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§5.8 空间距离量算

    距离量算是各种GIS空间分析的定量基础，根据地理实体类型的不同，空间距离量算可分为以下几类：

一、点/点距离计算

  (一)、平面距离与角度：描述二维空间中两点的距离和矢量夹角。(公式)

    设有平面上的两点P₁(x₁,y₁)与P₂(x₂,y₂)，则两点之间的平面距离为：

|P₁P₂|=                  

    矢量P₂到P₁之间的夹角为：

 

  (二)、空间直线距离：描述三维空间中两个点的直线距离。(公式)

    设空间两点为P₁(x₁,y₁,z₁)与P₂(x₂,y₂,z₂)，则两点之间的空间直线距离为：

|P₁P₂|=

  (三)、球面距离：描述地球表面上两点间的球面距离。(公式)

    在航空与航海等情况中，作业范围较大，大圆线则是球面上两点之间的最短距离。给定球面两点A(ψ₁, λ₁)和B(ψ₂,λ₂)，如图5-8-1所示，圆弧长为:

图5-8-1 球面距离

Cos(S)=Sinψ₁*Sinψ₂+Cosψ₁*Cosψ₂*Cos(λ₂-λ₁)

S=ArcCos(Sinψ₁*Sinψ₂+Cosψ₁*Cosψ₂* Cos(λ₂-λ₁))

两点之间的球面距离为：

                       L=R*S*π/180⁰ 

二、点/线距离计算

  (一)、点/线段最短距离：描述点到线段的最短距离。(公式)

    如图5-8-2所示，设线段P₁P₂位于横坐标轴，端点为P₁和P₂。要计算点p到线段P₁P₂的距离。

    通过两端点P₁和P₂，与线段P₁P₂垂直的直线将平面区域划分为A₁、A₂、A₃。则点p到线段l的最短距离的计算方法为：

  

  (二)、点/线段垂直距离：描述点到线段所在直线的距离。(公式)

    设有A、B两点组成的直线l为ax+by+c=0,则点P（X,Y）到直线l的距离计算式为：

                 distance(P,l)=|aX+bY+c|/

  (三)、点/线段平均距离:描述点到线段两个端点距离的平均值。(公式)

    点/线段平均距离d(p,l)等于点p与直线段两个端点p_a和p_b的距离值的平均值。即：

                 d(p,l)=(d(p,p_a)+d(p,p_b))/2

  (四)、点/线段最大距离:描述点到线段两个端点距离中的的最大值。(公式)

    点/线段最大距离d_max(p,l)等于点p与直线段两个端点p_a和p_b的距离中的最大者。即：

                   d_max(p,l)=max(d(p,p_a),d(p,p_b)) 

三、点/面距离计算

  (一)、点/面最短距离：描述点到面的最短距离(公式)

    点p到面A_n的最短距离肯定在面的边界上，因此点面最短距离为：

                d_min(p,A_n)=min{d_min(p,l_i),i=1,……,n}

  (二)、点/面最大距离：描述点到面的最大距离(公式)

    点/面最大距离为：

                d_max(p,A_n)=max{d_max(p,l_i),i=1,……,n}

  (三)、点/面平均距离计算：描述点到面的平均距离(公式)

    点到面的平均距离计算比较复杂，Atsuyuki Okabe，Harvey H.Miller（1996）将多边形划分为三角形，按照下式计算点到面的平均距离。

                              

其中，|T_i|表示三角形的面积。d_avg(p,T_i)表示点p到T_i的平均距离。

    该方法在时间复杂度上非常大，首先必须将多边形剖分为三角形，按照积分的方法计算点到每个三角形的平均距离，然后才能得出点到面的平均距离。为了高效求取点到平面的平均距离，必须在面目标内寻找一点，转换为点/点距离的计算。传统方法将点/面距离近似表示为点到质心的距离。但对于凹多边形，可在多边形内求取一内点，将点到面的距离近似表示为点到该内点的距离。

四、线/线距离计算

  (一)、线/线最短、最大距离：描述两条线之间的最短距离和最大距离(公式)

    相交线之间的最短距离为零，否则，设有两线段l₁和l₂，端点分别为（p_1s,p_1e）与(p_2s,p_2e)。则线/线之间的最短距离和最大距离为(Atsuyuki Okabe,Harvey H.Miller,1996）：

d_min(l₁,l₂)=min{d_min(p_1s,l₂),d_min(p_1e,l₂),d_min(p_2s,l₁),d_min(p_2e,l₁)} 

d_max(l₁,l₂)=max{d_max(p_1s,l₂),d_max(p_1e,l₂),d_max(p_2s,l₁),d_max(p_2e,l₁)}

  (二)、线/线平均距离计算描述两条线之间的平均距离(公式)

假设线段l₁位于X轴，{(x,0)|a≤x≤b}。l₂位于直线Y=kX上，{(X,Y)|c≤X≤d,kc≤Y≤kd}。对于l₂上的任意一点P（X，Y），P到l₁的平均距离

  ，其中

在l₂上，每间隔dX取点，则取样点总数n=(d-c)/dX。从而线段l₂到l₁的平均距离为：

      d_avg(l₂,l₁)=(d_avg(p₁,l₁)+ d_avg(p₂,l₁)+……+ d_avg(p_n,l₁))/n