向量的旋转基础的2-D绕原点旋转
在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系： x0 = |R| * cosA y0 = |R| * sinA => cosA = x0 / |R| sinA = y0 / |R| 在右图中，我们有关系： x1 = |R| * cos（A+B） y1 = |R| * sin（A+B） 其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到 x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB） y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB） 现在把 cosA = x0 / |R| sinA = y0 / |R| 代入上面的式子，得到 x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|） y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|） => x1 = x0 * cosB - y0 * sinB y1 = x0 * sinB + y0 * cosB 这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负： x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B） y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B） => x1 = x0 * cosB + y0 * sinB y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB 现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。 所以2-D旋转变换矩阵就是： [cosA 我们对点进行旋转变换可以通过矩阵完成，比如我要点（x， y）绕原点逆时针旋转： [x, y] x 为了编程方便，我们把它写成两个方阵 [x, y] 也可以写成 [cosA -sinA] 三、2-D的绕任一点旋转 下面我们深入一些，思考另一种情况：求一个点围绕任一个非原点的中心点旋转。 我们刚刚导出的公式是围绕原点旋转的公式，所以我们要想继续使用它，就要把想要围绕的那个非原点的中心点移动到原点上来。按照这个思路，我们先将该中 心点通过一个位移向量移动到原点，而围绕点要保持与中心点相对位置不变，也相应的按照这个位移向量位移，此时由于中心点已经移动到了圆点，就可以让同样位 移后的围绕点使用上面的公式来计算旋转后的位置了，计算完后，再让计算出的点按刚才的位移向量 逆位移，就得到围绕点绕中心点旋转一定角度后的新位置了。看下面的图 
现在求左下方的蓝色点围绕红色点旋转一定角度后的新位置。由于红色点不在原点，所以可以通过红色向量把它移动到原点，此时蓝色的点也按照这个向量移动，可
见，红色和蓝色点的相对位置没有变。现在红色点在原点，蓝色点可以用上面旋转变换矩阵进行旋转，旋转后的点在通过红色向量的的逆向量回到它实际围绕下方红
色点旋转后的位置。
在这个过程中，我们对围绕点进行了三次线性变换：位移变换-旋转变换-位移变换，我们把它写成矩阵形式： 设红色向量为（rtx， rty） [x y 1] 最后得到的矩阵的x'和y'就是我们旋转后的点坐标。 |
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