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三元一次方程组的解法 ( 二 )

 MouseHappy 2011-08-21

三元一次方程组的解法()

 

教学目标

1.使学生熟练地掌握用消元法解简单的三元一次方程组的一般方法;

2.通过对问题的一题多解,培养学生观察、分析问题及灵活地解题的能力;

3.进一步理解消元法解方程组时体现的化归意识.

教学重点和难点

重点:灵活地用代入法或加减法解三元一次方程组.

难点:正确地选择消元的方法.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

不解方程组,指出下列方程组中先消去哪个未知数,使得求解方程组较为简便?(投影)

结合学生的回答情况,教师指出,第1题由②×2+③×7,消去z,得到方程④,由④与①组成关于xy的二元一次方程组;第2题由①-②消去y,得方程④,④与③组成关于xz的二元一次方程组,或由①-③消去x,得方程④,④与②组成关于yz的二元一次方程组,或由②-③消z,得方程④,④与①组成关于xy的二元一次方程组.

教师进一步追问:对上述方程组是否还有简便方法求解呢?先由学生思考回答,然后教师补充小结:通过观察方程组的构成特点,发现第1题方程①、③中xy的系数对应相等,因此可由③-①消去xy项,求出z值,再将z值代入②得方程④,④与①组成关于xy的二元一次方程组.第2题由①++③,得

x+y+z=30                                      

再由④-①,④-②,④-③分别求出xyz

二、讲授新课

本节课,我们继续来学习三元一次方程组的解法.

1  解方程组

分析时,引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况,并提出以下问题:

1.每个方程是否有缺项?

2.怎样通过消元,使“三元”转化为“二元”?用代入法解行吗?

(由于方程组中每个方程中的每一未知数的系数绝对值都不是1,因此将某一方程变形用代入法解较繁,用加减法解较好)

3.用加减法解消哪个未知数求解较为简捷呢?

(用加减法解,应选择消去系数绝对值的最小公倍数的最小的未知数)

解:①+③,得 5x+5y=25                                                       

+③×2,得 5x+7y=31                                                         

由④与⑤组成方程组

x=2y=3代入①,得

3×2+2×3+z=13

所以 z=1

此时,结合上述例题的解答过程,教师应再次提出问题:

1.先消未知数xy可以吗?比较上述三种不同的消元选择,哪种消元选择更好呢?

2

解方程组

将④,⑤分别代入①,得

所以                                           y=45

y=45分别代入④、⑤,得

x=30y=36

本题也可作以下分析:

yx=32,即xy=23=1015,而yz=54=1512,故有xyz=1015 12.因此,可设x=10ky=15kz=12k.将它们一起代入①中求出k值,从而求出xyz值.

解法二:由②,得xy=23

                    xy=1015

由③,得         yz=54

                  yz=1512

所以                xyz=101512

设,x=10ky=15kz=12k,代入①中得 10k+15k+12k=111

所以                                       k=3

x=30y=45z=36

三、课堂练习

A.先消去x                 B.先消去y

C.先消去z                 D.以上说法都不对.

3.解下列方程组:

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上,教师指出,一般地,用消元法解三元一次方程组,要先观察方程组中未知数的系数情况,然后再决定是用代入法还是用加减法来解.对于方程组中方程间系数成比例,或具有一定联系的特殊情况,可采取观察、分析,巧解的程序来求解.

五、作业

解下列方程组:

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