应充分发挥作图题的教学价值

应充分发挥作图题的教学价值

金卫雄/四周

【专题名称】中学数学教与学
【专 题 号】G35
【复印期号】1999年10期
【原文出处】《数学通讯》(武汉)1999年07期第4～7页
【作者简介】金卫雄，江苏省连云港教育学院　222006
    四周，江苏省东海二中　222300

    现行的《中学数学教学大纲》在罗列知识点时，单是明确提出要求“作图”或“画出图象”，在初高中就各有26处，累计达52处之多，其强调不可谓不充分。然而在实际教学中，很少有人真正地去落实，有的是一提而过，有的干脆提也不提。原因很简单：近年高考从来不考作图题，中考亦然。正是应试教育所促成的过重的功利主义行为，把作图题的教学推向了备受轻视的一极，并因此而置几何教学于尴尬境地。
    然而，作图问题在数学的发展中曾起重要的推动作用。数学王子高斯一生建树颇丰，成果无数，却特别钟爱“17等分圆周”，并嘱人将其刻在墓碑上以昭后世。由此可见几何作图在数学发展史上的特殊意义。本文将从六个方面阐述作图题在中学教学中的价值，以期重新唤起同仁们对它的重视。我们将可看到，作图教学不光是几何学本身所需要的，而且对培养学生的数学意识、开发想象力、训练思维力、增强记忆力、提高数学语言的修养等都有不可替代的作用。
    一、作图，促进图形的直观化
    难道图形还不算是直观的吗？这要辩证地看，与文字和符号化，它是直观的；与实物和模型比，它又是抽象的。有的人看是直观的；有的人看却是抽象的。
    比如立体几何中的直观图，在初学者眼里并不具有“直观性”。看似相交，其实异面；看似斜交，其实垂直；看似等长，其实不等。初学立体几何者，谁没经历过这种困惑？
    
    解除这一困扰的方法，自然可以通过反复接触实物，反复揣摩模型，在学生头脑中建立起固定的空间映象，睹形而思物，依物而解形。但这显然不是一条便捷的通道，过分地依赖实物，也不利于学生空间观念的尽快形成。而作图正是联系实物和图形的一道桥梁，通过作图实践，可使学生主动地体会实物和图形之间的联系与转化，直观地感知作图结果（图形）的内部结构及各元素的实际意义。当他们能把变形了的（平面）图形的内部结构读懂，并赋之以实际的空间意义以后，图形的直观效果也就显现出来了。
    比如空间四边形的直观图（图1）中，AB和CD是异面的。初学者要明了这一点，必须克服AB和CD相交的视觉判断，需要经过理性的思考。而熟悉立体几何的人不需作任何思考，AB与CD异面是理所当然的，这已经成为他们的潜意识，这种潜意识也正是平面崐图形立体化（直观化）的心理基础。促使这种潜意识尽快形成的有效途径就是让学生参与作图实践：先让他们观看空间四边形的模型（也可以让他们简单地做一个），再请他们画在纸上。开始，他们怎么画都会觉得别扭，经过几次摸索后，也都能形成正确的图形观念。
    由此我们可以看到，正是作图实践沟通了客观物体和主观图形的联系，促使了感性认识到理性认识的飞跃。“实践出真知”的这句话并没过时。
    二、作图，促进实物的概念化
    概念是对同一类事物本质特征的高度概括，具有很高的抽象性。怎样才能准确地理解、真正地掌握概念呢？对于一个几何概念而言，如果能通过概念的语言描述，实际作图构造出概念所言指的事物来，将会是极有益处的。因为在构造的过程中，必然地要理解它的内涵，而构造出图形后又会触及其外延，岂不是一举两得？
    比如圆的概念，如果只叫学生背：“平面内到一个定点的距离等于定值的点的轨迹”，不如让他们用圆规实际画一个，则一切尽在不言中了。非但如此，下面的微型试验很能说明作图在将实物概念化过程中的作用。
    用硬纸板做一个直径为13cm的圆，再做一个长轴为13cm、短轴为12cm的椭圆（两物在视觉上区别不明显）。将两纸板摆在桌面上，向小学四年级同学（没学过圆）提问：
    师：这两块纸板是什么形状，知道吗？
    生：知道，是圆形。
    师：两个一样吗？
    生：（左看看右看看）一样。
    师：比比看好吗（提示）？
    生：（将两纸叠合）不一样。
    师：两个不一样，还都是圆吗？
    生：不一样也都是圆，一个更圆，一个不太圆。
    师：哪个更圆些？
    生：这个（指圆），那个扁进去。
    这个（指椭圆），那个鼓出去了。
    接下来我便用语言告诉他们什么是圆，但是毫无效果。如果用圆规演示，并让他们在旁边画一个。结果经过几次比划后，便都能找出哪个是圆哪个不是。
    顺便指出，现在初、高中所学的特殊曲线：圆、椭圆、双曲线和抛物线，课本上全部给出了尺规作图方法，而且不厌其烦地予以详介，对椭圆还涉及多种作法，这正是我们该充分利用的好材料。
    三、作图，促进数学的实验化
    数学被公认为理论性特强、抽象度特高的一门学科。我不知道这一“公认”始于何时，也不知它带给数学的究竟是祸还是福。但波利亚曾断言：“数学在其发展之初是一门实验学科。”英籍数学哲学家拉卡托斯也认为：数学本质不是纯理性的逻辑推演，而是通过归纳方法构筑在经验基础上的“一门拟经验的科学”。
    也许这些大师的论断离我们的中学教学太远，不会引起我们的兴趣。但是现在我们时时恪守的“启发式”原则，大力推广的“发现法”教学，不正是主张发挥学生的主体作用，让他们“自己”发现知识探索规律吗？而他们“自己”的探索与数学“发展之初”的情境不正相同吗？教师的主导作用应该体现在哪里呢？我认为，引导学生发现知识乃是“导”之果，引导他们掌握发现知识的方法才是“导”之源。由此知引导学生进行“数学实验”，便是当务之急了。而数学实验的便当形式当然是作图，其它复杂的实验形式也离不开作图，作图教学也就当然是不可或缺的了。
    
    比如，球面上两点间的球面路径以什么为最短呢？我们可以把这两点连成线段AB，然后让学生以AB为弦作一系列弧（图2），学生很容易发现：圆弧所在的圆半径越大，弧长就越小。由此当然得到结论：球面上两点间的路径，以经过这两点的大圆的劣弧为最短。这正是两点间球面距离的定义（此例参考了夏炎老师的材料）。
    四、作图，促进思维的视觉化
    柯尔莫格罗夫说：“只要有可能，数学家总是尽可能地把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”相当多的数学家以及其它学科的科学家们也都谈到他们思维过程中几何图形（或几何直观）的重要作用，特别是最后的灵感总是以几何图形的形式在脑际闪现的。数学上四元数的发现，化学上苯环结构的顿悟，生物上DNA双螺旋结构的巧思等等，无不体现出构图能力（这是作图能力的泛化）的巨大作用。
    中学数学中有下面一道题目：
    例1　已知中只有一个元素，求实数b的值。
    
    
    这样作图处理，学生不仅觉得思维直接、顺畅，而且解法很有动感和美感，因而兴致很高。再做下面一个更难的练习，会使学生兴趣更高。
    
    (1)若AIB中只有一个元素，求点P(x,y)的轨迹。
    (2)若AIB=A，求点P(x,y)所形成图形的面积。
    这本是一个较难的问题，能够得到轻松的解决，首先得益于作图的成功并导致了思维的视觉化。正是思维的视觉化，沟通了左右两半脑的协作，产生了远大于部分和的整体效应。
    五、作图，促进语言的数学化
    语言的数学化固然指对语言的准确性和严密性要求（事实上，科学的语言均如此，艺术的语言例外），更主要的是指要完善语言的数学要素，掌握能大量负载数学信息的数学语言，并能对其进行灵活调用和广泛综合。
    一般认为数学语言是由文字语言、符号语言和图象语言构成，但对其中的“图象语言”不能简单机械地理解为“如图所示”，而是要能把图形知识嵌合到原有的知识体系之中，把图形当做一种基本语素，就像文字和符号一样，熟练而灵活地用之于思考和表达。比如上面的例1，在教师讲述和学生思考时，到底用的是文字链还是符号链抑或是图象链？都不单纯是，用的乃是由它们共同串成的信息串！在这串“糖葫芦”中，文字、符号和图象被当做同样的基本单位。从心理上讲，我们并没有把图象看得比文字和符号更加陌生和“难用”。这才是数学语言的真谛，而要达到这一步，不会作图（甚至构图）是万万不能的。
    关于数学语言中图象要素所起的重大作用，阿达玛曾有个精彩的描述，在谈到质数无限性的经典证明时，他揭示了证明语言和思维语言的不同，从中可看到一些秘密：
    证明语言
    (1)列出前几个质数2,3,5,7,11。
    (2)作乘积n=2·3·5·7·11。
    (3)在乘积n上加1。
    (4)如果这个数不是质数，就必然被一个质数整除，它就是所要求的质数。
    思维语言
    我看到了一个混乱的组合。
    n是一个比较大的数，我看到一个点，它远离上述的混乱组合。
    我见到第二个点，它稍稍超出第一个。
    我看到的是介于上述混乱组合与第一个点之间的某个地方。
    紧结着他又说：“当我埋头于数学研究时，我的头脑中总是出现诸如此类的图象。”
    六、作图，促进记忆的形象化
    初学汉字时，会感到笔划少的好记多的难记，熟悉以后又觉得并非如此。“大”字和“攀”字笔画相差不可谓不大，然我们记忆起来一样方便，应用起来一样顺手。原因何在？我们并不是一笔一画地记忆它们的，而是整体上把它们当做图象来记忆和使用的，而我们按笔顺练字的过程也正是作图的过程。如果有谁不去写字只去背“一丨丿　”，结果自然不堪设想。
    数学教学中，这种蠢事还有人干吗？不光有，而且为数不少。比如正棱锥的概念，只让学生背“底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫正棱锥。”就能记住了吗？否！要想记忆，首先要理解。要想理解这一概念，首先要理解诸如“底面，正多边形，中心，射影，顶点，棱锥”等相关概念，若有一处出现偏差，则“理解”无从谈起。其实教材上明确给出了正棱锥直观图的作法，以正四棱锥为例，归纳起来有以下几步：
    
    第一步：作底面正方形的直观图。
    第二步：作高（从正方形中心引出一条垂线段）。
    第三步：连结成图。
    这样的作图熟悉后，不光容易记住正棱锥的概念，还可以清楚以下内容：侧棱长相等；侧面为全等的等腰三角形；侧棱与底面所成的线面角相等；侧面与底面所成二面角相等。等等。真是一举多得。
    当然，作图题的教学价值远非仅此而已，它在数学知识、数学技能、数学观念乃至数学美育等方面，都有可供开掘之处，本文就此打住，不再详述。

【参考文献】     1　张奠宙。数学教育研究导引。江苏教育出版社，1995     2　阿达玛。数学领域的发明心理学。江苏教育出版社，1989     3　夏炎。实验手段的教学价值探讨。数学通报，1996(11)^