三元一次方程组的解法(二)
教学目标 1.使学生熟练地掌握用消元法解简单的三元一次方程组的一般方法; 2.通过对问题的一题多解,培养学生观察、分析问题及灵活地解题的能力; 3.进一步理解消元法解方程组时体现的化归意识. 教学重点和难点 重点:灵活地用代入法或加减法解三元一次方程组. 难点:正确地选择消元的方法. 课堂教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 不解方程组,指出下列方程组中先消去哪个未知数,使得求解方程组较为简便?(投影)
结合学生的回答情况,教师指出,第1题由②×2+③×7,消去z,得到方程④,由④与①组成关于x、y的二元一次方程组;第2题由①-②消去y,得方程④,④与③组成关于x、z的二元一次方程组,或由①-③消去x,得方程④,④与②组成关于y、z的二元一次方程组,或由②-③消z,得方程④,④与①组成关于x,y的二元一次方程组. 教师进一步追问:对上述方程组是否还有简便方法求解呢?先由学生思考回答,然后教师补充小结:通过观察方程组的构成特点,发现第1题方程①、③中x与y的系数对应相等,因此可由③-①消去x与y项,求出z值,再将z值代入②得方程④,④与①组成关于x,y的二元一次方程组.第2题由①+②+③,得 x+y+z=30, ④ 再由④-①,④-②,④-③分别求出x,y,z. 二、讲授新课 本节课,我们继续来学习三元一次方程组的解法. 例1 解方程组
分析时,引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况,并提出以下问题: 1.每个方程是否有缺项? 2.怎样通过消元,使“三元”转化为“二元”?用代入法解行吗? (由于方程组中每个方程中的每一未知数的系数绝对值都不是1,因此将某一方程变形用代入法解较繁,用加减法解较好) 3.用加减法解消哪个未知数求解较为简捷呢? (用加减法解,应选择消去系数绝对值的最小公倍数的最小的未知数) 解:①+③,得 5x+5y=25. ④ ②+③×2,得 5x+7y=31. ⑤ 由④与⑤组成方程组
把x=2,y=3代入①,得 3×2+2×3+z=13, 所以 z=1.
此时,结合上述例题的解答过程,教师应再次提出问题: 1.先消未知数x或y可以吗?比较上述三种不同的消元选择,哪种消元选择更好呢?
例2 解方程组
将④,⑤分别代入①,得
所以 y=45. 把y=45分别代入④、⑤,得 x=30,y=36.
本题也可作以下分析: y∶x=3∶2,即x∶y=2∶3=10∶15,而y∶z=5∶4=15∶12,故有x∶y∶z=10∶15 ∶12.因此,可设x=10k,y=15k,z=12k.将它们一起代入①中求出k值,从而求出x、y、z值. 解法二:由②,得x∶y=2∶3, 即 x∶y=10∶15. 由③,得 y∶z=5∶4, 即 y∶z=15∶12. 所以 x∶y∶z=10∶15∶12. 设,x=10k,y=15k,z=12k,代入①中得 10k+15k+12k=111, 所以 k=3. 故 x=30,y=45,z=36.
三、课堂练习
A.先消去x; B.先消去y; C.先消去z; D.以上说法都不对.
3.解下列方程组:
四、师生共同小结 在师生共同回顾本节课所学内容的基础上,教师指出,一般地,用消元法解三元一次方程组,要先观察方程组中未知数的系数情况,然后再决定是用代入法还是用加减法来解.对于方程组中方程间系数成比例,或具有一定联系的特殊情况,可采取观察、分析,巧解的程序来求解. 五、作业 解下列方程组:
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