蓄水池抽样?均匀抽样

suiqianying 2011-10-16

展开全文

如何等概率的从N个元素中选取出K个元素？

这个问题就是一个蓄水池抽样（Reservoir Sampling），算法可以如下描述：

Init : a reservoir with the size： k

for i= k+1 to N

M=random(1, i);

if( M < k)

SWAP the Mth value and ith value

end for

网上有人给出了证明，先转过来：

【转】

证明：

每次都是以 k/i 的概率来选择
例: k=1000的话，从1001开始作选择，1001被选中的概率是1000/1001，1002被选中的概率是1000/1002，与我们直觉是相符的。

接下来证明：
假设当前是i+1, 按照我们的规定，i+1这个元素被选中的概率是k/i+1，也即第 i+1 这个元素在蓄水池中出现的概率是k/i+1
此时考虑前i个元素，如果前i个元素出现在蓄水池中的概率都是k/i+1的话，说明我们的算法是没有问题的。

对这个问题可以用归纳法来证明：k < i <=N
1.当i=k+1的时候，蓄水池的容量为k，第k+1个元素被选择的概率明显为k/(k+1), 此时前k个元素出现在蓄水池的概率为 k/(k+1), 很明显结论成立。
2.假设当 j=i 的时候结论成立，此时以 k/i 的概率来选择第i个元素，前i-1个元素出现在蓄水池的概率都为k/i。
证明当j=i+1的情况：
即需要证明当以 k/i+1 的概率来选择第i+1个元素的时候，此时任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/(i+1).
前i个元素出现在蓄水池的概率有2部分组成, ①在第i+1次选择前得出现在蓄水池中，②得保证第i+1次选择的时候不被替换掉
①.由2知道在第i+1次选择前，任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/i
②.考虑被替换的概率：
首先要被替换得第 i+1 个元素被选中(不然不用替换了)概率为 k/i+1，其次是因为随机替换的池子中k个元素中任意一个，所以不幸被替换的概率是 1/k，故
前i个元素中任一被替换的概率 = k/(i+1) * 1/k = 1/i+1
则没有被替换的概率为: 1 - 1/(i+1) = i/i+1
综合① ②,通过乘法规则
得到前i个元素出现在蓄水池的概率为 k/i * i/(i+1) = k/i+1
故证明成立

对于抽样问题，最近看见了一些方法，做个总结：

问题：要求从1,2,3..n中，以等概率的方式，抽取m个元素

1、使用上面的蓄水池抽样

void　sample_pool(const int N, const int m)

{

int i, tmp,rd;

int* x = new int[N];

for(i = 0 ; i < N ; i ++)

x[i] = i + 1;

for(i = m ; i < N; i ++ )

{

rd = rand()%i;

if(rd < m)

swap(x[i],x[rd]);

}

for(i = 0 ; i < m; i ++)

cout<<x[i]<<" ";

delete []x;

x = NULL;

}空间和时间均为O(N)

2 、从N个中选取m个，可以先确定一个后，然后从身下的N-1个中选取m-1个出来。

void sample_rand(const int N,const int m)

{

int select = m,i,rd;

int remain = N;

for(i = 0; i < N ; i++)

{

rd = rand()%remain;

if(rd < select)

{

cout<< i<<" ";

select--;

}

remaining--;

}

上面这个方法非常经典，是Knuth在the art of computer programming中提出的。使用的额外空间为O(1)，时间为O(N)。其概率的证明也是非常简单的。简单推到可发现，是等概率选择每个元素的。而且，最后肯定会选择刚刚好m个元素，前面一直没选择的话，则当remaining == select时，就会都选择。

3、将抽样的看成是一个集合，则要从N中选择出m个不同的元素，存入到集合中，可用set来完成

利用STL中的set来完成这个功能。

void sample_set(const int N,const int m)

{

set<int>s;

while(s.size()<m)

{

s.insert(rand()%n);

}

for(set<int>::iterator it = s.begin();it!=s.end();it++)

cout<<*it<<" ";

}

4、扰乱一个递增序列。

for i =[0,N)

swap(x[i],x[rand(i,n-1)];

有人证明，只要扰乱前m个就可以。

void sample_shuf(const int N,const int m)

{

int i, j;

int *x = new int[N];

for(i = 0 ; i <Ｎ; i++) x[i]=i+1;

for(i = 0 ; i < m ; i ++)

{

j = rand(i,n-1);

swap(x[i],x[j]);

}

sort(x,x+m);

Print(x,m);

delete []x;x= NULL;

}

关于采样的几个问题：

1、Given a random number generator which can generate the number in rang(1,5)uniformly, how can u use it to build a random number generator which can generate the number in range(1,7) uniformly?

解答：利用拒绝采样定理

首先，将（1，5）之间的随机发生器使用两次，按照五进制进行使用，拼成一个（1,25）的随即发生器既：（[gen][gen]）5,每一[]为一个5进制上的位，换算为十进制为：x=gen*5+gen,在十进制上的范围为：6-30，进行一个简单的左移动，可换算成1-25范围上的值; 然后将（1,25）平均分配到7中情况上面，考虑21是7的倍数，因此可以每三个做一个映射（当然，也可以不管，直接截断7后面的数字，但是范围太小，效率不高），1-3--》1,4-6--》2,19-21--》7，此时就是等概率的，如果产生了22-25之间的数字，可以有两种方法决定结果：

（1）拒绝采样，重新再运算

（2）如果得到了22-25之间的数字，则此次的随即发生器结果，直接使用上一次得到的结果。这个方法有人证明过，是等概率的，算法Metropolis Algorithm。

五进制表示： --> 对应的十进制：减5平移