投掷硬币中的偶然性和必然性

投掷硬币中的偶然性和必然性

在小学数学的教学中，根据小学生的认知水平，应避免学习过多或艰深的术语，从小学低年级开始应该非形式地介绍概率思想，而非严格的定义、单纯的计算。因此，在小学可以用“可能性”来代替“概率”这个概念。但作为教师应该懂得它的意义，否则就会出笑话。有的教师让学生在课堂上做 20次抛掷硬币的试验，希望学生能得到出现正面的可能性是1/2，这是极其幼稚的想法。人们在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的1/2左右。这里的“大量重复”是指多少次呢?历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，其试验记录如下：

 

投掷一个质地均匀的硬币，正面向上还是反面向上，事前是无法预测的，完全是随机的（偶然性），但是在大量地投掷后，会发现正面出现的次数和反面出现的次数大致是相等的。

如果我们把出现正面朝上叫做事件A，出现反面朝上的事件叫B，一次试验中每一种结果出现的可能性叫做概率，记作P（A）或P（B），多次重复实验后出现的规律性就称为统计规律。在重复n次这样的试验后，假设事件A发生n_A次，n_A称为这一事件在这n次中发生的频数，f_n(A)=n_A/n称为频率。频率f_n(A)越大，事件A出现越频繁，这意味着A在一次试验中发生的概率越大。重复多次以后，频率f_n(A)总接近于一次试验中A发生的概率P（A），这就是统计规律（必然性）的具体表现。

再回到投掷硬币，历史上有数学家做过这种试验，得到如下的数据：

试验者	n	nA	fn (A)
德--摩根	2048次	1061次	0.5181
蒲丰	4040次	2048次	0.5069
K--皮尔逊	12000次	6019次	0.5016
K--皮尔逊	24000次	12012次	0.5005

n为他们掷硬币的总次数，n_A是正面朝上的次数，f_n (A)为频率即n_A/n。我们发现，在每一次随机的抛掷后面，隐藏着一种必然趋势，由于硬币质地是均匀的，因此抛掷次数越多，越能显示出正面出现的次数和反面出现的次数趋向接近。

可以看出，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在1/2这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，1/2恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，1/2就是抛掷硬币时出现正面的概率。而抛掷20次就要得出10次正面，是很难做到的。正因如此，概率的统计定义一般得出的是概率的近似值。

统计与概率可以为发展和运用比、分数、百分数和小数这些概念提供背景。因此我们可以用建构的方式，建立这部分内容与小学其它知识的联系，从而建构有意义的认知结构，从而更深入、更灵活地学习。

总之，在小学，统计与概率的教学既要具有科学性又要符合小学生的认知特点，同时，它还是解决问题的有力工具，它也是架起与其它内容之间的桥梁。

 

（数据引用于《十万个为什么》（数学分册）