微元法在高中物理解题中的应用

微元法在高中物理解题中的应用

陈少刚

【专题名称】中学物理教与学
【专 题 号】G36
【复印期号】2010年02期
【原文出处】《中学教学参考（理科）》(南宁)2009年10期第100～101页
【作者简介】陈少刚，广西昭平中学(546800)。

    微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象进行无限细分，从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象变化规律的一种思想方法，用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。微元法贯穿于高中阶段的物理知识体系，渗透于一些物理概念、公式中。
    在使用微元法处理连续体问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”（如时间元△t、质量元△m、长度元△L、面积元△S），而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而对问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而达到巩固知识、加深认识和提高能力的目的。
    选取微元时所遵从的基本原则是：所取的“微元”必须参加叠加演算，因此，对“微元”及相应的量应该具备“可加性”特征；为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”。
    一、微元在高中物理解题中的应用
    在中学物理解题过程中，通常遇到时间元△t、质量元△m，教师在平时习题课教学和课外辅导中有目的地选取这类习题，可激发学生的解题兴趣和求知欲望。如何选取微元，进行计算。下面笔者进一步说明微元法在实际运用中的方法及技巧。
    1.对于质量元△m
    当遇到每个“质量元”所遵循的规律是相同时，需将其分解为众多微小的“质量元”。我们只需取“质量元”为研究对象，进行分析，得出表达式，从而使问题求解。
    【例1】　加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？
    
    图1
    
    【例2】　建筑工地上的黄砂，若堆成圆锥形而且不管如何堆，其锥角总是不变，试证明之。如果测出其圆锥底的周长为12.1 m，高为1.5 m，求黄砂之间的动摩擦因数。（设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等）
    
    图2
    证明：如图2所示，圆锥形黄砂堆倾角为θ，取砂粒子质量元△m进行受力分析，△m沿堆面不向下滑动，则处于平衡状态且达到最大静摩擦力，所以△mgsinθ=μ△mgcosθ，即tanθ=μ，
    因为μ不变，则倾角θ恒定。
    
    2.对于时间元△t
    当物理问题中涉及一段时间，在这段时间内各物理量不断变化时，若此题不用微元法，用常规方法会很难下手。
    【例1】　阴极射线管中，由阴极K产生的热电子（初速为零）经电压U加速后，打在阳极A板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中A板所受的压强。（已知电子的电量为e，质量为m）
    
    【例2】　如图3所示，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800 kV的直线加速器加速，形成电流强度为1.0mA的细柱形质子流。已知质子电荷，这束质子流每秒打到靶上的质子数为______。假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为，则=______。
    
    图3
    
    二、换元在高中物理解题中的应用
    “时间元”与“质量元”间的相互代换叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式。
    就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数”满足“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难，所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数”，使之具备“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。
    在高中物理中，由于数学学习上的局限，“时间元”与“质量元”之间的互换最常见的有如下两种：
    1.根据物体受力的特点利用换元求力的大小
    【例1】　河水对横停在其中的大船侧舷能激起2m高的浪，试估算将要建造的拦河大坝单位面积上所受河水的冲击力为多大？（g取）
    
    【例2】　一宇宙飞船以速度v进入空间分布密度为ρ的尘埃中，如果飞船垂直于运动方向上的最大截面积为S，且认为尘埃与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到的尘埃的平均制动力为多大？
    
    2.根据力做功的特点利用换元求功率
    【例1】　有一台风力发电机，进风口和风轮旋转时形成的截面积均为S，进风口风的速度为v，出风口的截面积为进口风截面积的4倍，如果风损失的动能完全转化为电能，则这台风力发电机输出的电功率为多少？已知空气的密度为ρ。
    解：设气流在出口处的速度为v′，在△t时间内
    
    “微元法”虽然是在物理竞赛中使用比较多，但在我们平常的训练中也不失为一种好方法。它并不局限在求变力做功的问题上，在一些求解瞬时速度、曲线运动的轨迹方程等方面都有着广泛的运用，作为大学知识在高中的应用，“微元法”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维，对于高中特别是高三的学生，应当要熟练掌握。
    而且广西普通高中新课改即将来临，高中数学中加入了导数和积分的知识后，对应用微元法来解决实际问题能力的考查便成了理所当然之事，笔者认为这类题目在高考中出现的概率很高，应予以重视。^NU1DA20100416

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