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简析“新教材”中函数的概念———兼谈教材存在的问题

 liu19an19 2011-09-08

简析“新教材”中函数的概念———兼谈教材存在的问题

简析“新教材”中函数的概念
———兼谈教材存在的问题
1 函数的地位
中学阶段的数学教学突出了函数的地位和作用,这是人们长期实践的结果,也是数学发展的客观需要。早在1905 年, 德国数学大师克莱因( F.Klein)在为德国中学数学教学起草的《米兰大纲》中明确提出:“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础”在他的名著《高观点下的初等数学》中,他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容,主张加强函数和微积分的教学,改革和充实代数的内容,函数的重要性不仅体现在自然科学、工程技术上,也越来越广泛地体现在人文、社会科学、考古学上,甚至可猜想世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型.
函数是中学数学中最难教、最难学的概念之一,因此,我们不应要求学生一堂或几堂课就能很好地理解函数,应循序渐进地、通过各种具体的例子和习题的分析帮助学生理解.
2 可以这样教函数的概念
在中学,函数研究的对象是两个变量(变量常用字母表示)之间的数量(依赖)关系,即一个变量的取值(数,即实数或复数,在中学就是指实数)发生了变化,另一个变量的取值(在中学就是指实数)也随之发生变化. 因此,在引导学生理解函数概念时,应把握住其中的关健点:一是两个变量的取值必须是数;二是因变量的取值必须唯一;三是要表达这种数量(依赖)关系必须借助算术以外的符号. 变量是从算术过渡到代数的关键,教学时必须通过实例让学生在潜移默化中感悟变量. 变量具有一般性,它是建立数学模型的根本,也是现代数学的根本.
在中学阶段,函数概念的定义一定要体现两个变量取值的对应关系,只有满足了某种规定的对应关系,才会是函数关系. 因此,函数的本质就是一种对应关系. 我们给函数的概念下定义时要科学、准确、严密、易懂,否则,学生就很难理解这个概念了.人民教育出版社A 版教科书必修1中对函数概念是这样定义的:
设A, B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f ( x)和它对应,那么就称f ∶A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数( function) ,
 记作y = f ( x) , x∈A .
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域( domain) ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{ f ( x) | x∈A }叫做函数的值域( range). 显然,值域是集合B 的子集.这样定义显然不利于学生理解函数. “使对于集合A 中的任意一个数x”中的x与“ x 叫做自变量”中的x显然是矛盾的,前者说它是某个常数,后
者又说它是变量,学生看了根本不知所云;“x的取值范围A ”中的“取值范围”这个词缺乏科学性、准确性,根本就没有多少“数学味”,没有体现函数的重要概念———定义域,定义域是一个集合,一个关于数的集合,它可以是一个连续的区间,也可以是不连续的区间,还可以是一些离散的数组成的集合,并且学生一看到“取值范围”,就往往会想到用不等式表示(初中的习惯) ,譬如, (1)求函数f ( x) = x - 3
+ 3 - x的定义域,不能用不等式表示,学生就觉得很奇怪,不知所措; (2)求由下表表示的函数y =f ( x)的定义域时,大多数学生写成了0.15≤x≤1.

(3)学生将人民教育出版社A版教科书必修1第16页“表1—1”表示的函数的定义域写成1991≤x≤2001.德国数学家狄利克雷特( P. G. L. Dirichlet,1805—1859)在1837年时就提出:“如果对于x的每
一个值, y总有一完全确定的值与之对应,则y是x的函数. ”这种定义虽然较原始,但突显了两个变量取值的一种对应关系,学生更易理解.
因此,人教社A版教材可如下定义函数:
设A, B 是非空的数集(其中A 为变量x的取值组成的集合) ,如果按照某种确定的对应关系f,变量x在集合A 中的任意一个取值,使变量y在集合B 中都有唯一确定的值f ( x)与它对应,那么就称f∶A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数( function) ,
 记作y = f ( x) , x∈A .
其中, x叫做自变量, x的取值组成的集合A 叫做函数的定义域( domain) ;与x 的取值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f ( x) | x∈A}叫做函数的值域( range). 显然,值域是集合B 的子集.
教授函数时,教师还要注意以下几点:
(1)函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念,在这个定义下可以建立许许多多具体的函数. 对于初中学生来说,对这种多层次概念的理解是需要时间和经验积累的,教学时,要注意抓住函数的本质———两个变量取值的对应关系. 因此,在教学过程中,先不要忙于教三种表达形式,而要通过各种实例,让学生逐渐熟悉函数的对应关系之后,再适时地归纳出函数通常的三种表达形式.
(2)要理解函数就必须理解函数的基本概念———定义域和值域. 在一般情况下,根据问题的背景可以先得到定义域,然后通过两个变量的对应规律得到值域. 教学时,要通过适量的练习(特别是有实际背景的例子,而不是“人造”的函数)很好地理解定义域和值域,这对于研究函数性质是很重要的. 但是,那些在求定义域和值域的练习中加了许多花样的题目,不是在求定义域和值域,而是在进行代数方程或不等式的运算训练. 这样的技巧训练,往往会干扰学生对函数的定义域和值域本身的理解,舍本逐末,是不可取的.
(3)为了进一步理解函数的符号表示y = f ( x) ,
应结合教科书第15—16页上的三个例子让学生反复认识其中的字母x、f、y,特别是要引导学生理解当f表示图象和表格时的函数关系. y = f ( x)不是函数的解析式(表达式) ,它只表达了自变量与因变量取
值的对应关系, f就是对应关系,可以是具体的解析式,也可以是图象,还可以是表格. 由于学生“数形结合”的思想尚未形成,当函数用图象表示时,可强调:将自变量的取值用横轴上的点表示,因变量对应
的值用纵轴上的点表示,这样,两条轴上的那些点就通过图象对应起来了,从而两个变量的值也就通过图象对应起来了.
(4)虽然函数通常有三种表达形式,但功能是有所区别的解析式是最常用的方法,直接表达了两个变量的数量关系,适用于表述连续函数或者分段函数,有利于精确研究函数的性质、构建教学模型,但对初学者来说也是最抽象的;列表法适用于表述变量取值是离散的情况;图像法可以直观地表述函数的形态,有利于直观分析函数的性质,但作图常常是比较困难的. 不过,世间没有十全十美的方法,应根据讨论问题的不同选择恰当的表示形式,或相互结合. 如在股市上,某种价格( y)与时刻( t) ,显然y是t的函数,但无法用表达式表示它们的函数关系,等等.
教科书上关于增函数、减函数,奇函数、偶函数的定义在叙述上也存在问题:
人民教育出版社A版教科书必修1第28页:一般地,设函数f ( x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1 ,
x2 ,当x1 < x2 时,都有f ( x1 ) < f ( x2 ) ,那么就说函数f( x)在区间D上是增函数( increasing function).这个定义中的“任意两个自变量的值x1 , x2 ”,显然是汉语语法上的表述错误,应改为“自变量的任意两个取值x1 , x2 ”. 同样地,在减函数的定义中
也存在这种语法错误,也应这样更正.
人民教育出版社A版教科书必修1第33页,对偶函数是这样定义的:一般地,如果对于函数f ( x )定义域内任意一个x,都有f ( - x) = f ( x) ,那么函数f ( x)就叫做偶函数( even function).
这个定义和教科书第35页关于奇函数的定义中都有“函数f ( x)定义域内任意一个x”,这样的叙述显然让人啼笑皆非. 函数f ( x )的自变量是x,就一个,怎么会是“定义域内任意一个x”呢? 其实,定义的叙述是想说明自变量的任意一个值都满足条件. 于是,可这样定义偶函数:
如果对于函数f ( x) ,自变量x在定义域内的任意一个取值,都满足f( - x) = f ( x) ,那么函数f ( x)就叫做偶函数( even function).
奇函数的定义也可作相应的更改.教授奇函数和偶函数时,不要绕过多的圈子,完全可先让学生从其图象上直观认识,我们就把图象关于y轴对称的函数称为偶函数,关于原点对称的函数称为奇函数,然后引导学生下严密的数学定义.同时,要让学生明白函数奇偶性的几何意义就是其图象的对称性,这也是函数奇偶性的本质;函数奇偶性的代数意义就是当自变量的取值互为相反数时,对应的函数值有何关系(相等还是互为相反数呢).因此,奇函数和偶函数的定义实际上有两层意义,首先,对任意x∈A 可得 - x∈A (这个特征的几何意义就是
其定义域A (区间) 关于原点对称) , 其次才是f ( - x) = f ( x).
上述之见,仅为作者在教学研究中的一点体验和感悟,因收到了较好的效果,故撰之.
参考文献
[ 1 ]  菲利克斯•克莱因. 高观点下的初等数学[M ]. 上海:
复旦大学出版社, 2008.
[ 2 ]  课程教材研究所等. 普通高中课程标准实验教科书A
版数学必修1 [M ]. 北京:人民教育出版社, 2007.
[ 3 ]  教育部. 高中数学课程标准(实验) [M ]. 北京:人民
教育出版社, 2003.

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