关于某些常系数非齐线性常微分方程的特解之形式

关于某些常系数非齐线性

常微分方程的特解之形式

循天园

对于n阶常系数非齐线性方程：

（a_nDⁿ+a_n-1+…+a₁D+a_o）y=Ae^αxcosβx   <1>

（a_nDⁿ+a_n-1+…+a₁D+a_o）y=Ae^αxsinβx    <2>

其中，ai（i=0、1，…，n），A，α，β为常数，D^k=d^k/dx^k（k=1，2，…，n）。如何寻求其一特解？方法很多。若用“待定系数法”，则据其自由项之形式，可断定其有形如

y=x^k(c₁cosβx+c₂sinβx)e^αx   (*)

的特解，其中k，c₁，c₂为特定常数。然而由于方程（1）和（2）右端之自由项较为特殊，那么其待定特解的形式可否比（*）更为简单些？本文想就此做些探讨。

为叙述之方便，先给出如下的定义及记号：

记L(D)=a_uDⁿ+a_u-1D_n-1+…+a₁D+a。

其中算子Dk=dk/dxk（K=1，2，…，n）。L(D)即为算子多项式。

a_nλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀=o也即L（λ）=O （**）

为方程<1>(或<2>)对应的特征方程。方程<1>(或<2>)的特征根是指其特征方程的根。

把方程(**)之偶次项全部去掉后所余留下的方程称为它的“奇项方程”，记为L_oαα（λ）=o；

把方程（**）之奇次项全部去掉后所余留下的方程称为它的“偶项方程”，记为L_eucn（λ）=o。

类型Ⅰ，n阶常系数非齐线性方程

L(D)y=Acosβx（或Asinβx）<3>

其中A、β为给定之常数，若βi不是其对应的特定方程的根，而是其

对应的特征方程之奇项方程的根，即L（βi）=O；则方程<3>有形如

y=ccosβx（或csinβx）

之特解，其中c为待定常数。

事实上，由设L（βi）≠O，L_oαα（βi）=O；且注意到L（βi）= L_euen（βi）+ L_oαα（βi）≠O及L_euen（βi）必为一实数，且有L_euen（βi）=≠O，故由辅助方程

L(D)y=Aeⁱβx

之一特解：

y_p=1/L(D) Aeⁱβx=A/ L（βi）eⁱβx=A/ L_euen（βi）eⁱβx

克制R_e（yp）= A/ L_euen（βi）cosβx为方程

L(D)y=Acosβx

之一特解。

此即是说，若L（βi）≠O，但L_oαα（βi）=O时，方程L(D)y=Acosβx

有形如y=ccosβx之特解形式。

同理可导出：若L（βi）≠O，但L_oαα（βi）=O时，方程L(D)y=Asinβx有形如y=csinβx的特解，其中c为待定常数。

用类型Ⅰ的推导方法可推出

类型Ⅱ，n阶常系数非齐线性方程

L(D)y=Acosβx或（Asinβx）  <3>

其中A，β为给定常数，若βi不是其对应的特征方程的根，但是其对应的特征方程之偶项方程的根，即L（βi）≠O，L_euen（βi）=O；则方程，<3>具有形如

y=csinβx（或ccosβx）

之特解，其中c为待定常数。

类型Ⅲ，n阶常系数非齐线性方程

L(D)y=Ae^αxcosβx或（Ae^αxsinβx）<4>

其中A、α  、β  为给定常数，若L(D+α )=L₁(D²)且L₁=（-β ²）≠o，则方程，<4>有如形

y=ce^αxcosβx（或ce^αxsinβx）

之特解，其中c为待定常数。

事实上，对于方程L(D)y=Ae^αxcosβx，因L₁=（-β ²）≠o，故由特解的算子解法知这方程有特解

y=1/ Ae^αxcosβx

=Ae^αx1/L(D+λ) cosβx

=Ae^αx1/L₁(D²) cosβx

=A/L₁(-β ²) e^αxcosβx

故方程L(D)y=Ae^αxcosβx有形如y=ce^αxcosβx的特解，其中c为特定常数。同理可导出方程L(D)y=Ae^αxsinβx有形如y=ce^αxsinβx的特解。

上面推导过程中，出现符号L(D+α )=L₁(D²)表示L(D+α )为D²的算子多项式，以后若有这样的符号也表示这个意思。

若方程<4>是实系数的，我们有下面的类型Ⅴ。为此得先给出

类型Ⅳ。对于实系数非齐线性方程

L(D²)=Acosβx（或Asinβx） <5>

其中A、β  为非零实数，如果βi为其特征方程的r重根；则

1.若γ为偶数，方程<5>有形如

y=cx^rcosβx（或cx^rsinβx）

的特解，其中C为特定常数；

2. 若γ为奇数，方程<5>有形如

y=cx^rsinβx（或cx^rcosβx）

的特解，其中C为待定常数

由〔1〕的结论：

对于实系数非齐线性方程

L(D²)=Acosβx（或Asinβx）（β≠O） <5>

若βi为其特征方程的γ重根从而L(D²)=（D²+β²）^rQ(D²)  (Q(-β ²) ≠o;则方程<5>有特解

y=1/(Q(-β ²)Re｛eiβxxr/(2lβ)^r·r!｝(或1/(Q(-β ²)Im｛eiβxxr/(2lβ)^r·r!｝)

可见类型Ⅳ是成立的。

类型Ⅴ。n阶实系数非齐线性方程

L(D)y=Ae^αxcosβx或（Ae^αxsinβx）（Aβ≠O） <6>

若L(D+α )=L₁(D²)，α ±iβ 是L（λ）=o的r重根；则

1.     若r为偶数，方程<6>有形如

y=cx^re^αxcosβx（或cx^re^αxsinβx）

的特解，其中c为待定常数；

2. 若r为奇数，方程<6>有形如

y=cx^re^αxsinβx（或cx^re^αxcosβx）

之特解，其中c为待定常数。

事实上，∵L(D+α )=L₁(D²)，α ±iβ 为方程L（λ）=o的r重根，

∴方程L(D)y=Ae^αxcosβx有特解

y=1/L(D) Ae^αxcosβx=Ae^αx1/ L(D+α ) cosβx=Ae^αx1/L₁(D²) cosβx

由类型Ⅳ知

1.     若r为偶数，则y有形式cx^re^αxcosβx；

2.     若r为奇数，则y有形式cx^re^αxsinβx。

同理可导出方程L(D)y=Ae^αxsinβx

1.若r为偶数，则y=cx^re^αxsinβx的特解；

2.若r为奇数，则y=cx^re^αxcosβx的特解。

因为有许多实际问题都可以归结为二阶常系数非齐线性方程的解的问题，因此详细研究类型Ⅴ的二阶情形是十分可取的，为此我们先证明

引理1，设二阶实系数方程

a₂x²+a₁x+a₀=0（a₂≠0）<7>

有复数解x=α±iβ（β=0时为二重解）：则

2a₂α+a₁=0，a₂α²-a₂β²+a₁α+a₀=0。

证.当β=O时，因x=α±iβ为方程<7>的解，故

a₂(α±iβ)²+a₁(α±iβ)²+a₀=0

a₂α²-a₂β²+ a₁α+a₀±(2 a₂α+a₁) βi=0

∴a₂α²-a₂β²+ a₁α+a₀=0, 2 a₂α+a₁=0

当β=O时，x=α为方程<7>的二重解，故

a₂x²+a₁x+a₀=a₂（x-α）²=a₂x²-2a₂αx+a₂α²

∴a₂=a₂，a₁=-2a₂α，a₀=a₂α²

∴2a₂α+ a₁=2a₂α+（-2a₂α）=0

a₂α²- a₂β²+ a₁α+ a₀₌ a₂α²-0-2a₂α²+ a₂α³=0

综上所述引理1成立。

推论.若已知α±ir不是方程<7>的解，则必有a₂α²- a₂r²+ a₁α+ a₀≠0

引理2.设实系数二次多项式

f（x）=a₂x²+a₁x+a₀（a2≠0）

有复数解x=α±iβ（β=0时为二重解）；则

f（x+α）=g（x²）

证.∵x=α±iβ为f（x）的复数解，

∴2a₂α+a₁=0故

f（x+α）=a₂（x+α）²+a₁（x+α）+a₀

= a₂x²+ a₂α²+a₁α+a₀+（2a₂α+a₁）x

= a₂x²+ a₂α²+a₁α+a₀

= g（x²）证毕

类型Ⅵ，实系数非齐线性方程

a₂y＂+a₁y＇+a0y= Ae^αxcosβx(或Ae^αxsinβx)（a₂Aβ）≠0 <8>

设其有特征λ=α±iR

1.     若R≠β,则方程<8>有形如

y=cxe^αxcosβx（或cxe^αxsinβx）

的特解，其中c为特定常数；

2. 若R=β,则方程<8>有形如

y=cxe^αxsinβx（或cxe^αxcosβx）

的特解，其中c为待定常数。

事实上，∵λ=α±iR为特征方程a₂λ²+a₁λ+a₀=0

的解，由引理2有a₂（D+α）²=a₁（D+α）+a₀=a₂D²+a₂α²+a₁α+a₀为D²的算子多项式。

1.     若R≠β，从而λ=α±iβ为a₂λ²+a₁λ+a₀=0的一重根；由类型Ⅴ知，方程<8>有形如

y=ce^αxcosβx（或ce^αxsinβx）

的特解，其中c为待定常数。

2. 若R=β，从而λ=α±iβ为a₂λ²+a₁λ+a₀=0的一重根；由类型Ⅴ知，方程<8>有形如

y=cxe^αxsinβx（或cxe^αxcosβx）

的特解，其中c为待定常数。

最后，我们给出更为一般的

类型Ⅶ.对于，n阶实系数非齐线性方程

L(D)y=f（x）e^αxcosβx（或f（x）e^αxsinβx）<9>

其中f（x）为实函数，α 、β 为实数；

1.     若方程L(D+(α±iβ)y=f(x)有实函数特解g（x），则方程<9>有特解

y= g（x）e^αxcosβx（或g（x）e^αxsinβx）

2.     若方程L(D+(α±iβ)y=f(x)有复值函数特解ig（x）（g（x）为实函数），则方程<9>有特解

y=g（x）e^αxsinβx（或g（x）e^αxcosβx）

我们考虑辅助方程L(D)y=f（x）e^(α±iβ)x，这方程有特解

y=1/ L(D)f（x）e^(α±iβ)x+1/L〔D+(α±iβ)〕f（x）

1.     若方程L〔D+(α±iβ)〕=f（x）有实函数特解g（x），故

y= e^(α±iβ)x g（x）= g（x）e^αxcosβx+ ig（x）e^αxsinβx

∴L(D)〔g（x）e^αxcosβx+ ig（x）e^αxsinβx〕

=f（x）e^(α±iβ)x

= f（x）e^αxcosβx+ if（x）e^αxsinβx

∴L(D)〔g（x）e^αxcosβx〕= f（x）e^αxcosβx

L(D)〔g（x）e^αxsinβx〕= f（x）e^αxsinβx

从而方程<9>有特解y= g（x）e^αxcosβx（或g（x）e^αxsinβx）。

同理可导出2。

注〔1〕王柔怀、伍卓群《常微分方程讲义》p.129-130。