机械能考点例析

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 机械能考点例析（二） 问题12：会解机械能守恒定律与动量守恒定律的综合问题。 若系统的机械能和动量均守恒，则可利用动量守恒定律和机械能守恒定律求解相关问题。 [例19] 如图18所示，长为L的轻绳，一端用轻环套在光滑的横杆上（轻绳和轻杆的质量都不计），另一端连接一质量为m的小球，开始时，将系球的绳子绷紧并转到与横杆平行的位置，然后轻轻放手，当绳子与横杆成θ时，小球速度在水平方向的分量大小是多少？竖直方向的分量大小是多少？ 分析与解：对于轻环、小球构成的系统，在水平方向上不受外力作用，所以在水平方向动量守恒。又由于轻环的质量不计，在水平方向的动量恒为零，所以小球的动量在水平方向的分量恒为零，小球速度在水平方向的分量为零。 又因为轻环、小球构成的系统的机械能守恒，所以mgLsinθ=mVy2/2 即Vy=此为速度竖直方向的分量。 [例20] 如图19，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间的距离S=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速V0=4m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。 分析与解：设木块和物块最后共同的速度为V，由动量守恒定律： 设全过程损失的机械能为E，则有： 在全过程中因摩擦而生热Q=2μmgS，则据能量守恒可得在碰撞过程中损失的机械能为：E1=E－Q=2.4J。 问题13：会解机械能守恒定律与绳连问题的综合问题。 若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只根据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题。 [例21] 在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接（如图20所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。已知A、B、C三球质量相等，试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距离h之间的关系。 分析与解：此题的关键是要找到任一位置时，A、B球的速度和C球的速度之间的关系。在如图21所示位置，BC绳与竖直方向成角。因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以B、C两球的速度VB和VC在绳方向上的投影应相等，即VC·cos=VB·sin 由机械能守恒定律，可得：mg（h－L/2）=mvC2/2+2（mvB2/2） 又因为tg2=（L2－h2）/h2 由以上各式可得：VB= 问题14：会解机械能守恒定律与面接触问题的综合问题。 若系统内的物体相互接触，且各接触面光滑，则系统的机械能守恒，但只有求出面接触物体间的速度关联式才能解答相应问题。 [例22] 如图22所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。 分析与解：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度V1和木块 的速度V2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即：V1cos=V2sin 由机械能守恒定律可得：mgH=mv12/2+mv22/2 由上述二式可求得：V1=sin，V2=·cos 问题15：会用功能关系分析解答相关问题。 [例23] 如图23所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是（ ） A. 在B位置小球动能最大 B. 在C位置小球动能最大 C. 从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D. 从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 分析与解：小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。 [例24] 物体以150J的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点P时，其动能减少了100J时，机械能减少了30J，物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能等于 。 分析与解：虽然我们对斜面的情况一无所知，但是物体从斜面一底点P与从点P到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点P到最高点过程中，损失的机械能为E，则100/30=（150－100）/E，由此得E=15J，所以物体从斜底到达斜面顶一共损失机械能45J，那么它从斜面顶回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能90J，回到出发点时的动能为60J。 [例25] 一传送带装置示意图如图24，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。 分析与解：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有①；②，在这段时间内，传送带运动的路程为③ 由以上可得 ④ 用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为 ⑤ 传送带克服小箱对它的摩擦力做功⑥ 两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 ⑦ 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T时间内，电动机输出的功为：⑧ 此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即 ⑨ 已知相邻两小箱的距离为L，所以 ⑩ 联立⑦⑧⑨⑩，得 二. 警示易错试题 典型错误之一：错误认为“人做功的计算”与“某个具体力做功的计算”相同。 人做的功就是人体消耗化学能的量度，不少学生错误认为只是人对其它物体作用力所做的功。 [例26] 质量为m1、m2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m的人站在m1上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为V1和V2，位移分别为S1和S2，如图25所示。则这段时间内此人所做的功的大小等于（ ） A. FS2 B. F（S1+S2） C. D. 错解：人所做的功等于拉力F对物体m2所做的功W=F·S2，由动能定理可得： ，即AD正确。 分析纠错：根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m1和m2的动能以及人的动能。所以人做的功的大小等于 即B、C两选项正确。 典型错误之二：混淆注意“相对位移”与“绝对位移”。 功的计算公式中，S为力的作用点移动的位移，它是一个相对量，与参照物选取有关，通常都取地球为参照物，这一点也是学生常常忽视的，致使发生错误。 [例27] 小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上（如图26所示） ，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ） A. 垂直于接触面，做功为零 B. 垂直于接触面，做功不为零 C. 不垂直于接触面，做功不为零 D. 不垂于接触面，做功不为零 错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。即A选项正确。 分析纠错：小物块A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F和F'，如图27所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物体A的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A做负功，即B选项正确。 典型错误之三：混淆“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”。 绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力可以对物体做功。 [例28] 如图28所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功? 错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功。 分析纠错：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为VA和VB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得： 2mgL= 又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故VB＝2VA 由以上二式得： 根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于A有WA+mgL/2=－0 所以WA=－mgL. 对于B有WB+mgL=，所以WB=0.2mgL 典型错误之四：混淆作用力做功与反作用力做功的不同。 作用力和反作用是两个分别作用在不同物体上的力，因此作用力的功和反作用力的功没有直接关系。作用力可以对物体做正功、负功或不做功，反作用力也同样可以对物体做正功、负功或不做功。 [例29] 下列是一些说法： ① 一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内的冲量一定相同 ② 一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速），这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反 ③ 在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反 ④ 在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号也不一定相反 以上说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③② C. ②③ D. ②④ 错解：认为“在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反”而错选B。 分析纠错：说法①不正确，因为处于平衡状态时，两个力大小相等方向相反，在同一段时间内冲量大小相等，但方向相反。由恒力做功的知识可知，说法②正确。关于作用力和反作用力的功要认识到它们是作用在两个物体上，两个物体的位移可能不同，所以功可能不同，说法③不正确，说法④正确。正确选项是D。 典型错误之五：忽视机械能的瞬时损失。 [例30] 一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O1点以水平的速度抛出，如图29所示。试求： （1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？ （2）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？ 错解：很多同学在求解这道题时，对全过程进行整体思维，设质点到达O点的正下方时速度为V，根据能量守恒定律可得： 根据向心力公式得：，解得： 分析纠错：上述解法是错误的。这些同学对物理过程没有弄清楚，忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失。其实质点的运动可分为三个过程： 第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图30所示，则，，其中 联立解得。 第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图30所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，V0损失，质点仅有速度V⊥，且。 第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为V′，根据机械能守恒守律有： 设此时绳对质点的拉力为T，则，联立解得：。 【模拟试题】 1. 物体M放在光滑水平地面上，其上固定有一个光滑的定滑轮，一根轻绳一端固定在墙上，水平地跨过定滑轮后与水平方向成角，用恒力F拉动物体M，使物体M以加速度a向右运动如下图所示，在物体M起动后t秒内拉力对物体M所做的功为（ ） A. B. C. D. 2. 如下图所示，物体A和B与地面摩擦系数相同，A和B质量也相同，在力F作用下，一起沿水平地面向右运动s米，以下说法正确的是（ ） A. 摩擦力对A、B所做的功相同 B. F对A所做的功与A对B所做的功相同 C. A受合外力对A所做的功与B所受合外力对B所做的功相同 D. 以上说法都不对 3. 如下图所示，图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计。一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点。A点和D点的位置如图所示。现用一沿道轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回到A点时停下，设滑块与轨道间的摩擦系数为，则推力对滑块做的功等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 如下图所示小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ） A. 垂直于接触面，做功为零 B. 垂直于接触面，做功不为零 C. 不垂直于接触面，做功为零 D. 不垂直于接触面，做功不为零 5. 如下图所示。质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以水平速度v在下面两种情况下击中木块，并最终停在木块中，第一次木块被事先固定住，子弹在木块中钻入深度为。第二次木块不固定，子弹在木块中钻入深度为，经历时间为。两次打击木块过程中，子弹受的平均阻力相同。比较，有（ ） A. B. C. D. 6. 两个物体的质量为，当它们以相同的初动能在滑动摩擦系数相同的水平面上运动时，它们的滑行距离之比∶和滑行时间之比∶分别为（ ） A. 1∶4，2∶1 B. 4∶1，1∶2 C. 1∶4，1∶2 D. 2∶1，4∶1 7. 如下图所示，质量为m的物体被用细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，当拉力为F时转动半径为R。当外力增大到8F时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为R/2。在此过程中外力对物体所做的功为（ ） A. B. C. D. 8. 如下图所示，是一个半球形的碗，直径AD为水平，C是最低点，B是AC弧的中点。一个小物体的质量是m，它与碗的摩擦系数是，物体由A从静止下滑到B点时的速度为v，则这个物体在B点时受到的摩擦力大小是（ ） A. B. C. D. 9. 质量相同的两个摆球A和B，其摆线长度不同，，当它们都从同一水平位置，而且摆线都处于水平不松驰状态由静止释放，如下图所示，并以此位置为零势面，到达最低点时，以下说法正确的应是（ ） A. 它们的机械能 B. 它们的动能 C. 它们的加速度 D. 它们对摆线拉力 10. 关于滑动摩擦力的以下几种说法，你认为哪种是正确的（ ） ① 摩擦力总是与物体的运动方向相反；② 摩擦力总是使物体的机械能减小；③ 摩擦力总是阻碍物体之间的相对运动；④ 一个物体所受的滑动摩擦力有可能与物体运动方向相同，也可能相反。⑤ 滑动摩擦肯定能生热，使物体内能增加。 A. ②、③和⑤是正确的 B. ③、④和⑤是正确的 C. 只有②和⑤是正确的 D. ①和②是不正确的 11. 在光滑的水平地面上静置一个质量为M倾角为的斜劈，在斜劈上有一个质量为m的光滑物块，现用水平推力推动斜劈水平向右运动，并使物块与斜劈始终保持相对静止，如下图所示，下列叙述中正确的是（ ） A. 在斜劈起动t秒内，推力F对斜劈做的功是 B. 在斜劈起动t秒内，斜劈对物块的弹力所做的功是 C. 在斜劈起动t秒内，斜劈对物块的弹力与物块所受重力的合力所做功的平均功率是 D. 在斜劈起动t秒末，合力对斜劈的即时功率为 12. 倔强系数为k的轻质弹簧，下端拴挂一个质量为m的小球，静止时，球距地面h（h远小于弹簧总长）。用手拉球，使球着地，球静止时放手，则（ ） A. 球上升所达到的最大高度为h B. 球上升到最大高度的过程中，弹性势能始终减少 C. 球的速度最大时，球距地面高为h D. 球的最大加速度为kh / m 13. 如下图所示，均匀长直木板长为L=40厘米，放在水平桌面上，它的一端与桌边相齐，木板质量2千克，与桌面间滑动摩擦系数为0.2，今用水平推力F将其推下桌子，则水平推力至少做功 焦。 14. 如下图所示，一物体放在一倾角为的斜面上，向下轻轻一推，它刚好能匀速下滑。若给此物体一个沿斜面向上的初速度，则它能上滑的最大路程是 。 15. 一辆汽车发动机输出额定功率为40千瓦，在水平长直公路上行驶时，所受运动阻力为2×牛，车的质量为千克，当它匀速行驶速度为10米/秒时，发动机功率为 千瓦，某时刻司机加大油门，使发动机达到额定功率，此时汽车牵引力达到 牛，汽车即地加速度大小为 米/秒2。 16. 细线一端固定于O点，另一端系一个质量为m的小球，使球在竖直平面上做圆周运动，周期一定，每当小球在最高点时线的张力为，在最低点时绳的张力为，则－= 。 17. 一个质量为m的物体从斜面的顶端沿粗糙的斜面做匀加速运动，初动能为零，经过t秒后滑到斜面底端，此时动能为，此斜面长为 ，经过斜面中点时的速率为 ，动能等于 。 18. 如下图所示，光滑的水平面上有一个静止的小车，小车上有一条轨道，轨道由一段四分之一圆弧和一段水平部分组成。圆弧半径是R，小物块A由圆弧轨道的最高点从静止开始下滑，轨道的圆弧部分是光滑的，水平部分与物体间滑动摩擦系数是。求物块在轨道的水平部分最多能滑行多远？ 19. 如下图所示，质量M=0.8千克的小车静止在光滑的水平面上，左端A紧靠竖直墙。在车上左端水平固定着一只弹簧，弹簧右端放一个质量m=0.2千克的滑块，车的上表面AC部分为光滑水平面，CB部分为粗糙水平面，CB长l=1 米，与滑块的摩擦系数=。水平向左推动滑块，把弹簧压缩，然后再把滑块从静止释放，在压缩弹簧过程中推力做功2.5焦。滑块释放后将在车上往复运动，最终停在车上某处。设滑块与车的右端B碰撞时机械能无损失。取10米/秒2。求： （1）滑块释放后，第一次离开弹簧时的速度。 （2）滑块停在车上的位置离B端多远。 【试题答案】 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. C 7. C 8. D 9. ACD 10. BD 11. ABCD 12. CD 13. 0.8 14. 15. 20；4×103；2 16. 6mg 17. 18. 19.（1）5m/s；（2）距B端0.5米处。