椭圆及其标准方程引入

     椭圆及其标准方程引入

    教学设计一：直接引入，现在我们学习一种圆锥曲线——椭圆……

·（传统方式，重结果，轻过程，总想节约时间讲习题，让学生练）

    教学设计二：让学生上黑板画个椭圆，体验椭圆的形成的过程，为椭圆的定义引出作了铺垫……

   ·过于直接，简单容易。缺少探究的空间和距离。

    教学设计三：运用多媒体演示各种天体运动的轨迹—椭圆，还有生活中的实物造型等，引入新课……

   ·让学生感受到椭圆模型来源于现实世界，经历了从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，但缺乏动手操作。

    教学设计四：（课本引入设计）：

  

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹就是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（见图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，你能说出移动笔尖（动点）满足的几何条件吗？

·优点：探究定义本质特征，发现形成定义，并且由学生熟悉的圆的定义出发去探讨动点的变化规律：椭圆上的点到两定点C,O的距离为定值，由学生观察并概括，教师补充，整理成定义；简洁明了，接下来就根据椭圆的定义，推导椭圆的标准方程，探究椭圆的几何性质。 重心放在画出图形后讨论它的几何元素及其相互关系上，也就是确定椭圆的几何要素的认识.

我认为可以从以下几个步骤来引入椭圆这节课。

        一、观察实验，感知椭圆：

          1、在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，可以看到水面的边界是椭圆形；

          2、灯光斜照在圆形桌面上，桌子在地面上形成的影子是椭圆形。

         让学生比较圆的几何特征，来说说椭圆有哪些特征？可让学生自己举一些身边的例子。

        二、动手操作，演示椭圆：

          取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 。

          让学生分组来画，比一比谁画的最漂亮。

         三、类比分析，归纳椭圆：

          请大家体会一下，椭圆是怎样形成的？在你画图的过程中，什么是不变的呢？那么你认为应该怎样给椭圆下定义呢？

通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径.

一、引入：

１、认识椭圆：

问题1：绳子一端固定在草地上，另一端拴一只羊，过一段时间之后，你发现什么现象？
问题2：绳子两端固定在草地上，绳上套个小环，环上拴一只羊，过一段时间你发现什么现象？ 

  2生活中，你见过哪些形状是椭圆，你能举出实例吗？

二、设置问题，学生分组讨论，并展示。  

平面内到定点距离等于定长的点的轨迹叫圆。

提问1：如果把一个定点改成两个定点，轨迹是什么？（由上面引入很简单得出结论）

学生利用课前准备好的图钉和细绳合作画图。

做法：用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内，并且把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是怎样的一条曲线。

提问2：椭圆上的点具有什么特点？

学生上面操作交流发现：椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数。并且会发现有时候能做成椭圆，有时候不能（疑问）

这时学生可以通过课件观察随着F1 、F2距离改变，轨迹变化情况。从而发现

2a＞｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

提问3：椭圆应如何定义？（学生试着总结）

１、定义：

平面内与两定点 F1 、F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

常数记为２a,

|F1F2 |=2c,即2a>2c>0时，轨迹为椭圆。

提问4：刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？（学生纷纷发言，并演示）F1 、F2位置越近椭圆愈圆，F1 、F2位置越远椭圆愈扁

椭圆引入课教学片断

 

对于椭圆，学生从地理课中已经知道恒星、行星、卫星的轨道大都为椭圆，我国航天事业在近几年的发展成果，也使学生对航天器的飞行轨道问题有了较多的了解。应该说，学生对椭圆，但对什么是椭圆，椭圆有哪些性质，又认识不深，基本上处于感性认识阶段。基于此，对本节课作如下设计：

一．问题情境创设

1．2010年10月1日18时59分57秒我国自行研制的“嫦娥二号”于在西昌卫星发射中心发射升空， 6日11时6分，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，嫦娥二号卫星成功实施第一次近月制动，32分钟后，卫星顺利进入周期约12小时的椭圆环月轨道成为月球的一颗卫星。

嫦娥二号升空   嫦娥二号成功进入月球轨道在这里，嫦娥二号成功进入月球轨道后的轨迹就是一个椭圆，如果查找一下资料的话，会发现，人类发射的人造卫星，其运行轨迹，都是椭圆。

[设计意图]：用最新的科技发展成果引发学生的关注和兴趣。

 

2．   关于椭圆，你还知道哪些例子？

[设计意图]：引导学生注意观察身边的数学问题

3．   从上述例子我们可以看出，椭圆是生活和科学技术中一种常见的曲线，那么，椭圆到底是一种什么样的曲线，又具有哪些性质呢？下面我们给出椭圆的一种画法，请注意观察过程，你能据此给出椭圆的定义吗？

4．   按教材中的图示演示椭圆的画法

[设计意图]：通过画的过程让学生体会规律，通过有挑战性的问题激发学生的探索欲望。

 

5．   合作探究椭圆定义

[设计意图]：体验探索过程和概念抽象过程

6．   成果展示：采用小组发言人阐述，其他同学补充完成

[设计意图]：体验成功，树立信心

7．   结合学生发言情况，给出椭圆定义

[设计意图]：升华知识结构，并为下一步探索做好铺垫

8．   问题：如果设定长为2，两定点之间距离为2，你能根据椭圆的定义，推导出椭圆的方程吗？

[设计意图]：体验探索过程，学会合作；

不提示建坐标系问题，以体会建坐标系的方法。

9．   合作探究：教师作巡视，可参与者学生讨论，但不宜过早介入学生思维

[设计意图]：体验探索过程，培养合作精神；

           不过早介入学生思维，意在促进思维深度

10．   成果展示：采用小组发言人阐述，其他同学补充完成，在学生思维达到适当时机，引入参数

[设计意图]：体验成功，树立信心

 

11．成果评讲：结合学生发言情况，给出椭圆标准方程

[设计意图]：升华知识结构，肯定成果，让学生进一步体验成功。

回复： 椭圆概念的引入该怎么上呢？

　　呵呵，情境创设有一定的情趣性，不过总有点人为编造的痕迹，可能几乎所有人都不曾听说过放养羊时，会用那样的方法将羊结住。
　　其实与圆类似，对圆的认识，是先有直观认识，然后才有理性揭示。因此古人能用“一中同长”这四个字，把圆的本质属性简练地揭示出来，是非常不容易的！
　　同样，对椭圆的理解，可能更多的是先有感性认识，然后才有定义。因此本课引入完全可以大大方方地如下引入：大家知道椭圆是什么形状吗？然后教师再拿两个椭圆教具展示。再与对圆的理解过程类比，激发学生如何深刻揭示椭圆的本质属性呢？学生当然不知道椭圆的定义，但可以把他们对科学的探索与好奇心激发出来。然后教师再告诉学生今天我们研究一种新的轨迹，当今天的知识学完后，我们就知道……
　　并不是所有知识都要通过创设巧妙情境而教学，否则科学发现岂不是太容易了？！坦诚地告诉学生知识的发生发展过程，可以让学生真实地感受到伟大的科学发现是多么的来之不易！
　　如果人为地把椭圆当作学生陌生的知识来设计教学，一味地要从生活角度或者数学内部创设情境引入新知，那是有悖人的认知规律的。事实上，如果按照上述“结羊”方法的设计，学生也有可能产生一个疑问：推导出来的椭圆难道一定就是我平时想象中的椭圆吗？
　　国外曾经有这样故事：一位教师在讲圆时，一上来，就自言自语说，什么叫圆呢？圆就是平面上一个动点到定点距离等于定长的轨迹……滔滔不绝，学生听得云里雾里。在一节课快要结束时，教师从讲台下面拿出事先准备的圆圈，举起来给学生看，说：这就是我们今天所讲的圆……本来神情木然的学生两眼顿时露光，兴奋地大叫道：哦，原来今天讲的圆就是这个东西啊！哈哈，这不是我们小时候玩的圆环吗？唉，知道圆是什么东西了……
　　故事非常精彩，令人回味，发人深省。事实上，现在的课堂教学中，仍屡屡见到上述类似的现象

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