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高中数学解题常用思想方法---分类讨论思想方法

2011-10-11  额的天

在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0a0a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q1q1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0a0a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。

进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组

1.集合A{x||x|4,xR}B{x||x3|axR},若A B,那么a的范围是_____

A.  0a1    B.  a1      C.   a<1        D.  0<a<1

2.a>0a1plog (a a1)qlog (a a1)pq的大小关系是_____

A. pq     B. p<q     C. p>q     D.a>1p>q0<a<1p<q

3.函数y 的值域是_________

4.若θ∈(0, ),则 的值为_____

A. 1或-1         B. 0或-1     C. 01     D. 01或-1

5.函数yx 的值域是_____

A.  [2,+)      B. (-,-2][2,+)    C. (-,+)     D. [-2,2]

6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为24的矩形,则它的体积为_____

A.       B.         C.        D.

7.过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____

A. 3x2y0     B. xy50     C. 3x2y0xy50    D.不能确定

【简解】1小题:对参数aa>0a0a<0三种情况讨论,选B

2小题:对底数aa>10<a<1两种情况讨论,选C

3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况,答案{4,-2,0}

4小题:分θ= 0<θ< <θ< 三种情况,选D

5小题:分x>0x<0两种情况,选B

6小题:分侧面矩形长、宽分别为24、或42两种情况,选D

7小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C

Ⅱ、示范性题组:

1. 0<x<1a>0a1,比较|log (1x)||log (1x)|的大小。

【分析】 比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行讨论。

【解】 ∵ 0<x<1       0<1x<1 ,    1x>1

  0<a<1时,log (1x)>0log (1x)<0,所以
|log (1
x)||log (1x)|log (1x)[log (1x)]log (1x )>0;

  a>1时,log (1x)<0log (1x)>0,所以
|log (1
x)||log (1x)|=-log (1x) log (1x)=-log (1x )>0

由①、②可知,|log (1x)|>|log (1x)|

【注】本题要求对对数函数ylog x的单调性的两种情况十分熟悉,即当a>1时其是增函数,当0<a<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号,用到了函数的单调性;最后差值的符号判断,也用到函数的单调性。

2. 已知集合A和集合B各含有12个元素,AB含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:  . C ABC中含有3个元素;   . CA≠φ 

【分析】 由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:①属于A 元素;②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数123,而将取法分三种。

【解】  C ·C C ·C C ·C 1084

【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前提是合理科学的分类,达到分类完整及每类互斥的要求,还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”,即C C 1084

3. {a }是由正数组成的等比数列,S 是前n项和。  . 证明:  <lgS       .是否存在常数c>0,使得 lgS c)成立?并证明结论。(95年全国理)

【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时,由于公式的要求,分q1q1两种情况。

【解】 设{a }的公比q,则a >0q>0

①.当q1时,S na ,从而S S S na (n2)a (n1) a =-a <0

   q1时,S ,从而

S S S =-a q <0

由上可得S S <S ,所以lg(S S )<lg(S ),即 <lgS

. 要使 lgS c)成立,则必有(S c)(S c)(S c) ,

分两种情况讨论如下:

q1时,S na ,则

(S c)(S c)(S c) (na c)[(n2)a c][(n1)a c] =-a <0

q1S (S c)(S c)(S c) [ c][ c][ c] =-a q [a c(1q)]

  a q 0      a c(1q)0c

S cS =- <0       ∴对数式无意义

由上综述,不存在常数c>0, 使得 lgS c)成立。

【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明 >log S  ,和理科第一问类似,只是所利用的是底数是0.5时,对数函数为单调递减。

1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的,我们解决时按要求进行分类,即题型为概念、性质型。

4. 设函数f(x)ax 2x2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围。

 


     1     4       x




      1     4     x

【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题,需要先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论,最后综合得解。

【解】当a>0时,f(x)ax 2

a1 <a<1或φ        a>

a<0时, ,解得φ;

a0时,f(x)=-2x2, f(1)0f(4)=-6, ∴不合题意

由上而得,实数a的取值范围是a>  

【注】本题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数aa>0a<0a0三种情况,再每种情况结合二次函数的图像,在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种,即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答,关键是分析符合条件的二次函数的图像,也可以看成是“数形结合法”的运用。

5. 解不等式 >0  (a为常数,a≠- )

【分析】 含参数的不等式,参数a决定了2a1的符号和两根-4a6a的大小,故对参数a分四种情况a>0a0、- <a<0a< 分别加以讨论。

【解】 2a1>0时,a>     4a<6a时,a>0    所以分以下四种情况讨论:

a>0时,(x4a)(x6a)>0,解得:x<4ax>6a

a0时,x >0,解得:x0

当- <a<0时,(x4a)(x6a)>0,解得: x<6ax>4a

a> 时,(x4a)(x6a)<0,解得: 6a<x<4a

综上所述,当a>0时,x<4ax>6a;当a0时,x0;当- <a<0时,x<6ax>4a;当a> 时,6a<x<4a

【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论,做到不重不漏。一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论,此种题型为含参型。

6. a0,在复数集C中,解方程:z 2|z|a   (90年全国高考)

【分析】由已知z 2|z|a|z|R可以得到z R,即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。

【解】 ∵ |z|R,由z 2|z|a得:z R   z为实数或纯虚数

zR时,|z| 2|z|a,解得:|z|=-1     z=±(1 )

z为纯虚数时,设z=±y  (y>0)   ∴ -y 2ya   解得:y1±   0a1

由上可得,z=±(1 )或±(1± )

【注】本题用标准解法(设zxyi再代入原式得到一个方程组,再解方程组)过程十分繁难,而挖掘隐含,对z分两类讨论则简化了数学问题。

【另解】 设zxyi,代入得 x y 2 2xyi=a

y0时,x 2|x|a,解得x=±(1 ),所以z=±(1 )

x0时,-y 2|y|a,解得y=±(1± ),所以±(1± )i。

由上可得,z=±(1 )或±(1± )

【注】此题属于复数问题的标准解法,即设代数形式求解。其中抓住2xy0而分x0y0两种情况进行讨论求解。实际上,每种情况中绝对值方程的求解,也渗透了分类讨论思想。

7. xoy平面上给定曲线y 2x,设点A(a,0)aR,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式。    (本题难度0.40

【分析】 求两点间距离的最小值问题,先用公式建立目标函数,转化为二次函数在约束条件x0下的最小值问题,而引起对参数a的取值讨论。

【解】 设M(x,y)为曲线y 2x上任意一点,则

|MA| (xa) y (xa) 2xx 2(a1)xa [x(a1)] (2a1)

由于y 2x限定x0,所以分以下情况讨论:

a10时,xa1取最小值,即|MA} 2a1

a1<0时,x0取最小值,即|MA} a

综上所述,有f(a)     

【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉,但含参数a,以及还有隐含条件x0的限制,所以要从中找出正确的分类标准,从而得到df(a)的函数表达式。

Ⅲ、巩固性题组:

1.   log <1,则a的取值范围是_____

A. (0, )     B. ( ,1)     C. (0, )(1,+)     D. ( ,+)

2.   非零实数abc,则 的值组成的集合是_____

A. {-4,4}     B. {0,4}     C. {-4,0}      D. {-4,0,4}

3.   f(x)(ax)|3ax|a是正常数,下列结论正确的是_____

A.x2a时有最小值0          B.x3a时有最大值0

C.无最大值,且无最小值         D.有最小值但无最大值

4. f (x,y)0是椭圆方程,f (x,y)0是直线方程,则方程f (x,y)+λf (x,y)0  (λ∈R)表示的曲线是_____

   A.只能是椭圆    B.椭圆或直线    C.椭圆或一点     D.还有上述外的其它情况

5. 函数f(x)ax 2ax2b  (a0)在闭区间[2,3]上有最大值5,最小值2,则ab的值为_____

   A.  a1,b0           B. a1b0a=-1,b3

   C.  a=-1b3        D. 以上答案均不正确

6.方程(x x1) 1的整数解的个数是_____

   A.  1     B.  3     C.  4      D.  5

7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____

   A.  7     B.  6     C.  5      D.  4

8.zC,方程z 3|z|20的解的个数是_____

A.  2      B.  3     C.  4      D.  5

9.复数zaa  (a0)的辐角主值是______________

10.解关于x的不等式:  2log (2x1)>log (x a)     (a>0a1)

11.设首项为1,公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S ,又设T ,求 T  

12. 若复数zz z 在复平面上所对应三点ABC组成直角三角形,且|z|2,求z

13. 有卡片9张,将012、…、89个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数,若6可以当作9用,问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)(|m|1)x 2(m1)x1的图像与x轴只有一个公共点,求参数m的值及交点坐标。

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