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天才数学家阿贝尔和伽罗瓦

2011-10-07  西窗听雨
天才数学家阿贝尔和伽罗瓦
更新时间:Tuesday, July 19, 2005
分类:数学史料

  由于工作的缘故,时常会接触到一些研究数学的人。但不知什么缘故,常常会觉得这些人多少都有些怪僻,而且是那种说不出怪在什么地方,但怎么瞅怎么和别人不一样的怪法。但如果你和这些交往多了以后,往往会发现到他们的天才以及对数学的狂热痴迷,而他们平素所表现出来的古怪不过是对日常习惯的忽略造成的误会。

  很难否认,在所有学科里,数学家里有着更多的天才,比如我们常说的高斯和拉普拉斯。但由于成就和经历的相似,最灿烂也最常被人一起提起的是十九世纪的两位数学神童:阿贝尔和伽罗瓦。

  尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹,阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师,母亲安妮是一个非常美丽的女人,她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。小时候由他父亲和哥哥教导识字,小学教育基本上是由父亲来教,因为他们没有钱请不起家庭教师。

  十三岁时,阿贝尔和哥哥被送到克里斯蒂安尼亚(即后来的奥斯陆)市的天主教学校靠一点奖学金读书。在最初的两年,他们兄弟的成绩还不错可是后来教师枯燥的教学方式,高压的手法,使得他们兄弟的成绩下降了。

  1817年是阿贝尔一生的转折点。当时给他教数学的老师是一个好酒如命又脾气粗暴的家伙,后因体罚而致死一名学生被解职,并由一位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就,是一个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学上的贡献,就是发掘了阿贝尔的数学才能,而且成为他的忠诚朋友,给他许多帮助。阿贝尔死后,霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。

  霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊人的数学天赋,私下开始给他教授高等数学,还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的热心指点下,阿贝尔很快掌握了经典著作中最难懂的部分。

  在中学的最后一年,阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题,不久便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方,但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来,于是给了阿贝尔一些可贵的忠告,希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时,阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击,把他推上了正确的途径,使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解,而那已经是他十九岁时的事情了。

  1822年6月,阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助,在克里斯蒂安尼亚大学念完了必须的课程,那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两年前去世,家里一贫如洗,没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷,无法再拿出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。

  1823年夏,教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根,希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题,总算正确解决了这个几百年来的难题:即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要,便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷,为了减少印刷费,他把结果紧缩成只有六页的小册子。

  阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家,包括德国被称为数学王子的家高斯,希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了,没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没法子解决的问题,于是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做,就把它扔在书堆里了。

  阿贝尔在数学和天文学界的朋友们,说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人,作一次以数学为主要目的的欧洲之行。经过过分的慎重考虑之后,政府妥协了,但不是立刻派阿贝尔去法国和德国,而是给他一笔奖金,让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延误了一年半后,在1825年8月,皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱当时二十三岁的阿贝尔,让他足够在法国和德国旅行和学习一年。

  阿贝尔在德国并没有去找在哥廷根的高斯,可能他觉得这个大数学家难以接近,也难以帮助他,因为他以前的作品寄给他却得不到回音。1826年7月,阿贝尔离开德国到了法国,当时的法国皇家科学院正被柯西、泊松、傅里叶、安培和勒让德等年迈的大数学家们把持,学术气氛非常保守,各自又忙于自己的研究课题,对年青人的工作并不重视。阿贝尔留在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他研究的成果。他曾寄过一份长篇论文给法国科学研究院,论文交到了勒让德手上,勒让德看不大懂,就转给柯西。多产的柯西正忙着自己的工作,无暇理睬,把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。

  阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》是数学史上重要的工作,他长久的等待着消息,可是一点音讯也没有,最后只好失望回到柏林。在那里他病倒了,他不知道自己已患上了肺结核病,以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只剩下大约七元钱。他写了一封急信,延误了一些时间,从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。阿贝尔从1827年3月到5月,靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。最后,当他所有的来源都枯竭时,只好掉头回国。

  1827年5月底,阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文,还欠了朋友一些钱。他的弟弟无所事事,用他的名字借了一些钱,他必须还清。于是,阿贝尔靠给一些小学生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。没多久,阿贝尔很幸运地被推荐到军事学院教授力学和理论天文学,薪水虽不是很多,却已经可以让他安心继续从事椭圆函数的工作了。

  这时,阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828年夏天他一直生病发烧咳嗽,人也变的消沉,感到前途真是暗淡无光,而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他,实际上弄得他自己一无所有,可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。

  挪威1828年的冬天很冷,阿贝尔穿上了所有的衣服,可是身体还是觉得冷。他咳嗽、发抖,觉得胸部不适,但是在朋友面前他装作若无其事,而且常开玩笑,以掩饰他身体的不舒服。

  1829年14月6日,阿贝尔去世,身边只有未婚妻克里斯汀。

  阿贝尔死后两天,阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。第二年6月法国科学院颁给著名的Grand Prix奖给阿贝尔。1830年柯西在旧书堆终于找出积满灰尘的阿贝尔的手稿,1841年这篇史诗般的手稿又一次丢失,直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现。

  法国数学家厄米特(Hermit。任何学习过量子力学的人对这几个字母都不会陌生)在谈到阿贝尔时说:“阿贝尔留下的工作,可以使以后的数学家足够忙碌五百年。”

  这么详细地叙述阿贝尔的生平,很重要的一个原因是阿贝尔生活的平淡无奇,而他在纯数学上贡献又只存在于极少的专业人士的心中。相比而言,另一位和他处于同一时代、经历、际遇、才华以及在数学上的贡献都很相似的法国数学天才伽罗瓦,则因其成为一宗谜案的传奇性死亡而广为人知。

  伽罗瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生于巴黎附近的一个小城拉赖因堡,他的父亲是一个自由主义思想家,母亲受过良好教育,是他的启蒙老师。他在中学读书时,就对数学很有兴趣,阅读了拉格朗日、高斯、柯西等人的原著,并于1829年3月发表了第一篇论文。1829年他两次投考巴黎综合工科学校,却因思想激进,两次被拒绝录取,最后只好进入高等师范学校学习。伽罗瓦很早就开始了关于方程理论的研究,1829年5月,17岁的他写出了关于五次方程的代数解法的论文,论文中首次引入“群”的概念。他把论文寄给经由柯西,请他交给法国科学院审查。柯西对此根本不屑一顾,把这个中学生的文章给弄丢了。1830年2月伽罗瓦再次将他的研究成果写成一篇详细的论文,寄给科学院秘书傅立叶,希望能得到数学大奖,不料当年5月傅立叶病死,伽罗瓦的文稿再次丢失。1831年伽罗瓦第三次将论文送交法国科学院。泊松院士看了4个月,最后在论文上批道:“完全不能理解”。泊松的不公正评价,使他受到很大打击。

  1830年3月,法国的“七月革命”推翻了复辟的波旁王朝,随后又出现了“七月王朝”。伽罗瓦思想上倾向于共和主义,在学校里反对学校的苛刻校规,带领同学翻墙上街参加革命,抨击校长在七月事变中的两面行为,以至于1830年12月被开除。第二年6月,又以企图暗杀国王的罪名被捕。由于警方没有证据,不久即被释放。7月,被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦再次被抓。他在狱中曾遭暗枪射击,幸未击中。1832年4月伽罗瓦被释放出狱。

  1832年5月29日,才出狱后一个月的年轻气盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和一个军官决斗。他知道对手的枪法很好,自己获胜的希望很小,很可能会死去。他问自己,如何度过这最后的夜晚?为了证明自己数学理论的价值,他先写了绝笔信。信中写道:“我请求我的爱国同胞们,我的朋友们,不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。……。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们看法。在这以后,我希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的。”

  整个晚上,他焦躁一气地写着他在科学上的遗言。想在死亡之前尽快把他丰富的思想中那些伟大的东西写出来。他不时中断,在纸边空白处写上“我没有时间,我没有时间。”这些旁注和当年费尔马幽默地在费尔马大定律旁写下的“地方太小了,我写不下定理的证明”比较起来多么的凄凉和悲壮!接着伽罗瓦又写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西,一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案,并且开创了数学的一个极为重要的分支----群论。

  第二天上午,在决斗场上,伽罗瓦被打穿了肠子。临死前,他对在身边哭泣的弟弟说:“不要哭,我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”死后,他的葬礼几乎与他父亲的葬礼一样是场闹剧。他被埋葬在公墓的普通壕沟内,如今他的坟墓已无迹可寻。

  历史学家们一直争论这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局,还是出于政治动机造成的。据那个以和爱因斯坦合著《物理学的进化》的英费尔德考证,伽罗瓦之死是一宗政治阴谋,他为之决斗的那个轻浮女人是被当局雇佣的妓女。但无论具体原因是哪一种,一位世界上最杰出的数学家在20岁时被杀死了,而他研究数学只有5年。

  1846年,也就是伽罗瓦死后14年,他的遗稿才得以发表。随着数学的发展和时间的推移,伽罗瓦研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他的最主要成就是提出了群的概念,用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,为了纪念他,人们称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论对近代数学的发展产生了深远影响,它已渗透到数学的很多分支中。

  不错,阿贝尔和伽罗瓦的主要贡献都在群论中,属于所谓的纯数学,或者说是很少得到实际应用的近世数学理论。数学我懂的很少,就自己稍微熟悉些的物理学而言,很难具体强调出群论在现代物理中的重要地位。举一个简单的例子:翻开任何一本现代物理的书籍,必然有一章群论基础。离开了群论,现代物理学无法表达,仅仅写下那些粒子的波函数方程组也成为不可能。天才如狄拉克这样的,我个人认为他做的最不明智的事情,就是在其名著《量子力学原理》中只字不提群论,原因是他不相信群论。至于在其它领域,就我自己的孤陋寡闻,学习量子化学求解分子动力学方程的人大约常常会用到阿贝尔群,而泡网的从事计算机工作的人对伽罗瓦域恐怕也不该陌生吧。

  伽罗瓦和阿贝尔两人实在是非常相似。都生活在一个不幸的年代,少年天才,怀才不遇,英年早逝,甚至是被法国科学院同样的一批权威们所排斥。那些权威沉醉于古典数学的严谨和优美的,对一切新的理论持不信任的态度,根本没有那些另类天才们存活的空间。这不禁让人感到一种来自智慧的孤独与悲哀。

  另外,这两个人长的也都非常俊美有精神头。

  然而,有时候会奇怪地觉得这两人的命运未必是最坏的。做数学,尤其是纯数学的,往往需要更多的天赋。而数学之路又总是充满着孤独和寂寞,于是也才有了那么多的怪人,并且每每不得善终。他们的伟大也只存活于行内人的心中。欧几里得、阿基米德、高斯、帕斯卡、费尔马、罗巴切夫斯基、欧拉、彭加勒、希尔伯特、康托尔……,这无数伟大的名字,现在又有几个人还知道呢?

  唉,数学啊数学,这个世界上,也许只有数学才能让人如此痴狂。可以让人劳其心智,让人甘心赴死。

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