愚蠢的问题啊！”。

6个星期的学习虽是很短的时间，但时间的长短并不是学习知识真谛、领悟知识本质的桎梏。这段时间既是我学习阶段的一个片段和插曲，同时也是开启我另一个全新学习阶段的起点。“数学大观”教会了我很多东西，数学原来可以如此精彩！

以上这位学生可以说是收获不小。如果所有的学生都有这样的收获，那就表明这门课程非常成功了。然而事实上还没有达到这样皆大欢喜的程度。整体上看，可以说参加听课的学生或多或少地改变了对数学的负面看法，有的人对数学产生了新的感受，另外的人减少了对数学的反感，这已经达到了我所希望的效果。当然，我也发现，所选取的有一部分数学素材对一些人来说还是太深了，他们没有听懂。而我在第一节课从精心设计的比较浅显的例子开始讲的时候，有些学生由于对课时的安排和本课程的性质不太了解而没有来，失去了一次由浅入深的机会，影响了他们对整个课程的感受。还可以看出，有一些论文的作者并没有来听我讲课，而是从网上下载了一些赞扬数学的话和对数学的思想方法的深刻而经典的论述，写成了一篇洋洋洒洒的论文。在互联网发达的今天，要做到这一点并不太难。我认为这也很好，能够有这样一个机会让这些文科的研究生舍得花费一些时间通过网络对数学重新进行一次认识和了解，也是他们的一种收获，值得肯定和赞许的。不过，他们如果读一读以上那位同学的体会，也许会为失去一次欣赏数学的机会感到有些遗憾。

后记：本文是2006年写的。曾发表于《中国大学数学》（2006年第11期），发表时作了适当压缩。该课程于2007年上半年再次开设，选课对象扩大到文科以及工科的一部分本科生。北航的文科本科生在入学时高考数学分数也都是不低的，他们所学的数学课内容与工科学生差别不大，仍然要较系统地学习微积分等内容。既然他们能够接受得了，那也很好。但是，这样一个“无招胜有招”的数学课程，仍然使他们耳目一新。我现在越来越明确地将《数学大观》定位于“数学文化”课，不论是文科还是理工科学生，不论他们是否学过传统的“高等数学”的内容，都希望他们通过本课程能体会到数学的思想方法的精彩与美丽，受到启迪，得到享受。