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10.1 根 找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题，。MATLAB求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116 p=[1-12025116] p = 1-12025116 注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。 r=roots(p) r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i 因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一 pp=poly(r) pp = 1.0e+002 * Columns 1 through 4 0.0100-0.12000.00000.2500 Column 5 1.1600 + 0.0000i
pp=real(pp) %throw away spurious imaginary part pp = 1.0000-12.00000.000025.0000116.0000 因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。 10.2 乘法 函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x3＋2x2＋3x＋4和b(x)= x3＋4x2＋9x＋16的乘积： a=[1234] ;b=[14916]; c=conv(a , b) c = 162050758464 结果是c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64。两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。 10.3 加法 对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。 d=a+b d = 261220 结果是d(x)= 2x3＋6x2＋12x＋20。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加： e=c+[000d] e = 162052819684 结果是e(x)= x6＋6x5＋20x4＋52x3＋81x2＋96x＋84。要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。 如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通MATLAB工具箱包含下列实现： function p=mmpadd(a,b) %MMPADD Polynomial addition. %MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B %Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc. if nargin<2 error(' Not enough input arguments ') end a=a(:).' ;%make sure inputs are polynomial row vectors b=b(:).' ; na=length(a) ;%find lengths of a and b nb=length(b) ; p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b] ;%add zeros as necessary 现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。 f=mmpadd(c,d) f = 162052819684 它与上面的e相同。当然，mmpadd也用于减法。 g=mmpadd(c , -d) g = 162048697244 10.4 除法 在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中，这由函数deconv完成。用上面的多项式b和c [q , r]=deconv(c , b) q = 1234 r = 0000000 这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。 10.5 导数 由于一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。 g g = 162048697244 h=polyder(g) h = 6308014413872 10.6估值 根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。在MATLAB中，这由函数polyval来完成。 x=linspace(-1, 3) ; %choose 100 data points between -1and 3. p=[14-7-10] ;%uses polynomial p(x) = x3＋4x2－7x－10 v=polyval(p , x) ; 计算x值上的p(x)，把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。 plot(x , v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '),xlabel(' x ')
图10.1多项式估值 10.7有理多项式 在许多应用中，例如富里哀(Fourier)，拉普拉斯(Laplace)和Z变换，出现有理多项式或两个多项式之比。在MATLAB中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。函数residue执行部分分式展开。 num=10*[12] ; %numerator polynomial den=poly([-1; -3; -4]) ;%denominator polynomial [res, poles, k]=residue(num, den) res = -6.6667 5.0000 1.6667 poles = -4.0000 -3.0000 -1.0000 k = [] 结果是余数、极点和部分分式展开的常数项。上面的结果说明了该问题：
这个函数也执行逆运算。 [n, d]=residue(res, poles, k) n = 0.000010.000020.0000 d = 1.00008.000019.000012.0000 roots(d) ans = -4.0000 -3.0000 -1.0000 在截断误差内，这与我们开始时的分子和分母多项式一致。residue也能处理重极点的情况，尽管这里没有考虑。 正如前面所述，函数polyder，对多项式求导。除此之外，如果给出两个输入，则它对有理多项式求导。 [b , a]=polyder(num , den) b = -20-140-320-260 a = 116102328553456144 该结果证实：
10.8 M文件举例 本章说明了在精通MATLAB工具箱 中两个函数。这些函数说明了本章所论述的多项式概念和如何写M文件函数。关于M文件的更多信息，参阅第8章。 在讨论M文件函数的内部结构之前，我们考虑这些函数做些什么。 n%earlier data n = 0.000010.000020.0000 b%earlier data b = -20-140-320-260 mmpsim(n)%strip away negligible leading term ans = 10.000020.0000 mmp2str(b)%convert polynomial to string ans = -20s^3 - 140s^2 - 320s^1 - 260 ans = -20x^3 - 140x^2 - 320x^1 - 260 mmp2str(b , [] , 1) ans = -20*(s^3 + 7s^2 + 16s^1 + 13) mmp2str(b , ' x ' , 1) ans = -20*(x^3 + 7x^2 + 16x^1 + 13) 这里函数mmpsim删除在多项式n中近似为零的第一个系数。函数mmp2str把数值多项式变换成等价形式的字符串表达式。该两个函数的主体是： function y=mmpsim(x,tol) %MMPSIM Polynomial Simplification,Strip Leading Zero Terms. %MMPSIM(A) Delets leading zeros and small coefficients in the %polynomial A(s). Coefficients are considered small if their %magnitude is less than both one and norm(A)*1000*eps. %MMPSIM(A,TOL) uses TOL for its smallness tolerance. %Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc. if nargin<2, tol=norm(x)*1000*eps; end x=x(:).' ;%make sure input is a row i=find(abs(x)<.99&abs(x)<tol) ;%find insignificant indices x(i)=zeros(1, length(i)) ;%set them to zero i=find(x~=0) ;%find significant indices if isempty(i) y=0 ;%extreme case: nothing left! else y=x(i(1) : length(x)) ;%start with first term end%and go to end of polynomial function s=mmp2str(p,v,ff) %MMP2STR Polynomial Vector to String Conversion. %MMP2STR(P) converts the polynomial vector P into a string. %For example: P = [234] becomes the string ' 2s^2 + 3s + 4 ' % %MMP2STR(P,V) generates the string using the variable V %instead of s. MMP2STR([234],' z ') becomes ' 2z^2 + 3z + 4 ' % %MMP2STR(P,V,1) factors the polynomial into the product of a %constant and a monic polynomial. %MMP2STR([234],[],1) becomes ' 2(s^2 + 1.5s + 2) ' %Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc. if nargin<3, ff=0; end%factored form is False if nargin <2, v=' s ' ; end%default variable is ' s ' if isempty(v), v=' s ' ; end%default variable is ' s ' v=v(1) ;%variable must be scalar p=mmpsim(p) ;%strip insignificant terms n=length(p) ; if ff%put in factored form K=p(1) ; Ka=abs(K) ; p=p/K; if abs(K-1)<1e-4 pp=[]; pe=[] ; elseif abs(K+1)<1e-4 pp=' -(' ; pe= ') ' ; elseif abs(Ka-round(Ka))<=1e-5*Ka pp=[sprintf(' %.0f ', K) '*( ' ] ; pe= ') ' ; else pp=[sprintf(' %.4g ' , K) '*(' ] ; pe= ') ' ; end else%not factored form K=p(1); pp=sprintf(' %.4g ' , K) ; pe=[]; end if n==1%polynomial is just a constant s=sprintf(' %.4g ',K); return end s=[pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-1)];%begin string construction for i=2:n-1%catenate center terms in polynomial if p(i)<0, pm= ' -' ;else,if p(i)<0,pm= ' ;end if p(i)= =1,pp=[] ; else,pp=sprintf(' %.4g ', abs(p(i))) ;end if p(i)~ =0,s=[spmppv' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-i)] ;end end if p(n)~ =0,pp=sprintf(' %.4g ',abs(p(n))); else,pp=[];end if p(n)<0 , pm= ' -' ; elseifp(n)>0 , pm= ' +' ; else,pm=[];end s=[spmpppe];%add final terms 10.9 小结 下列表格概括了在本章所讨论的多项式操作特性。 表10.1
表10.2
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