找出数列的排列规律（一）
找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。
（一）思路指导
例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。
1，2，5，10，17，（ ），（ ），50
分析与解：
这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析：
第一项是：1
第二项是：2，
第三项是：5，
第四项是：10，
……
可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：
第一个括号里应填
例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：
1，4，7，10……
问：第100个数是多少？
分析与解：
这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路：
数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“
观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？
（1）2，3，4，5，6，7……
（2）5，10，15，20，25，30……
（3）1，2，4，8，16……
（4）12，14，16，18，20……
现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？
第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是
由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：
第一项＋（这项的项数－1）×公差
我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。
试试看：你能求出数列3，5，7，9……中的第92个数是多少吗？
例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数？
分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？
以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。
由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：
（这一项－首项）÷公差＋1
这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。
试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数？
例4. 观察下面的序号和等式，填括号。
|
序号 1 2 3 4 （ ） |
等式 ( )+( )+7983=( ) |
分析与解：
表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9……，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15……这个等差数列的第几项，也就是序号。
综上所述，括号里应填的数是：
（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）
例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，……，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？
分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：
单数项：1，3，5，7，……
双数项：4，8，12，16，……
显然，它们各自均成等差数列。
为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：
第1997个数在等差数列1，3，5，7，……中是第
第2000个数在等差数列4，8，12，16，……中是第
所以，第1997个数是
第2000个数是
［答题时间：40分钟］
（二）尝试体验
1. 按规律填数。
（1）1，2，4，（ ），16；
（2）1，4，9，16，（ ），36，49；
（3）0，3，7，12，（ ），25，33；
（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；
（5）2，7，22，64，193，（ ）。
2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？
3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。
4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：
（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；
（2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验
1. 按规律填数。
（1）1，2，4，（ ），16；
（2）1，4，9，16，（ ），36，49；
（3）0，3，7，12，（ ），25，33；
（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；
（5）2，7，22，64，193，（ ）。
答案：
（1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；
（2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；
（3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33；
（4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；
（5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。
2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？
答：共有129个数，其中第50个数是150。
3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。
每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列
每组第2个数是平方数
每组第3个数是立方数
第100组的三个数之和是
4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：
（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；
（2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。
答案：
（1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。
（2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，……，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。
