第1讲 集 合

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

     第1讲   集  合

一．【课标要求】

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用

二．【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题或1个填空题；

（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用

三．【要点精讲】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素，记作 ；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N^*或N₊；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或 ）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A，则称A等于B，记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A    B；

（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C，则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2ⁿ个子集（其中2ⁿ－1个真子集）；

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，A S，则， = 称S中子集A的补集；

（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= ， =S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

（1）

（2）

（3）

（4） ；

（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）， （A∪B）=（ A）∩（ B）。

四．【典例解析】

题型1：集合的概念

 (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__

答案  ：12

解析   设两者都喜欢的人数为 人，则只喜爱篮球的有 人，只喜爱乒乓球的有 人，由此可得 ，解得 ，所以 ，即 所求人数为12人。     

例1．（2009广东卷理）已知全集 ，集合 和

的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有                                                (     )

A. 3个                                            B. 2个

C. 1个                                            D. 无穷多个

答案   B

解析  由 得 ，则 ，有2个，选B.

 

例2．(2009山东卷理)集合 , ,若 ,则 的值

为                                                                (    )

A.0          B.1           C.2           D.4

答案  D

解析  ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

 

题型2：集合的性质

例3．(2009山东卷理)集合 , ,若 ,则 的值为                                                            (    )

A.0          B.1           C.2           D.4

答案  D

解析  ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

 

随堂练习

1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x ²+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为              （    ）

A．{2}                         B．{3}    

C．{－3，2}                   D．{－2，3}     

2. 已知集合A={y|y²-(a²+a+1)y+a(a²+1)>0},B={y|y²-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（          ）．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．

解：由题知可解得A={y|y>a²+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图

由 ，得

∴ 或 .

即A∩B＝φ时a的范围为 或 .而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为 .

评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

 

例4．已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由

解：∵ ；

∴ ，即 ＝0，解得

当 时， ，为A中元素；

当 时，

当 时，

∴这样的实数x存在，是 或 。

另法：∵

∴ ，

∴ ＝0且

∴ 或 。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 是两层含义： 。

变式题：已知集合 ， , ,求 的值。

解：由 可知，

（1） ，或（2）

解（1）得 ，

解（2）得 ，

又因为当 时， 与题意不符，

所以， 。

题型3：集合的运算

例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数 的定义域集合是A,函数 的定义域集合是B

（1）求集合A、B

（2）若A B=B,求实数 的取值范围．

解  （1）A＝

B＝

（2）由A B＝B得A B，因此

所以 ,所以实数 的取值范围是

例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合 ,则 (   )

  A.                     B.

  C.                      D.

答案  A

解析  易有 ，选A

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题

例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M= ，N= ，则                                                            （    ） 

A．                                      B．     

C．                                  D．

   答案   C

 

 

例8．湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学（理）试卷

设全集 ，函数 的定义域为A，集合 ，若 恰好有2个元素，求a的取值集合。

解：

时，     ∴

∴

，∴

∴

当 时， 在此区间上恰有2个偶数。

2、 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合：

， ．其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 ．若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 ．

（I）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；

（II）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．

解：（I）证明：首先，由 中元素构成的有序数对 共有 个．

因为 ，所以 ；

又因为当 时， 时， ，所以当 时， ．

从而，集合 中元素的个数最多为 ，

即 ．

（II）解： ，证明如下：

（1）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．

如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立．

故 与 也是 的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，

（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也不至少有一个不成立，

故 与 也是 的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，

由（1）（2）可知， ．

 

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人 。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件                                 

的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)

－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)

＋(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：集合综合题

例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a的取值范围。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由 <1，得 <0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因为A B，所以 ，于是0≤a≤1。

点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n,设集合A={(a_n, )|n∈N^*},B={(x,y)|  x²－y²=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a₁≠0时，一定有A∩B≠ 。

解：（1）正确；在等差数列{a_n}中，S_n= ,则 (a₁+a_n),这表明点(a_n, )的坐标适合方程y (x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y= x+ a₁上。

（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B= ；

当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

（3）不正确；取a₁=1，d=1，对一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0,  >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠ ，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀),而x₀= ＜0,y₀= ＜0，这样的(x₀,y₀) A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B= ，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

（Ⅰ）设集合 ， ,求实数m的取值范围.

分析：关键是准确理解     的具体意义，首先要从数学意义上解释    的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是 _UM={m|m<-2}.

（解法三）设 这是开口向上的抛物线， ，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

（Ⅲ）

分析：正确理解

要使 ,

由

当k=0时，方程有解 ,不合题意；

当 ①

又由

由 ②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

解：设集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有 种.

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都有  ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有

（1）设 ，证明：

（2）设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的;

（3）设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 H。

解：

对任意 , , , ,所以

对任意的 ，

，

  ，

  所以0< ,

令 = ，

，

所以

反证法：设存在两个 使得 , 。

则由 ，

得 ，所以 ，矛盾，故结论成立。

，

所以

+…

。

点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖

五．【思维总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是

④区分集合中元素的形式：

如 ；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。

⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力