海淀区九年级数学第一学期期中测评

海淀区九年级第一学期期中测评

                  数  学  试  卷               2011.11

  学校                班级                姓名               成绩              

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

 1. 下列计算正确的是（    ）

   A.      B.      C.      D.

 2. 已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为3cm和4cm, 且O₁ O₂ = 8cm,则⊙O₁与⊙O₂ 的位置关系

   是（    ）

   A. 外离            B. 相交           C. 相切            D. 内含

 3．一元二次方程2x² + 3x +5=0的根的情况是（    ）

   A. 有两个不相等的实数根              B. 有两个相等的实数根

   C. 没有实数根                        D. 无法判断

 4. 已知x=1是方程 x² -3x+c =0的一个根, 则c的值为 (     )

   A. - 4              B. - 2             C. 2               D. 4

E

D

O

C

B

A

F

 5．如图，△ABC绕着点O逆时针旋转到△DEF的位置，则

    旋转中心及旋转角分别是（    ）

    A. 点B, DABO                      B. 点O, DAOB

    C. 点B, DBOE                      D. 点 O, DAOD

 

6. 用配方法解方程x² - 4x +3=0，应该先变形为（    ）

   A．(x -2)² =1          B．(x -2)² = -3           C．(x-2)²=7          D．(x +2)² =1     

 

O

A

B

C

D

 7．如图，点O为优弧 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D

    在AB的延长线上, BD=BC, 则∠D的度数为（ ）

A．20°                              B．27°            

C．30°                              D．54°

8．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在 上运动时，设 的长为 ，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与 的函数关系的图象大致是（    ）             

 

 

 

O

y

x

O

O

O

x

x

x

y

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         A                  B                    C                   D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

 9. 已知 在实数范围内有意义, 则a 的取值范围是         .

10. 在平面直角坐标系xOy中，点(-2, 5) 关于原点O的对称点为         .

C

O

A

B

D

E

11. 如图,  AB为⊙O的直径, 点C在AB的延长线上, CD、CE分别

   与⊙O相切于点D、E, 若AD=2, DDAC=DDCA, 则CE=         .

 

12. 已知如下一元二次方程:

       第1个方程: 3x² + 2x -1=0;

    第2个方程: 5x² + 4x -1=0;

    第3个方程: 7x² + 6x -1=0;

   

    按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程

为                      ；第n(n为正整数)个方程为                      ，

其两个实数根为                    .

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：    

解:

 

 

 

14．解方程：x²＋2x-15＝0.

解:

 

 

 

 

15．计算： .

解:

 

 

 

 

16. 已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DA＝DC，AB=CD，AE=CF.

   求证：BF=DE.

F

A

B

D

C

E

证明:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  

17．已知关于x的一元二次方程x²－2x＋k－3＝0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围. 

解:

 

 

 

 

 

 

 

18. 如图, 在⊙O中, 弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm, 求⊙O的半径.

O

A

B

解:  

 

 

 

 

 

 

 

四、解答题（本题共20分, 每小题5分）

19. 如图, 已知⊙O.

  （1）用尺规作正六边形, 使得⊙O是这个正六边形的外接圆, 并保留作图痕迹;

  （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形.

O

O

解:

 

 

 

 

 

                  

 

20. 列方程解应用题:

       在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，

共有多少名同学参加了这次聚会

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上, OC∥AD交⊙O于E, 点F在CD延长线

    上, 且DBOC+DADF=90°．

   （1）求证：       ;

F

C

A

O

E

B

D

   （2）求证：CD是⊙O的切线.

证明:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.   如图, 已知正方形ABCD, 点E在BC边上, 将△DCE绕某点G旋转得到△CBF, 点F

    恰好在AB边上.

   （1）请画出旋转中心G (保留画图痕迹) , 并连接GF, GE;

   （2） 若正方形的边长为2a, 当CE=       时,   当CE=        时,

F

C

B

E

D

A

       .

  解: （1）画图:

 

 

（2）CE=                       时，  

CE=                      时， .

五、解答题（本题共22分，第23题6分, 第24题8分，第25题8分）

23．已知△DCE的顶点C在DAOB的平分线OP上，CD交OA于F, CE交OB于G.

   （1）如图1，若CD ^ OA, CE^ OB, 则图中有哪些相等的线段, 请直接写出你的结论:

                   ；

   （2）如图2, 若DAOB=120°, DDCE =DAOC, 试判断线段CF与线段CG的数量关系并

        加以证明；

P

   （3）若DAOB=a，当DDCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立, 请

D

O

A

F

C

B

G

E

        直接写出DDCE满足的条件.

                        

解:（1）结论:                       .

 

（2）

 

                                                             图1

      

E

G

B

C

F

A

O

D

P

                                                                 

 

 

 

 

 

 

                                                              图2

 

 

 

 

 

 

 

 

O

A

B

C

P

 

（3）                          .

 

 

 

                                                                 

备用图

24．已知关于x的两个一元二次方程：

方程①: ;   方程②: .

（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化

     简 ；

（3）若方程①和②有一个公共根a, 求代数式 的值．

解:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25．如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上, 以OB为直径的⊙C与AB交于点D， DE与⊙C相切交x轴于点E, 且 OA= cm，∠OAB=30°.

（1）求点B的坐标及直线AB的解析式;

（2）过点B作BG^EC于 F, 交x轴于点G, 求BD的长及点F的坐标;

（3）设点P从点A开始沿A B G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时

从点A开始沿AG匀速向点G移动, 当四边形CBPQ为平行四边形时, 求点Q的移动

D

C

E

B

A

x

O

y

速度.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

海淀区九年级第一学期期中练习

数学试卷答案及评分参考                2011.11

说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分.

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 

1. B      2. A      3. C     4. C     5. D     6. A     7. B      8. B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. a￡3   10. (2, -5)   11. 2   12. 17x² +16x -1=0; (1分)    (2n+1)x² + 2nx -1=0;  (1分)

x₁=-1,  (2分)

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解： 原式=                 …………………………………………4分

         = .                           …………………………………………5分

14．解法一：a=1, b=2, c=-15,

       >0.            …………………………………………2分

                       …………………………………………3分

    ∴x₁ = 3, x₂ = -5.                       …………………………………………5分

解法二：( x -3 )( x+5 )＝0，                    …………………………………………3分

    ∴x₁ = 3, x₂ = -5.                       …………………………………………5分

解法三：x²＋2x＝15，

        x²＋2x+1＝15+1.                     …………………………………………2分

        (x＋1)²＝4².                         …………………………………………3分

        x＋1＝±4.

       ∴x₁ = 3, x₂ = -5.                       …………………………………………5分

15．解： 原式=               …………………………………………4分

= .                           …………………………………………5分

16．证明：∵ AE=FC,

∴ AE+EF=FC+EF.

即AF=CE.      ……………………………1分

在△ABF和△CDE中,

  

∴ △ABF≌△CDE.           ………………………………………………………4分

    ∴ BF＝DE.            ………………………………………………………………5分

17．解：∵ 关于x的一元二次方程x²－2x＋k－3＝0有两个不等的实数根,

   ∴ >0.             …………………………………………3分

    即 16-4k>0.                             …………………………………………4分

 解得 k<4 .                              …………………………………………5分

   ∴ k的取值范围为k<4.

18．解：过点O作OC^AB于C, 连接OA.     ………………1分

∴ AC= AB, OC=3.      ……………………………………3分

∵ AB= 8,

∴ AC=4.

   在Rt△AOC中, 由勾股定理得AO= (cm).

∴ ⊙O的半径为 5cm.                  …………………………………………5分

四、解答题（本题共20分, 每小题5分）

19. （1）此问共2分, 未保留作图痕迹扣1分.

（2）此问共3分，只对一种分割扣1分.

参考答案如右图所示.

    说明: 其中有一个图保留作图痕迹即可.

20. 解：设共有x名同学参加了聚会.           …………………………………………1分

依题意，得 x(x-1)=90.                    …………………………………………2分

解得x₁=-9, x₂=10.                        …………………………………………3分

x=-9不符合实际意义，舍去.               …………………………………………4分

∴ x=10.

答: 共有10人参加了聚会.                …………………………………………5分

21. 解：（1）证明：连接OD.

∵ AD∥OC, 

∴ ∠BOC=∠OAD, ∠COD =∠ODA.  ………………1分

∵ OA=OD, 

∴ ∠OAD=∠ODA.             

∴ ∠BOC=∠COD.               …………………2分

∴        .             ……………………………3分

（2）由（1）∠BOC=∠OAD, ∠OAD=∠ODA.

  ∴ ∠BOC=∠ODA.

    ∵ DBOC+DADF=90°．

∴ ∠ODA +DADF=90°.                   …………………………………………4分

即 ∠ODF=90°.

∵ OD是⊙O的半径,

∴ CD是⊙O的切线.                     …………………………………………5分

22．（1）参考下图: 

 

                                                               ………………2分

 

   （2）a ;               …………………………………………5分

[来源:中§教§网z§z§s§tep]

五、解答题（本题共22分，第23题6分、第24题8分，第25题8分）

23．解:（1）结论: CF=CG, OF=OG.          ……………1分 

   （2）法一：过点C作CM ^ OA于M, CN^ OB于N.

∵ OC平分DAOB,

∴ CM=CN,    DCMF=DCNG=90°,   …………2分

   DAOC=DBOC.  

∵ DAOB=120°，

∴ DAOC=DBOC=60°,

DMCN =360°-DAOB-DCMF-DCNO =60°.

∴ DDCE=DAOC =60°.

∴ DMCN=DFCG.                    …………………………………………3分

∴ DMCN -DFCN =DFCG -DFCN.

即 D1 =D2.                           …………………………………………4分

    由 得△CMF≌△CNG.

    ∴ CF=CG.                             …………………………………………5分

法二：在OB上截取一点H, 使得OH=OC.

∵ OP平分DAOB, DAOB=120°，

∴ D1=D2=60°, DDCE=D1=60°.

∵ OH=OC,

∴ △OCH是等边三角形.

∴ CO=CH, D2=D3 .      

∴ D1=D3 .               ……………………3分

∴ D4+D5=180°.

又 D5+D6=180°,

∴ D4=D6.                            …………………………………………4分

由 得△CFO≌△CGH.

∴ CF=CG.                             …………………………………………5分

   （3） DDCE=180°- a 或OP平分DFCG .    …………………………………………6分

    

24．（1）∵方程①有两个相等实数根,               

③   ④

    ∴  

     由③得k + 2 10,  

     由④得 (k + 2) (k+4) =0.

     ∵ k + 210,

     ∴ k=-4.                                          …………………………1分

     当k=-4时, 方程②为: .     

      解得                    …………………………2分

   （2）由方程②得 D₂= .

法一:  D₂－D₁＝ -(k + 2) (k+4) =3k²＋6k+5 =3(k+1)²＋2>0.

∴ D₂>D₁.                        …………………………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一个有实数根，

 ∴ D ₂>0> D ₁.

 ∴ 此时方程①没有实数根.                       ………………………………4分

 由  

 得 (k + 2) (k+4)<0.                              ………………………………5分

  .

 ∵ (k + 2) (k+4)<0,

 ∴ .                     ………………………………6分

 法二: ∵ D ₂= >0.

  因此无论k为何值时, 方程②总有实数根.       …………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一个方程有实数根，

 ∴ 此时方程①没有实数根.                     …………………………………4分

 下同解法一.

( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;  .  

…………………7分

    ∴ , .

    =2+3=5.                              ……………………………………………8分

                                    

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;    ③  .   ④

    ∴（③－④） 2得     ⑤

由④得      ⑥                  …………………………7分

将⑤、⑥代入原式，得

原式=

=

=5.                               ……………………………………………8分

25. 解:（1）由OA^ OB, ∠OAB=30°, OA= ，可得AB=2OB.

在Rt△AOB中, 由勾股定理得OB=12，AB=24.

∴ B(0, 12).                            …………………………………………1分

∵ OA= ,

∴ A ( ,0).

可得直线AB的解析式为 .                    ……………………2分

（2）法一：

M

G

F

y

O

x

A

B

E

C

D

连接CD, 过F作FM⊥x轴于点M,则CB=CD.

∵ ∠OBA=90°-∠A=60°,

∴ △CBD是等边三角形.

∴ BD=CB= OB=6,    ……………………3分

∠BCD=60°, ∠OCD=120°.

∵ OB是直径，OA^ OB,

∴ OA切⊙C于O.

∵ DE切⊙C于D,

∴ ∠COE=∠CDE=90°, ∠OEC=∠DEC.

∴ ∠OED=360° -∠COE-∠CDE -∠OCD = 60°.

∴ ∠OEC=∠DEC=30°.

∴ CE=2 CO=12.

∴ 在Rt△COE中, 由勾股定理OE= .       ……………………4分

∵ BG^EC于F,

∴ ∠GFE=90°.

∵ ∠GBO +∠BGO=∠OEC +∠BGO ,

∴ ∠GBO=∠OEC =30°.

故可得FC= BC=3, EF=FC+CE=15, 

FM= EF= , ME= FM=            ………………………………………5分

∴ MO=

∴ F( , ).                           ………………………………………6分

法二：连接OD, 过D作DH^ OB于H.

∵ OB是直径，

∴ ∠BDO=90°.

∵∠BOD +∠DOA=∠A +∠DOA,

∴ ∠BOD=∠A =30°.

由（1）OB=12,

∴                 ……………………………………………………3分

在Rt△DOB中, 由勾股定理得 OD= .

 在Rt△DOH中, 由勾股定理得 HD= , OH=9.

 ∴ D( , 9).

可得直线 OD的解析式为

由BG//DO, B(0, 12)，

可得直线BG的解析式为           ……………………………………4分

∵ OB是直径，OA^ OB,

∴ OA切⊙C于O.

∵ DE切⊙C于D,

∴ EO=ED.

∵ ∠DOE=∠BOA -∠BOD =60°,

∴ △ODE是等边三角形.

∴ .           

∴ EA=OA- OE= .

∵ OC=CB=6, OE=EA= ,

∴ C(0, 6), CE//BA.     

∴ 直线CE的解析式为         ………………………………………5分

由   

∴ F( , ).                 ……………………………………………………6分

（3）设点Q移动的速度为vcm/s .

(ⅰ)当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，

PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形, 点Q与点E重合.

∴ （cm/s）.              ………………………………………7分

(ⅱ) 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，

PQ∥BC，PQ=BC, 此时四边形CBPQ为平行四边形.

可得 BG=  从而PB= ,OQ=

∴

∴ （cm/s）. (分母未有理化不扣分)   ………8分

∴ 点Q的速度为 cm/s或  cm/s.