数学趣题一组

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达纳之死

达纳之死 　　达纳溺水死亡，为此，阿洛、比尔和卡尔被一位警探讯问。 　　(l)阿洛说，如果这是谋杀，那肯定是比尔干的。 　　(2)比尔说：如果这是谋杀，那可不是我干的。 　　(3)卡尔说：如果这不是谋杀，那就是自杀。 　　(4)警探如实地说：如果这些人中只有一个人说谎，那么达纳是自杀。 　　达纳是死于意外事故，还是自杀，甚至是谋杀？ 　　（提示：在分别假定陈述（1）、陈述（2）和陈述（3）为谎言的情况下，推断达纳的死亡原因；然后判定这些陈述中有几条能同时为诺言。） 答　案　 　　分别假定陈述（1）、陈述（2）和陈述（3）为谎言，则达纳的死亡原因如下表： 　 陈述（1） 陈述（2） 陈述（3） 如果为谎言 谋杀，但不是比尔干的 被比尔谋杀 意外事故 　　 　　这个表显示，没有两个陈述能同时为谎言。因此，要么没有人说谎，要么只有一个说了谎。 　　根据{(4)警探如实地说：如果这些人中只有一个人说谎，那么达纳是自杀。}，不能只是一个人说谎。因此，没有人说谎。 　　由于没有人说谎，所以既不是谋杀也不是意外事故。因此，达纳死于自杀。         安东尼的名次 作者：admin 文章来源：本站原创 点击数：175 更新时间：2011-2-25 安东尼的名次 　　安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。 　　（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。 　　（2）并列同一名次者，都得到与该名次相应的分数。 　　（3a）把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分，结果这三人的个人总分都一样。 　　（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等。 　　（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。 　　（5）安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。 　　（6）安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。 　　（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。 　　在撑竿跳比赛中，安东尼得了第几名？ 　　（提示：找出一个每一行的和与每一列的和都相等的3×3方阵，即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此，用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分，以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。） 答　案 　　这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的3×3方阵：   查脚印 　　巴黎郊外有一座中世纪留下的古老城堡，其年代几乎与著名的“巴黎圣母院”同样久远，因而成了旅游观光的胜地，吸引了来自世界各地的游客。下面这则故事就是出自—位导游之口。 　　古堡的顶层有一座尘封的钟楼，里面住着一个怪人，唯一的对外通道是个走起来嘎嘎响、陡峭异常的木质楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。 　　某日黄昏，怪人的四位互不相识的朋友阿列克赛、巴顿、克林、杜邦，几乎在同一时间先后来访。他们发现怪人已经被人杀害了，房间里面看起来很恐怖。当下四人大惊失色，争先恐后地拼命逃走。从脏乱不堪的狭窄楼梯（一次只能通过一人）跑下来，阿列克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5级台阶。 　　出事以后，侠盗亚森罗宾乔装成一名体面的上流社会绅士，自告奋勇地前来侦破此案。他发现，同时印下四个人脚印的台阶仅在最高处和最低处。 　　为了追查凶手，脚印混乱了就不好办，于是亚森罗宾特别重视只留有一个人脚印的台阶。后来的结果充分证明他的看法是正确无误的，最后终于抓获凶手，把他绳之以法。 　　现在要问你的是，通向钟楼的木楼梯上有多少级台阶只印下了一个人（不管是谁的）的脚印？ （答案） 　　由于4的倍数肯定是2的倍数，所以克林的情况可以不必考虑，这就省掉了一个人，2，3，4，5的最小公倍数是60，而60又小于100，所以钟楼的木楼梯共有60级台阶。 　　阿列克赛的脚印落在第2，4，6，8，l0，12，…，58，60级台阶上，但应排除2×3及其倍数的各级阶梯；同理，还需要排除4的倍数的各级阶梯和5的倍数的各级阶梯。于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八级。其一般形式为2×p（其中p＝1，以及除去2、3、5以外的素数）。 　　巴顿的脚印落在第3，6，9，12，…，60级阶梯上，但应排除混有别人脚印的第6，12，15，18，……级阶梯，剩下第3，9，2l，27，33，39，51，57，共八级。 　　前面已经说过克林的情况可以不考虑了，最后再来看一下杜邦的情况。很明显，只留下他一个人脚印的阶梯是第5，25，35，55级，共四级。 　　所以，问题的答案是8+8+4＝20级。 猴子分桃的故事     　　海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产。 　　 猴子性急，有时也很正直。 　　第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份。 　　第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份。猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份。于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份。 　　如果原有的桃子数不小于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？ 　　用算术去解也许不容易，用“列出代数式”的方法去试试看： 　　如果第二只猴子取走的桃子数用A表示，那么，取走前它所面临的桃子数应为2A+1；（想一想，为什么？） 　　第一只猴子留下的桃子数既然为 （2A+l），那么，它取走的桃子数也应为2A+1； 　　第一只猴子取走前，它所面临的桃子数应为（2A+1）+（2A+1）+1，即4A+3。 　　这说明，海滩上原有桃子数为4A+3，但这堆桃子不少于100个，所以A不小于25。因此第一只猴子至少可以取走51（=2×25+1）个桃子。 　　回顾整个解题过程，我们总是一步步地“先把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来”，也就是说，“列出代数式”对解题起到了重要作用。 　　思考：如果这堆桃子是3只猴子的共有财产，问题又该如何解决呢？如果是4只、5只猴子的共有财产呢？       常胜将军     　　阿贝、本、卡尔和唐这四人玩一种游戏，这种游戏的基本玩法是轮流从一堆筹码中取走筹码。其中有一个人每盘都赢。 　　（1）这四个人一共玩了50盘，每盘游戏开始时那堆筹码中的筹码数目都是偶数：第一盘开始时是2枚筹码，第二盘开始时是4枚筹码，依此类推，到第五十盘开始时是100枚筹码。 　　（2）在整个50盘游戏中，各人每次所取筹码的数目保持不变：要么一直取一枚筹码，要么一直取两枚筹码。如果取到最后只剩下一枚筹码，而轮到取的那个人是一直取两枚筹码的，他就“弃杖”，让给下一个人取。 　　（3）在各盘游戏中，取筹码的顺序也总是保持不变：首先是阿贝，其次是本，再次是卡尔，然后是唐。 　　（4）在每一盘游戏中，规定谁取走最后一枚筹码谁赢。 　　这四个人中谁每盘都赢？ 　　（提示：根据（2），各人每次所取筹码的数目都保持不变，而且各人都只有两种可能（一枚或两枚），那么把这四个人的每次所取枚数组合起来一共有多少种？无论这堆中筹码有多少枚筹码，哪一种组合总是导致同一个赢家？) 　　答　案 　　根据{（2）在整个50盘游戏中，各人每次所取筹码的数目保持不变：要么一直取一枚筹码，要么一直取两枚筹码。如果取到最后只剩下一枚筹码，而轮到取的那个人是一直取两枚筹码的，他就“弃杖”，让给下一个人取。}，把这四个人的从一堆筹码中所取筹码的枚数组合起来一共有十六种可能，列于下页表左侧。 　　根据{（1）这四个人一共玩了50盘，每盘游戏开始时那堆筹码中的筹码数目都是偶数：第一盘开始时是2枚筹码，第二盘开始时是4枚筹码，依此类推，到第五十盘开始时是100枚筹码。}，设先是2枝筹码一堆，然后4枚筹码一堆，再后6枚筹码，8枚筹码，10枚筹码。运用{（3）在各盘游戏中，取筹码的顺序也总是保持不变：首先是阿贝，其次是本，再次是卡尔，然后是唐。}和{（4）在每一盘游戏中，规定谁取走最后一枚筹码谁赢。}，记下每一种组合在各种枚数下的赢家。如果出现了不同的赢家就不必再记下去。赢家记在相应组合的右侧。 　　注意其中第九种组合：1，2，2，l只有这种组合在每一盘游戏中都导致了同一个赢家——唐。不但如此，对于其他的偶数枚筹码的情况，在这种组合下，唐也总是赢家。 阿贝 本 卡尔 唐 2枚筹码 4枚筹码 6枚筹码 8枚筹码 10枚筹码 　　1. 　　1 　　1 　　1 　　1 　　本 　　唐 　　- 　　- 　　- 　　2. 　　2 　　1 　　1 　　1 　　阿贝 　　卡尔 　　- 　　- 　　- 　　3. 　　1 　　2 　　1 　　1 　　卡尔 　　卡尔 　　阿贝 　　- 　　- 　　4. 　　1 　　1 　　2 　　2 　　本 　　卡尔 　　- 　　- 　　- 　　5. 　　1 　　1 　　1 　　1 　　本 　　阿贝 　　- 　　- 　　- 　　6. 　　2 　　2 　　1 　　1 　　阿贝 　　本 　　- 　　- 　　- 　　7. 　　2 　　1 　　2 　　2 　　阿贝 　　唐 　　- 　　- 　　- 　　8. 　　2 　　1 　　1 　　1 　　阿贝 　　卡尔 　　- 　　- 　　- 　　9. 　　1 　　2 　　2 　　2 　　唐 　　唐 　　唐 　　唐 　　唐 　　10. 　　1 　　2 　　1 　　1 　　卡尔 　　卡尔 　　唐 　　- 　　- 　　11. 　　1 　　1 　　2 　　2 　　本 　　卡尔 　　- 　　- 　　- 　　12. 　　1 　　2 　　2 　　2 　　阿贝 　　阿贝 　　阿贝 　　阿贝 　　本 　　13. 　　2 　　1 　　2 　　2 　　阿贝 　　本 　　- 　　- 　　- 　　14. 　　2 　　2 　　1 　　1 　　阿贝 　　本 　　- 　　- 　　- 　　 　　15. 　　2 　　2 　　2 　　2 　　阿贝 　　本 　　- 　　- 　　- 　　16. 　　2 　　2 　　2 　　2 　　阿贝 　　本 　　- 　　- 　　-