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《直线的点斜式方程》教学设计

2011-10-02  一亿监利

《直线的点斜式方程》教学设计

  一、内容及其解析

  1.内容:这是一节建立直线的点斜式方程(斜截式方程)的概念课.学生在此之前已学习了在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素,已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,已知两点也可以确定一条直线.本节要求利用确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角,建立直线方程,通过方程研究直线.

  2.解析:直线方程属于解析几何的基础知识,是研究解析几何的开始.从整体来看,直线方程初步体现了解析几何的实质——用代数的知识研究几何问题.从集合与对应的角度构建了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系,是学习解析几何的基础.对后续圆、直线与圆的位置关系等内容的学习,无论是知识上还是方法上都有着积极的意义.从本节来看, 学生对直线既是熟悉的,又是陌生的.熟悉是学生知道一次函数的图像是直线,陌生是用解析几何的方法求直线的方程.直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础,在直线方程中占有重要地位.

  二、目标及其解析

1.目标

掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程,并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程.

2.解析

①知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率. 知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来.

②理解建立直线点斜式方程就是用直线上任意一点与已知点这两个点的坐标表示斜率.

③经历直线的点斜式方程的推导过程,体会直线和直线方程之间的关系,渗透解析几何的基本思想.

④在讨论直线的点斜式方程的应用条件与建立直线的斜截式方程中,体会分类讨论的思想,体会特殊与一般思想.

⑤在建立直线方程的过程中,体会数形结合思想.在直线的斜截式方程与一次函数的比较中,体会两者区别与联系,特别是体会两者数形结合的区别,进一步体会解析几何的基本思想.

三、教学问题诊断分析

1.学生在初中已经学习了一次函数,知道一次函数的图像是一条直线,因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑,产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何,不明确解析几何的实质,因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别.

2.学生能听懂建立直线的点斜式的过程,但可能会不知道为什么要这么做.因此还是要跟学生讲清坐标法的实质——把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质.

3.由于学生没有学习“曲线与方程”,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的.这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的.

  四、教法与学法分析

  1、教法分析

  新课标指出,学生是教学的主体.教师要以学生活动为主线.在原有知识的基础上,构建新的知识体系.本节课可采用启发式问题教学法教学.通过问题串,启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受.通过纵向挖掘知识的深度,横向加强知识间的联系,培养学生的创新精神.并且使学生的有效思维量加大,随着对新知识和方法产生有意注意,使能力与知识的形成相伴而行,使学生在解决问题的同时,形成方法.

  2、学法分析

  改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念.学生的数学学习活动不仅仅限于对概念结论和技能的记忆、模仿和积累.独立思考,自主探索,动手实践,合作交流,阅读自学等都是学习数学的重要方式,这些方式有助于发挥学生学习主观能动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造的过程.为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件.以激发学生的学习兴趣和创新潜能,帮助学生养成独立思考,积极探索的习惯.

通过直线的点斜式方程的推导,加深对用坐标求方程的理解;通过求直线的点斜式方程,理解一个点和方向可以确定一条直线;通过求直线的斜截式方程,熟悉用待定系数法求 的过程,让学生利用图形直观启迪思维,实现从感性认识到理性思维质的飞跃.让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.

  五、教学过程设计

   问题1在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素是什么?如何将这些几何要素代数化?

[设计意图]让学生理解直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率.

问题2:建立直线方程的实质是什么?

[设计意图]建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来.也就是将直线上点的坐标满足的条件用方程表示出来.

引例:若直线 经过点 ,斜率为 , 在直线 上运动,那么点 的坐标 满足什么条件?

[设计意图]让学生通过具体例子经历求直线的点斜式方程的过程,初步了解求直线方程的步骤.

问题2.1要得到坐标 满足什么条件,就是找出 、斜率为 之间的关系,它们之间有何种关系?

(过 两点的直线的斜率为

[设计意图]让学生寻找确定直线的条件,体会“动中找静”.

问题2.2 如何将上述条件用代数形式表示出来?

[设计意图]让学生理解和体会用坐标表示确定直线的条件.

用代数式表示出来就是 , .

问题2.3为什么说 是满足条件的直线方程?

[设计意图] 让学生初步感受直线与直线方程的关系.

此时 的坐标也满足此方程.所以当点 在直线 上运动时,其坐标 满足 .

另外以方程 的解为坐标的点也在直线 .

所以我们得到经过点 ,斜率为 的直线方程是 .

问题2.4:能否说方程 是经过 ,斜率为 的直线方程?

[设计意图] 让学生初步感受直线(曲线)方程的完备性.尽管学生不可能深刻理解直线(曲线)方程的完备性,但在这里仍要渗透,为后因理解曲线方程的埋下伏笔.

问题3:推广:已知一直线过一定点 ,且斜率为k,怎样求直线 的方程?

[设计意图]由特殊到一般的学习思路,培养学生的是归纳概括能力.

问题4:直线上有无数个点,如何才能选取所有的点?以前学习中有没有类似的处理问题的方法?

[设计意图]引导学生掌握解析几何取点的方法.

引导学生求出直线的点斜式方程

注:在求直线方程的过程中要说明直线上的点的坐标满足方程,也要说明以方程的解为坐标的点在直线上,即方程的解与直线上的点的坐标是一一对应的.为以后学习曲线与方程打好基础.教学中让学生感觉到这一点就可以.不必做过多解释.

问题5:从求直线方程的过程中,你知道了求几何图形的方程的步骤有哪些吗?

[设计意图]让学生初步感受解析几何求曲线方程的步骤.

①设点--- 表示曲线上任一点 的坐标;

②寻找条件----写出适合条件;

③列出方程----用坐标表示条件,列出方程 ;

④化简---化方程 为最简形式;

⑤证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

1分别求经过点 ,且满足下列条件的直线 的方程,并画出直线 .

倾斜角

⑵斜率

⑶与 轴平行;

⑷与 轴平行.

[设计意图]让学生掌握直线的点斜式的使用条件,把直线的点斜式方程作“公式”用,让学生熟练掌握直线的点斜式方程,并理解直线的点斜式方程使用条件.

注:⑴应用直线的点斜式方程的条件是:①定点,②斜率 存在,即直线的倾斜角 .

的区别.后者表示过 ,且斜率为k的直线方程,而前者不包括 .

⑶当直线的倾斜角 ,直线的斜率 ,直线方程是 .

⑷当直线的倾斜角 ,此时不能直线的点斜式方程表示直线,直线方程是 .

练习:1. .

2.已知直线 的方程是 ,则直线的斜率为          ,倾斜角为      ,这条直线经过的一个已知点为           .

[设计意图]在直线的点斜式方程的逆用过程中,进一步体会和理解直线的点斜式方程.

问题6:特别地,如果直线 的斜率为 ,且与 轴的交点坐标为(0 ,b),求直线 的方程.

[设计意图]由一般到特殊,培养学生的推理能力,同时引出截距的概念和直线斜截式方程.

将斜率与定点代入点斜式直线方程可得:  

  说明:我们把直线 y轴交点(0 ,b)的纵坐标b叫做直线 y轴上的截距.这个方程是由直线的斜率 与它在y轴上的截距b确定,所以叫做直线的斜截式方程.

  注(1)截距可取任意实数,它不同于距离. 直线 轴上截距的是 .

  (2)斜截式方程中的kb有明显的几何意义.

  (3)斜截式方程的使用范围和斜截式一样.

问题7:直线的斜截式方程与我们学过的一次函数的类似.我们知道,一次函数的图像是一条直线.你如何从直线方程的角度认识一次函数?一次函数中kb的几何意义是什么?

[设计意图]让学生理解直线方程与一次函数的区别与联系,进一步理解解析几何的实质.函数图像是以形助数,而解析几何是以数论形.

练习:1. .

2.直线 的斜率为2,在 轴上的截距为 ,求直线 的方程.

[设计意图]让学生明确截距的含义.

3.直线 过点 ,它的斜率与直线 的斜率相等,求直线 的方程.

[设计意图]让学生进一步理解直线斜截式方程的结构特征.

4.已知直线过两点 ,求直线 的方程.

[设计意图]让学生能合理选择直线方程的不同形式求直线方程,同时为下节学习直线的两点式方程埋下伏笔.

  例2:已知直线 ,试讨论

  (1) 平行的条件是什么?

  (2) 重合的条件是什么?

(3) 垂直的条件是什么?

说明:平行、重合、垂直都是几何上位置关系,如何用代数的数量关系来刻画.

②教学中从两个方面来说明,若两直线平行,则 ;反过来,若 ,则两直线平行.

③若直线 的斜率不存在, 与之平行、垂直的条件分别是什么?

练习:

   问题8:本节课你有哪些收获?

  要点:(1)直线方程的点斜式、斜截式的命名都是顾名思义的,要会加以区别.

  (2)两种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.

  (3)要注意两种形式方程的不适用范围.

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