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(转)注重数学本质 提高数学素养（2） 张奠宙 教授 数学教育家 华东师范大学 唐彩斌 中学高级教师 浙江杭州现代小学数学教育研究中心 8． 问题解决与应用题的教学 唐：在数学新课程改革中，电视机前的老师会有很大的困惑，就是以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。这两者有怎样的联系？我们应该怎样来处理传承与创新之间的关系？请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。 张：数学问题分为两类，一类称为纯数学问题，像歌德巴赫猜想，另一类称为应用问题，像大学里有应用数学专业，可见应用问题是客观存在，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的远离现实，使学生得不到什么教育的应用题。 新的应用题， 其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余， 数据需要取舍， 模型需要建立，结果需要验证。像这一些都是过去的应用题所缺乏的。 唐：张老师你也常常提起一个很典型的例子，就是弗赖登塔尔举过的一个例子，你能否再给大家介绍一下。 张：对，这是我很欣赏的一个例子，弗赖登塔尔可以说是20世纪最伟大数学教育家，【PPT】弗赖登塔尔有一个经典的问题：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？【PPT】像这样的问题很现实，使我们每个学生都很感兴趣，但是它蕴含的数学思想又非常深刻。尤其是体现比例的思想，通过测量两只手大小的比值，按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度，这是比、比例、相似等数学本质的体现。像这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。 唐：像这样的问题既具有现实意义，又包含了很重要的数学思想。但说起应用题与解决问题，还有一个著名的“船长问题”不得不让我们重提。“一条船上有75头牛， 32头羊， 问船长几岁？”。记得这个题目最早是张教授引进国内的。那时是怎样的一个背景情况？【PPT】 张：当时我是在一个国际会议上面，见到法国的一个数学教育家，他告诉我在1980年前后，他们在法国进行调查。这本来是一道是不能做的题目，可是在调查过程中发现他们学校的学生往往能够做出来，因此法国的教育家说了一句很语重心长的话：“我们的学校是不是把孩子越教越笨了？”记得那年我们在国内也选取一些学校做实验，结果有近90％的学生得出来答案。学生都有这样的思想，就是老师出的题目都是对的，都是有答案的。 唐：对，当时我也是看到你的调查有一些新的启示，这么多年过去了，现在的情况又是怎样的呢？所以最近我们又做了一个调查，老师们可以看一下屏幕上的表格，我们选择的调查对象既有二、三年级，也有四、五、六年级的学生，老师们可以从数据上发现，有26.7％的学生是把两个数相加作为船长的年龄，还有45.1％的同学通过两个数相减得出船长的年龄。也就是说有超过70％的同学仅仅通过加减算出来答案。20年过去了，张老师当你看到这一组数据时是一种什么样的感觉？ 答案 六年级 五年级 四年级 三年级 二年级 合计 百分率 【PPT】 张：这就是我们在应用题方面的一个缺陷，认为什么题目都能算，都有结果。其实我们应该能够区别哪些是数学问题，哪些不是数学问题。数学问题要求揭示事物内在的数量关系，牛、羊数目和船长年龄没有内在的关系，学生却盲目解答，明明不能做的题目，学生却非要做，这就值得我们深思了。 唐：或许电视机前的老师也有这样的好奇心，你不妨也去做一下这样的试验，可能结果和你想象的有很大的不同。我们不展开讨论关于解决问题的教学，但是我们必须引起重视的是，解决数学问题应该是重在分析内在的数量关系。而这些都是值得我们继续研究。 二、图形与几何领域问题的讨论 1．小学几何学习内容的增加 唐：前面说了这么多数与代数的问题，接下来我们把目光转向图形的领域，在新课程改革过程中，我们发现在空间与几何的领域多了一些新的内容？也常常出现在一些公开课观摩课中，看来很受老师们的欢迎。为什么要增加了这些新的内容？ 张：从大学数学的观点来看，几何可以分成很多内容， 具体说来，有以下5个方面：首先是直观几何学，就是对平面图形，立体图形的认识；还有一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在新课标以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思是想非常简单，非常朴实的，和我们小学生的生活也是密切相关的，所以后来我们就增加了三个方面的内容。第三就是演绎几何，比如说垂直，平行，线段，射线这些名词都属于演绎几何的范畴。然后运动几何学的一些基本的内容也加到了当中，最后我们发现在中学、大学中经常出现的解析几何学，它的坐标的思想也是非常朴实、简单，大家所容易接受的，所以我们现在小学里也有了坐标几何学的内容。总体的看，小学里包括直观几何；度量几何；演绎几何学；运动几何学；坐标几何学；这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。【PPT】 唐：听了张老师刚才的讲解，我有一个即时的一个想法，就是我们小学数学是打基础的，就像造房子打地基一样，我们现在把每一个方面的地基都垒上来了，为他以后的学习打下了更好的基础。说起这5个方面的内容，再联系我们平时听到的一些课，我们就不难发现，如果下次你再听到比如说不同的角度观察物体，比如说平移和旋转，比如说确定位置的时候，就便于把另外几个领域的几何联系起来了。不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师你认为直观几何学教学的重点是什么？ 张：我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。因为我们每个人所处的世界的事物都是立体的，但是我们看到的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课标里通过照相机从“不同角度下拍摄照片”想象物体前后位置就是新增的内容。通过三视图科学描述简单对象，也是如此。所以说我们通过平面来描述立体的手段越来越多，角度也是多种多样的。【PPT】 唐：这样说来，就大大沟通了现实和数学之间的联系。我们引导学生观察三视图，就是希望学生从平面图形读出立体的形状；以培养学生想象空间的能力。 2．什么是长度、面积、体积 唐：在几何教学中，还有一些常见的概念，也常常引起一线教师的争论，比如什么是长度？什么是面积？什么是体积？ 张：人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，但是要严格的定义却很困难。你能说说小学是怎么样定义这些概念的吗？ 唐：小学教材中一般这样说：“物体表面或平面封闭图形的大小叫面积”，这样是面积的定义吗？可以吗？ 张：【PPT】小学教材中“物体表面或平面图形的大小叫面积”，这些也只是对面积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积定义，才有面积大小。在严格的面积定义里不能出现“大小”的词汇。但是对小学生，不要讲究“面积”的严格定义（那是大学数学课程的内容）。我们的任务是在描述面积和体积之后，着重求一些几何图形的面积和体积。 唐：也就是说对于面积的严格定义不是重要的，重要的是我们的学生会不会求面积。当然我们也要知道长度、面积、体积是刻画图形大小的度量。几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。 知道了关于面积的定义，我们再来讨论面积公式的推导。在常见的平面图形面积推导的过程中，除了记住面积的计算公式，还有重要一种数学思想方法的渗透：转化思想方法。例如，求平行四边形面积化为求矩形面积，把三角形的面积转化为求平行四边形或矩形面积等，学习梯形和圆也是一样，所有新学图形的面积都可以由已学的图形面积来推导。这也是数学转化思想的具体体现。这在中国古代应该怎样称谓。 张：这很重要，这也是中国古代数学“出入相补原理”的具体运用。这种化归的方法就是演绎几何的一部分。就像我们现在从正方形出发到矩形再到三角形这样一种化归的办法就是一种演绎的推理的方法，是演绎几何在小学里的一种表现。现在我们有一个明确的说法叫做化归的思想，这是逻辑框架里面非常重要的一种。在演绎几何的领域里面，学好化归的方法是非常重要的。 3．平移、旋转和对称之间是什么关系 唐：张老师讲到的古代数学中的“出入相补原理”一定会给大家很多的启示，记得吴文俊老师就讲过我们古代数学的辉煌，或许有很多在我们小学数学当中也会有所体现。刚才张老师所讲到思想方法，或许又是值得我们老师探讨的一个新的方面。在我们小学数学教学的过程当中，除了知识和技能以外，我们又渗透率哪些思想方法，是值得我们系列的展开研究和讨论的。 唐：在小学里，为什么要学习平移，旋转和轴对称这些知识？他们之间有怎样的关系？ 张：这就是我们刚才所说的第四块－运动几何学， 小学里原来就有运动。 例如，平行四边形面积，通过三角形的运动，拼成矩形，这就是平移运动。面积在平移运动下面不变，同样， 矩形旋转90度，面积也是不变的，这就是面积的特性。所以说运动对于我们小学老师来说并不陌生，大家是经常在那里使用的。 唐： 知道了平移和旋转之后，为什么还要谈轴对称变换呢？这三者之间有没有一种内在的联系，能否举例说明。 张：我想比较详细的来说一说这件事情。大家都知道平移和旋转的概念，至于轴对称，我想大家也是很熟悉的，轴对称的图形非常漂亮，所以大家都很喜欢轴对称的图形，这里要从数学上讲一讲它的原始的价值。【PPT】（1）一点到另一点的运动，要知道方向和距离；用平移就能实现了。（2）如果是两根一样长的线段（火柴棒），先将一根火柴移动过去，使得火柴头和火柴头重合，但是火柴尾不一定重合， 还得转一转才行。（图） （3）如果是两个一模一样的三角形ABC和A’B’C’， 如何看它们运动过程呢？ 首先，平移运动使得A和A’重合， 然后转动，使得AB和A’B’重合。 这时可能三角形已经重合了， 也可能不重合，还需要反射一下才行。（图） 因此， 我们在平面上作运动，需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。【PPT】在小学里我们要学习这三样东西，而这三样东西互相构成一个叫做“刚体运动”，我们小学里面接触它还是很有必要的。 唐：刚在张老师对这3个例子的讲解，把数学发生的很强的驱动性体现出来了，不知电视机前的老师是否听清楚了，我们不妨再来看一下这三幅图。如果一点到另一点的运动，用平移就能实现了。如果是两根一样长的线段，还得转一转才能重合。如果是两个一模一样的三角形，如何看它们运动过程呢？首先要平移，然后旋转一下。这时可能三角形已经重合了，也可能不重合，还需要翻转一下才行。这样就把平移、旋转和对称联系在一起了。这部分内容的学习对后续学习有什么作用？ 张：因为这是最简单的运动，接下来还有“相似运动”，“投影运动”等等，平面图形的很多的证明都需要依赖它。运动几何学是一门很大的学问，后续要学习的内容还有很多，但是我们在初步接触，对我们开阔几何的视野，了解几何的内容是很有帮助的。所以新课标把它列为小学数学的内容是很有见地，很有眼光的。 唐：说起来还是为以后的学习打重要的基础。但是还有一个概念在我们教学当中也是常常会碰到的，就是镜面对称是不是轴对称图形？【PPT】 张：我看到有些教材或者材料里面说镜面对称就是轴对称，我认为不太妥当。因为轴对称都是在同一个平面当中的两个图形，镜面对称的两个图像不在一个平面内，所以不是平面上的轴对称图形。虽然二者有联系，但毕竟是不同的，我们不能混为一谈。 唐：对，就是有联系，但是也有区别。 4．小学数学为什么要渗透平面坐标思想 唐：小学数学的学习为什么要渗透平面坐标思想？从数学学习的过程和地位来看，它有怎样的地位和作用。 张：各位老师都学过解析几何，所以大家都知道笛卡尔发现解析几何是数学上一个巨大的进步、也是人类历史上一个重大的进步，所以我们在小学中加入坐标几何的内容是非常正确的。我想笛卡尔的重要贡献，就是一个几何的对象，他可以用数来描写，而数所满足的关系就是方程。我们小学里面先学第一步，就是把坐标建立起来，并用数对（x，y）来表示点。把坐标几何放到小学的学习内容中，体现了随着时代的进步，我们小学数学也在发展。 唐：可能电视机前的老师对于解析几何内容慢慢地有些淡忘了，通过张老师这么一说，我们也可以联系起我们教过的一些内容。比如说在平面坐标这个领域当中，确定位置可能是我们首先要学的。那么我们有的疑问就是坐标的核心思想就是确定位置吗？ 张：很多的教案都是到此为止，就是认为坐标就是确定位置，这是第一步要做的事情。笛卡尔当时发明坐标，并不是单纯的表示位置，坐标表示位置更多的是地理学上的应用，大家知道，地理学要求用经纬线确定地球表面上的位置，而不是数学光要研究的问题。数学课程中用平面坐标系确定位置仅仅是学习坐标系知识的初步结果。更重要的是用坐标来表示几何图形。【PPT】例如，两个坐标一样的点， 形成一条直线（y=x的图像），两个坐标都小于或等于10的点，构成一个边长为10的正方形等等。【PPT】所以我们甚至建议，大家在讲完坐标之后，让大家说一说两个坐标都一样的点是形成一个怎么样的几何图形，于是发现它是一条直线或者半直线。也可以问两个坐标都小于3的是一个怎样的图形啊，那肯定就是一个正方形。所以不要仅仅停留在用坐标确定位置，应该稍微的引申开去。 唐：刚在张老师也举了两个例子，我们不妨也看看屏幕上的两个例子【PPT】：如果x＝y的图像就是左边这幅图，如果两个坐标都小于或等于3的，那么他构成的是一个边长是3的正方形，我想用平面坐标不仅能表示位置，而且能表示数学的对象。 三、统计与概率领域的问题讨论 统计数据与概率有什么关系 唐：下面的问题有关统计与概率的学习领域。小学数学一向对统计并不陌生，以前没有概率，平均数、条形统计图，折线统计图、扇形图等等教学，也都可以顺利进行。大家不很清楚的是，为什么统计要和概率放在一起？ 张：统计和概论在18世纪以前是没什么关系的，后来就发生了联系，大家不知道有没有注意到在新课标中有这样一条，就是用我们现在的数据去估计和预测一个东西。就像天气预报，是用我们过去的知识，去预测明天的、不知道的知识，这就是统计和概论结合的地方。就是要我们从一个局部去推测、预计整体，这时问题就来了，比如局部的推测究竟准不住啊，能不能代替全部啊。举例来说，如果只研究本班的情形，统计我们班上的期中数学考试的平均分，各个分数段的人数，画直方图，那的确和概率没有关系。问题在于，如果本班是我们县数学教研室抓的点，要从本班成绩推测全县小学5年级学生的期中数学成绩，那就和概率有关了。因为我们会问，本班的数学成绩能够代表全县吗？多大程度上可以代表？在城市的学校能否代表农村？教研试验的点能否代表非实验的点？这就是一个“不确定”的随机问题了。因为未来是不知道的，整体也是不知道的，局部是否具有代表性也是不确定的，所做的估
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