高中数学解题方法

高中数学解题方法

                      上海市民远高级中学

                              特级数学教师：张杰

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

   

中元素各表示什么？

      A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

 

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

  注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

    空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

   

   

   

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

 

3. 注意下列性质：

 要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a₁来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a₂, a₃,……a_n,都有2种选择，所以，总共有 种选择， 即集合A有 个子集。

当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 ，非空真子集个数为

    （3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

                                                         

 

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

   

的取值范围。

              

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax²+bx+c(a>0) 在 上单调递减，在 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

 

5、熟悉命题的几种形式、

   

   

   

  命题的四种形式及其相互关系是什么？

    （互为逆否关系的命题是等价命题。）

    原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

 

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

  满足条件 ， 满足条件 ，

若                 ；则 是 的充分非必要条件 ；

若                 ；则 是 的必要非充分条件 ；

若                 ；则 是 的充要条件 ；

若                 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

 

 

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有n^m个。

如：若 ， ；问： 到 的映射有      个， 到 的映射有     个； 到 的函数有     个，若 ，则 到 的一一映射有     个。

函数 的图象与直线 交点的个数为             个。                

 

 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

    （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

 

  9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

 

函数定义域求法：                                                                  

l  分式中的分母不为零；

l  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

l  指数式的底数大于零且不等于一；

l  对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

l  正切函数  

l  余切函数  

l  反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ，值域是 ，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

 

10. 如何求复合函数的定义域？

   

义域是_____________。   

复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由 解出x的范围，即为 的定义域。

例   若函数 的定义域为 ，则 的定义域为            。

分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。

解：依题意知：        

    解之，得          

∴　 的定义域为

 

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y= 的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

 

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y= 值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y= ， ， 的值域。

 

6、函数单调性法

   通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y= （2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例 求函数y=x+ 的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P（x.y）在圆x²+y²=1上，

 

例求函数y= + 的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y= + 的值域

解：原函数可变形为：y= +

                              

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，                   y =∣AB∣= = ，

故所求函数的值域为[ ，+∞）。

例求函数y= - 的值域

解：将函数变形为：y= -

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，

有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣= =

即：- ＜y＜

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 。

综上所述，可知函数的值域为：（- ，- ）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例  求函数y= 的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

 

 

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

  切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

   

   

   

   

   

 

  13. 反函数存在的条件是什么？

    （一一对应函数）

    求反函数的步骤掌握了吗？

    （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

   

                                     

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数 的反函数是（  B  ）

       A．y=x²－2x+2(x<1)                                B．y=x²－2x+2(x≥1)

       C．y=x²－2x  (x<1)                                 D．y=x²－2x  (x≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

 

14. 反函数的性质有哪些？

   反函数性质：

1、  反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、  反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、  反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

    ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

    ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

   

   

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数 ，则方程 的解 __________.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。 自己想想，不懂再问我

 

15  . 如何用定义证明函数的单调性？

    （取值、作差、判正负）

 

判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：

根据定义，设任意得x₁,x₂，找出f(x₁),f(x₂)之间的大小关系

可以变形为求 的正负号或者 与1的关系

(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f^－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g)	g(x)	f[g(x)]	f(x)+g(x)	f(x)*g(x) 都是正数
增	增	增	增	增
增	减	减	/	/
减	增	减	/	/
减	减	增	减	减

 

   

   

   

   

   

∴……）

 

 

16. 如何利用导数判断函数的单调性？

   

   

值是（    ）

    A. 0               B. 1               C. 2               D. 3

   

   

   

    ∴a的最大值为3）

 

 

17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

    （f(x)定义域关于原点对称）

   

   

    注意如下结论：

    （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

   

   

   

   

   

                                                 

   

   

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、复合函数奇偶性

 

f(g)	g(x)	f[g(x)]	f(x)+g(x)	f(x)*g(x)
奇	奇	奇	奇	偶
奇	偶	偶	非奇非偶	奇
偶	奇	偶	非奇非偶	奇
偶	偶	偶	偶	偶

 

 

 

 

 

 

 

18. 你熟悉周期函数的定义吗？

   

函数，T是一个周期。）

   

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导： ，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

 

   

       如：

 

 

 

 

 

 

  19. 你掌握常用的图象变换了吗？

     联想点（x,y）,(-x,y)

      联想点（x,y）,(x,-y)

      联想点（x,y）,(-x,-y)

      联想点（x,y）,(y,x)

     联想点（x,y）,(2a-x,y)

      联想点（x,y）,(2a-x,0)

   

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）

    注意如下“翻折”变换：

   

   

   

 

 

                                                                                          

 

 

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

              (k为斜率，b为直线与y轴的交点)

   

的双曲线。

   

   

   

                                                       

 

   应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

          

    ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

    ④一元二次方程根的分布问题。

     

                                           

   

   

    由图象记性质！         （注意底数的限定！）

   

    利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

   

   

   

   

   

   

 

21. 如何解抽象函数问题？

    （赋值法、结构变换法）

   

   

   

   

   

   

         

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、  代y=x，

2、  令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、  求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x₁

 

几类常见的抽象函数

1.       正比例函数型的抽象函数

      f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2.       幂函数型的抽象函数

  f（x）＝x^a----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（ ）＝

3.       指数函数型的抽象函数

  f（x）＝a^x------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝

4.       对数函数型的抽象函数

f（x）＝log_ax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（ ）＝ f（x）－f（y）

5.       三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝

f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

 

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]＝f（x₂－x₁）＋f（x₁））；再根据区间求其值域.

 

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a²－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

 

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）       判断f（x）的奇偶性；

（2）       判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）       若a≥0且f（a＋1）≤ ，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

     （2）利用f（x₁）＝f（ ·x₂）＝f（ ）f（x₂）；

     （3）0≤a≤2.

 

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）       f（0）；

（2）       对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

 

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2^x；再用数学归纳法证明.

 

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）       f（1）；

（2）       若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

 

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①     x₁、x₂是定义域中的数时，有f（x₁－x₂）＝ ；

②     f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③     当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

    试问：

（1）       f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）       在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

    分析：（1）利用f [－（x₁－x₂）]＝ －f [（x₁－x₂）]，判定f（x）是奇函数；

（3）       先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

    对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

    例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）       求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2）       求证：f（x）为偶函数；

（3）       若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－ ）≤0.

分析：函数模型为：f（x）＝log_a|x|（a＞0）

（1）       先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；

（2）       令y＝ －1；

（3）       由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

 

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）       当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）       f（x）在x∈R上是减函数.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3）       受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝ ，

进而由x₁＜x₂，有 ＝f（x₁－x₂）＞1.

 

练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（   ）

（A）f（0）＝0                    （B）f（0）＝1  

（C）f（0）＝0或1                （D）以上都不对

2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（   ）

（A）f（1）＝0                     （B）f（ ）＝ f（x）  

（C）f（ ）＝ f（x）－f（y）       （D）f（xⁿ）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（   ）

（A）（1，＋∞）                   （B）（－∞，1）

（C）（0，1）                      （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x₁、x₂都有

f（x₁－x₂）＝ ，则f（x）为（   ）

（A）奇函数非偶函数              （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数        （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（   ）

（A）奇函数非偶函数              （B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数        （D）非奇非偶函数

 

 

参考答案：

1．A

2．B

3．C

4．A

5．B

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

                 (和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)