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第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度） 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11
答：这块正方体木块的棱长是 例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度） 解：把462分解质因数：
462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：这两个数是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度） 解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一块正方形田地，面积是 解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48 正方形的边长是 这块田地的周长是： 48×4=192（米） 答略。 *例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度） 解：3250-10=3240（个） 把3240分解质因数： 3240=23×34×5 接近40的数有36、37、38、39 这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5 =90 答：这个幼儿园有90名小朋友。 *例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度） 解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。 因为，105=3×5×7， 所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个； 含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个； 含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。 所以，105的约数共有4+3+1=8个。 答略。 *例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度） 解：将这九个数分别分解质因数： 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×13 观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。 由以上观察分析可得这三组数分别是： 15、52和77； 22、30和91； 35、39和44。 答略。 *例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度） 解：把5040分解质因数： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是： 7，2×2×2，3×3，2×5 即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。 答略。 *例10 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度） 解：将已知等式的两边分解质因数，得： 5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ） 把上面的等式化简，得： 15×（ ）=4×（ ） 所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。 15×（4）=4×（15） 答略。 *例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度） 解：把84分解质因数： 84=2×2×3×7 除了1和84外，84的约数有： 2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。 因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。 答略。 *例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度） 解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。 14=2×7 143=11×13 30=2×3×5 169=13×13 33=3×11 4445=5×7×127 75=3×5×5 4953=3×13×127 在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。 在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。 按这个要求每一组四个数的积应是： 2×7×11×127×3×3×5×5×13×13 因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。 答略。 *例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度） 解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得： x（x+6）= 315 x（x+6）=3×3×5×7 =（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6） x=15 x+6=21 答：这个长方形的长是 *例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度） 解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得： （x-1）×x×（x+1） =210 =21×10 =3×7×2×5 =5×6×7 比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：这三个连续自然数分别是5、6、7。 *例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度） 解：把1440分解质因数： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20 如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合题中条件。 答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。 *例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度） 解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于： 33×1000+32×10=27090 把27090分解质因数： 27090=43×7×5×32×2 根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得： 43×14×9×5 这个质因式中14就是9与5之和。 所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。 43-9=34（岁） 答：母亲在34岁时生下第二个儿子。 第三十二讲 最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度） 解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：
2×3=6 42和48的最大公约数是6。 答：每个小组最多能有6名学生。 例2 有一张长 解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。 求出150和60的最大公约数：
2×3×5=30 150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。 看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是 所以，这个长方形能分割成正方形： 5×2=10（个） 答：能分割成10个正方形。 例3 有一个长方体的方木，长是 解：
5×5=25 325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。 因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是 可以截成棱长是 3×7×13=273（块） 答：小正方体木块的棱长是 例4 有三根绳子，第一根长 解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。
3×5=15 45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长 因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成 3+4+5=12（段） 答：每段最长 例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度） 解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是： 234-3=231（人）…………………男 146-3=143（人）…………………女 要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。
231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。 因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。 21+13=34（组） 答：每一组应是11人，能分成34组。 例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度） 解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。
2×3×5=30 330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。 330÷30=11（盒）……………红球装11盒 360÷30=12（盒）……………绿球装12盒 11+12=23（盒）……………共装23盒 答略。 例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度） 解：“一个数除40不足2，除68也不足 看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。
2×7=14 答：这个数最大是14。 例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每 解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。 把104、195、234分别分解质因数： 104=23×13 195=3×5×13 234=2×32×13 104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。 1.04÷0.13=8（千克）………第一筐 1.95÷0.13=15（千克）………第二筐 2.34÷0.13=18（千克）………第三筐 8+15+18=41（千克） 答：第一、二、三筐白菜的重量分别是 例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？（适于六年级程度） 解：因为这个“两位数除472，余数是 455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。 答略。 例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是
2×3=6 它们的最大公约数是6，即焊点间距离为 7+4+3+6=20（个） 按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。 20-4=16（个） 答略。 第三十三讲 最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。 例1 用长 解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2×2×3×3×2=72 36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。 72÷36=2 72÷24=3 2×3=6（块） 答：最少需要6块瓷砖。 *例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度） 解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=12 6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。 正方体模型的体积为： 12×12×12=1728（立方厘米） 长方体木块的块数是： 1728÷（6×4×3） =1728÷72 =24（块） 答略。例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？（适于六年级程度） 解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=48 12与16的最小公倍数是48。 48+1=49（人） 49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。 答：这个班有49人。 例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度） 解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
2×2×2×5×3=120 答：至少经过120分钟又在同一时间发车。 例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度） 解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
2×2×5×3=60 4、5、6的最小公倍数是60。 60-2=58（个） 答：这筐鸡蛋最少有58个。 *例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度） 解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。 得一等奖的人数是： 3×（120÷15）=24（人） 得二等奖的人数是： 2×（120÷8）=30（人） 得三等奖的人数是： 4×（120÷12）=40（人） 答略。 *例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度） 解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。 60与9的最小公倍数是180。 180÷60=3（小时） 由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。 答略。 *例8 一个植树小组原计划在 解：这一段地全长 96÷4+1=25（个） 后来，改为每隔 96÷12+1=9（个） 答略。 例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度） 解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。 72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数 72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数 （4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数 72-56=16（份）…………余下工程的份数 16÷4=4（天）……………甲还要做的天数 答略。 *例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度） 解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路 每一份是： 234÷117=2（千米） 静水中船的速度占总份数的： （13+9）÷2=11（份） 船在静水中每小时行： 2×11=22（千米） 答略。 *例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时 解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。 3×5=15（千米） 上山用： 15÷3=5（小时） 下山用： 15÷5=3（小时） 总距离÷总时间=平均速度 （15×2）÷（5+3）=3.75（千米） 答：他上、下山的平均速度是每小时3 *例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度） 解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。 第一道工序至少应分配： 150÷50=3（人） 第二道工序至少应分配： 150÷30=5（人） 第三道工序至少应分配： 150÷25=6（人） 答略。 第三十四讲 解平均数问题的方法 已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。 解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和，总份数是这几个数的份数的和。解答这类问题的公式是； 总数量÷总份数=平均数 例1 气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是 解：本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。这里的总数量是指测得的四个温度的和，即 （13+16+25+18）÷4 =72÷4 =18（摄氏度） 答：这一天的平均气温为 例2 王师傅加工一批零件，前3天加工了148个，后4天加工了167个。王师傅平均每天加工多少个零件？（适于四年级程度） 解：此题的总数量是指前3天和后4天一共加工的零件数，总份数是指前、后加工零件的天数之和。用总数量除以总份数，便求出平均数。 前、后共加工的零件数： 148+167=315（个） 前、后加工零件共用的天数： 3+4=7（天） 平均每天加工的零件数： 315÷7=45（个） 综合算式： （148+167）÷（3+4） ＝315÷7 =45（个） 答：平均每天加工45个零件。 例3 某工程队铺一段自来水管道。前3天每天铺 解：本题的总数量是指工程队前3天、后2天一共铺自来水管道的米数。总份数是指铺自来水管道的总天数。用铺自来水管道的总米数除以铺自来水管道的总天数，就可以求出平均每天铺的米数。 前3天铺的自来水管道米数： 150×3=450（米） 后2天铺的自来水管道米数： 200×2=400（米） 一共铺的自来水管道米数： 450+400=850（米） 一共铺的天数： 3+2=5（天） 平均每天铺的米数： 850÷5=170（米） 综合算式： （150×3+200×2）÷（3+2） ＝（450+400）÷5 ＝850÷5 ＝170（米） 答略。 例4 有两块实验田，第一块有地3.5亩，平均亩产小麦 解：本题的总数量是指两块地小麦的总产量，总份数是指两块地的总亩数，用两块地的总产量除以两块地的总亩数，可求出两块地平均亩产小麦多少千克。 3.5亩共产小麦： 480×3.5=1680（千克） 两块地总产量： 1680+750=2430（千克） 两块地的总亩数： 3.5+1.5=5（亩） 两块地平均亩产小麦： 2430÷5=486（千克） 综合算式： （480×3.5+750）÷（3.5+1.5） ＝（1680+750）÷5 ＝2430÷5 =486（千克） 答略。 例5 东风机器厂，五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元。这个厂五月份平均每天的产值是多少万元？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指五月份的总产值。五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元，也就是下半月比上半月多70万元，所以下半月产值为125.2+70=195.2（万元）。把上半月的产值和下半月的产值相加，求出五月份的总产值。 本题的总份数是指五月份的实际天数。五月份为大月，共有31天。用五月份的总产值除以五月份的实际天数，可求出五月份平均每天的产值是多少万元。 下半月产值： 125.2+70=195.2（万元） 五月份的总产值： 125.2+195.2=320.4（万元） 五月份平均每天的产值： 320.4÷31≈10.3（万元） 综合算式： （125.2+125.2+70）÷31 =320.4÷31 ≈10.3（万元） 答略。 例6 崇光轴承厂六月上旬平均每天生产轴承527只，中旬生产5580只，下旬生产5890只。这个月平均每天生产轴承多少只？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是指六月份生产轴承的总只数，总份数是指六月份生产轴承的总天数。用六月份生产轴承的总只数除以六月份的总天数，可求出六月份平均每天生产轴承数。 六月上旬生产轴承的只数： 527×10=5270（只） 六月中、下旬共生产轴承： 5580+5890=11470(只） 六月份共生产轴承： 5270+11470=16740（只） 六月份平均每天生产轴承： 16740÷30=558（只） 综合算式： （527×10+5580+5890）÷30 =（5270+5580+5890）÷30 =16740÷30 =558（只） 答略。 例7 糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖 解：本题中的总数量是指三种糖的总钱数；总份数是指三种糖的总重量。总钱数除以总重量，可求出每千克混合糖应卖多少钱。 三种糖总的钱数： 4.8×5+3.6×10+2.4×10 =24+36+24 =84（元） 三种糖的总的重量： 5+10+10=25（千克） 每千克混合糖应卖的价钱： 84÷25=3.36（元） 综合算式： （4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10） ＝84÷25 ＝3.36（元） 答略。 例8 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶了2.5小时，每小时行驶 解：本题中的总数量是由甲地到乙地的总路程： 42×2.5+30×1.5+45×2 =105+45+90 =240（千米） 本题中的总份数是由甲地到乙地所用的时间： 2.5+1.5+2=6（小时） 这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是： 240÷6=40（千米/小时） 综合算式： （42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2） ＝240÷6 ＝40（千米/小时） 答略。 *例9 学校发动学生积肥支援农业，三年级85人积肥3640千克，四年级92人比三年级多积肥475千克，五年级的人数比四年级多3人，积肥数比三年级多845千克。三个年级的学生平均每人积肥多少千克？（适于四年级程度） 解：本题中的总数量是三个年级积肥的总重量。已知三年级积肥 四年级积肥： 3640+475=4115（千克） 五年级积肥： 3640+845=4485（千克） 三个年级共积肥： 3640+4115+4485=12240（千克） 本题中的总份数就是三个年级学生的总人数。三年级学生人数是85人已知，四年级学生人数是92人已知，五年级学生人数是： 92+3=95（人） 三个年级学生的总人数是： 85+92+95=272（人） 三个年级的学生平均每人积肥： 12240÷272=45（千克） 综合算式： （3640×3+475+845）÷（85+92×2+3） =12240÷272 =45（千克） 答略。 例10 山上某镇离山下县城有 解：本题中的总数量是从某镇到县城往返一次的总路程： 60×2=120（千米） 总份数是往返一次用的时间： 60÷20+6O÷15 =3+4 =7（小时） 此人往返一次平均每小时行的路程是： 120÷7≈17.14（千米） 综合算式： 60×2÷（60÷20+60÷15） ＝120÷(3+4） ＝120÷7 ≈17.14（千米） 答略。 *例11 有两块棉田，平均亩产皮棉91.5千克。已知一块田是3亩，平均亩产皮棉104千克。另一块田是5亩，求这块田平均亩产皮棉多少千克？（适于四年级程度） 解：两块棉田皮棉的总产量是： 91.5×（3+5）=732（千克） 3亩的那块棉田皮棉的产量是： 104×3=312（千克） 另一块棉田皮棉的平均亩产量是： （732-312）÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 综合算式： [91.5×（3+5）-104×3］÷5 ＝[732-312]÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 答略。 *例12 王伯伯钓鱼，前4天共钓了36条，后6天平均每天比前4天多钓了5条。问王伯伯平均每天钓鱼多少条？（适于四年级程度） 解（1）：题中前4天共钓36条已知，后6天共钓鱼： （36÷4+5）×6 =14×6 =84（条） 一共钓鱼的天数是： 4+6=10（天） 10天共钓鱼： 36+84=120（条） 平均每天钓鱼： 120÷10=12（条） 综合算式： [36+（36÷4+5）×6]÷（4+6） =[36+84]÷10 =120÷10 =12（条） 答略。 解（2）：这道题除用一般方法解之外，还可将后6天多钓的鱼按10天平均后，再加上原来4天的平均钓鱼数。 （5×6）÷（4+6）+36÷4 =3+9 =12（条） 答：王伯伯平均每天钓鱼12条。 例13 一个小朋友爬山，上山速度为每小时2千米，到达山顶后立即按原路下山，下山速度为每小时6千米。这个小朋友上、下山的平均速度是多少？（适于四年级程度） 解：本题的总数量是上山、下山的总路程，题中没有说总路程是多少。假设上山的路程是 本题的总份数是上山、下山总共用的时间。
上山、下山总共用的时间是：
所以，上山、下山的平均速度是：
答略。 例14 某厂一、二月份的平均产值是1.2万元，三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元。这个工厂三月份的产值是多少万元？（适于四年级程度） 解：此题数量关系比较隐蔽，用“总数量÷总份数”的方法做不出来。作图（34-1）。从图34-1可以看出，一、二月份的平均产值都是1.2万元。题中说“三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元”，那么三月份的产值一定比一、二月份的平均产值要高，所以图34-1中表示三月份产值的线段比表示一、二月份平均产值的线段长。
第一季度的平均产值是多少万元呢？ 我们用“移多补少”的方法，把图34-1中三月份的0.4万元平均分成2份，分别加到一、二月份的产值上，这样就得到第一季度的平均产值了。 1.2+0.4÷2=1.4（万元） 因为三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元，所以三月份的产值是： 1.4+0.4=1.8（万元） 综合算式： 1.2+0.4÷2+0.4 =1.4+0.4 =1.8（万元） 答略。 *例15 苹果 解：苹果的单价是每
因为是把每一筐
答：混合后是赔钱，照标准价差了1元钱。 *例16 三块小麦实验田的平均亩产量是267.5千克。已知第一块地是3亩，平均亩产量是275千克；第二块是5亩，平均亩产量是285千克；而第三块地的平均亩产量只有240千克。第三块地是多少亩？（适于四年级程度） 解：第三块地的亩产量比总平均亩产量低： 267.5-240=27.5（千克） 每亩低 （275-267.5）×3+（285-267.5）×5 =7.5×3+17.5×5 =22.5+87.5 =110（千克） 110千克中含有多少个27.5千克，第三块地就是多少亩。 110÷27.5=4（亩） 综合算式： [（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240） =[22.5+87.5]÷27.5 =110÷27.5 =4（亩） 答：第三块地是4亩。 第三十五讲 解行程问题的方法 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。 行程问题的基本数量关系是： 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。 （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 1.求路程 （1）求两地间的距离 例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行 解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。 56×4=224（千米） 63×4=252（千米） 224+252=476（千米） 综合算式： 56×4+63×4 =224+252 =476（千米） 答略。 例2 两列火车同时从相距 解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离 480-（40+42）×5 =480-82×5 =480-410 =70（千米） 答：5小时后两列火车相距 例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行 解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是： （5+4）×6=54（千米） 所以，A、B两地相距的路程是： 54÷3=18（千米） 答略。 例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶 解：两车相遇时，两车的路程差是 （60+55）×[20÷（60-55）] =115×[20÷5] =460（千米） 答略。 *例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走 解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.5×
（6+5）×[1.5×2÷（6-5）] =11×[1.5×2÷1] =11×3 =33（千米） 答略。
2）求各行多少 例1 两地相距 解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是： 37.5÷（3.5+4）=5（小时） 甲行的路程是： 3.5×5=17.5（千米） 乙行的路程是： 4×5=20（千米） 答略。 例2 甲、乙二人从相距 解：到甲、乙二人相遇所用的时间是： 40÷（4+6）=4（小时） 由于他们又都走了1小时，因此两人都走了： 4+1=5（小时） 甲走的路程是： 4×5=20（千米） 乙走的路程是： 6×5=30（千米） 答略。 例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行 解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。 从出发到相遇所用时间是： 5.2÷（48.65-47.35） =5.2÷1.3 =4（小时） 第一列火车行驶的路程是： 48.65×4=194.6（千米） 第二列火车行驶的路程是： 47.35×4=189.4（千米） 答略。 *例4 东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快 解：两列火车的速度和是： 564÷6=94（千米/小时） 第一列火车每小时行： （94+2）÷2=48（千米） 第二列火车每小时行： 48-2=46（千米） 相遇时，第一列火车行： 48×6=288（千米） 第二列火车行： 46×6=276（千米） 答略。 2.求相遇时间 例1 两个城市之间的路程是 解：已知两个城市之间的路程是 500÷（55+45） =500÷100 =5（小时） 答略。 例2 两地之间的路程是
答略。 例3 在一次战役中，敌我双方原来相距 解：此题已给出总距离是 （62.75-11）÷（6.5+5） =51.75÷11.5 =4.5（小时） 答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。 例4 甲、乙两地相距 解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。 200÷（200÷5+200÷4） =200÷（40+50） =200÷90 ≈2.2（小时） 答：两车大约经过2.2小时相遇。 例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是 解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。 （180+210）÷（9+6） =390÷15 =26（秒） 答略。 3.求速度 例1 甲、乙两个车站相距 解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行： 550÷5-60 =110-60 =50（千米） 答略。 例 解：客车每小时行： （380÷4-5）÷2 =（95-5）÷2 =45（千米） 货车每小时行： 45+5=50（千米） 答略。 例3 甲、乙两个城市相距 解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。 50-（980÷10-50） =50-（98-50） =50-48 =2（千米） 答略。 例4 甲、乙两地相距
两车的速度和是： 486÷6=81（千米/小时） 快车每小时行：
慢车每小时行：
答略。 例5 两辆汽车同时从相距 解：如果两地间的距离减少
答略。 例6 甲、乙两人从相距 解：两人相遇时，甲共走： 0.8+2=2.8（小时） 甲走的路程是： 5×2.8=14（千米） 乙在2小时内行的路程是： 40-14=26（千米） 所以，乙每小时行： 26÷2=13（千米） 综合算式： [40-5×（0.8+2）]÷2 =[40-5×2.8]÷2 =[40-14]÷2 =26÷2 =13（千米） 答略。 例7 甲、乙二人从相距 解：从相距的 这时，原题就改变成“两地相隔 由此可知，二人的速度和是： 34÷2=17（千米/小时） 乙每小时行驶的路程是： 17-5=12（千米） 综合算式： （ =34÷2-5 =17-5 =12（千米） 答略。 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 *例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距 解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是： 10-5=5（千米） 再看，相差的路程 9÷5=1.8（小时） 综合算式： 9÷（10-5） =9÷5 =1.8（小时） 答略。 *例2 甲、乙二人在相距 解：甲每小时行： 5×1.2=6（千米） 甲每小时能追上乙： 6-5=1（千米） 相差的路程 6÷1=6（小时） 答：甲6小时才能追上乙。 *例3 甲、乙二人围绕一条长 解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的 400÷（350-250） =400÷100 =4（分钟） 答略。 *例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面 解：敌我两军行进的速度差是： 8.5-5.5=3（千米/小时） 我军追上敌军用的时间是： 6÷3=2（小时） 从开始追击到全歼敌军，共用的时间是： 2+0.5=2.5（小时） 综合算式： 60÷（8.5-5.5）+0.5 =6÷3+0.5 =2.5（小时） 答略。 *例5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行 解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地 根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。 （3+3÷2）÷（10-5） =4.5÷5 =0.9（小时） 答略。 （三）相离问题 相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。 解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。 例1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走 解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。因此，得： 960÷（85+75） =960÷160 =6（分钟） 答略。 例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行 解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。 （6+7）×8 =13×8 =104（千米） 答略。 *例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？（适于高年级程度） 解：由二人6小时共行 张每小时行： （69÷6+1.5）÷2 =（11.5+1.5）÷2 =13÷2 =6.5（千米） 王每小时行： 6.5-1.5=5（千米） 出发地距东镇的距离是： 6.5×6=39（千米） 答：张每小时行 第三十六讲 解工程问题的方法 工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是： 工作效率×工作时间=工作量 工作量÷工作时间=工作效率 工作量÷工作效率=工作时间 根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。 由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。 （一）工作总量是具体数量的工程问题 例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度） 解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。 甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率） 1200÷15=80（吨） 乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率） 1200÷10=120（吨） 两个车队一天共运的吨数： 80+120=200（吨） 两个车队合运需用的天数： 1200÷200=6（天） 综合算式： 1200÷（1200÷15+1200÷10） =1200÷（80+120） =1200÷200 =6（天） 答略。 *例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度） 解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。 李师傅1小时可完成： 350÷14=25（个） 由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成： 350÷10=35（个） 小王单独工作一小时可完成： 35-25=10（个） 小王单独做这批零件需要： 350÷10=35（小时） 综合算式： 350÷（350÷10-350÷14） =350÷（35-25 =350÷10 =35（小时） 答略。 *例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度） 解：两组共同生产的总任务是： 2191-160×2+1=1872（打） 两组共同生产的时间是： 1872÷（160+128）=6.5（小时） 乙组生产的时间是： 6.5+2=8.5（小时） 综合算式： （2191-160×2+1）÷（160+128）+2 =1872÷288+2 =6.5+2 =8.5（小时） 答略。
一同生产用了多少小时？（适于六年级程度） 解：两台机器一同生产的个数是： 108-45=63（个） 第一台机器每小时生产：
第二台机器每小时生产：
两台机器一同生产用的时间是： 63÷（4+5）=7（小时） 综合算式：
答略。 （二）工作总量不是具体数量的工程问题 例1 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度） 解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成
答略。 例2 一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30
解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工
答略。 例3 一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度） 解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合
需要多长的时间。
=7.5（天） 答：乙单独做7.5天可以完成。 例4 有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？（适于六年级程度） 解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1
的：
答略。 例5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务？（适于六年级程度） 解：甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务，
=1（天） 答略。
所以，乙单独做可以完成的时间是：
综合算式：
=6（天） 答略。
以完成？（适于六年级程度） 解：甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的：
乙队单独做完成的时间是：
答略。 *例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。这批零件有多少个？（适于六年级程度） 解：解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。
完成任务时甲比乙多做：
综合算式：
答略。 *例9 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了14天。乙请假几天？（适于六年级程度） 解：根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的：
乙做了全工程的：
乙请假的天数是： 14-9=5（天） 综合算式：
答略。 *例10 一项工程，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？（适于六年级程度） 解：设这项工程为1，则乙队每天做：
两队合做时每天做：
甲队每天做：
两队合做5天后剩下的工作量是：
甲队做剩的工作还需要的时间是：
综合算式：
答略。 （三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题 例1 甲、乙两地相距 一般解法：（适于四年级程度）
用解工程问题的方法解：（适于六年级程度） 把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的
例2 某学校食堂购进一车煤，原计划烧60天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来少烧 *一般解法：（适于四年级程度） 10×60÷（70-60）×70 =4200（千克） 答：这车煤重 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）
答略。
例2 一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。甲队先做7天，然后由甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成？（适于六年级程度） 解：把这项工程的总工作量看做16×20份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。 甲队先做7天，完成的工作量是： 20×7=140（份） 甲队做7天后，剩下的工作量是： 16×20-140=180（份） 甲、乙两队合做，一天可以完成： 20+16=36（份） 甲、乙两队合做还需要的天数是： 180÷36=5（天） 答略。 例3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管12分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满？（适于六年级程度） 解：把注满全池水所用的时间看作10×12份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出10份的水量，进出水相差的水量是： 12-10=2（份） 甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是： 10×12÷2=60（分钟） 答：若两管齐开60分钟可将空池注满。 （五）根据时间差解工程问题 例1 师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。这批零件有多少个？（适于六年级程度） 解：从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1（小时）。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。 所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数： 30×5=150（个） 答略。 例2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成？（适于六年级程度） 解：从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5（天），这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。 那么，甲15天的工作量，乙要工作： 10÷5×15=30（天） 答：乙单独打需要30天完成。 例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站？（适于六年级程度） 解：从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8（小时）。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间？也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。 12÷8×12=18（小时） 答略。 第三十七讲、解流水问题的方法 流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速 （1） 逆水速度=船速-水速 （2） 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。 公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。 公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得： 水速=顺水速度-船速 （3） 船速=顺水速度-水速 （4） 由公式（2）可得： 水速=船速-逆水速度 （5） 船速=逆水速度+水速 （6） 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。 另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 （7） 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 （8） *例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时 解：此船的顺水速度是： 25÷5=5（千米/小时） 因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。 5-1=4（千米/小时） 综合算式： 25÷5-1=4（千米/小时） 答：此船在静水中每小时行 例2 一只渔船在静水中每小时航行 解：此船在逆水中的速度是： 12÷4=3（千米/小时） 因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即： 4-3=1（千米/小时） 答：水流速度是每小时1千米。 *例3 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年级程度） 解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是： （20+12）÷2=16（千米/小时） 因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是： （20-12）÷2=4（千米/小时） 答略。 *例4 某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时 解：此船逆水航行的速度是： 18-2=16（千米/小时） 甲乙两地的路程是： 16×15=240（千米） 此船顺水航行的速度是： 18+2=20（千米/小时） 此船从乙地回到甲地需要的时间是： 240÷20=12（小时） 答略。 *例5 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时 解：此船顺水的速度是： 15+3=18（千米/小时） 甲乙两港之间的路程是： 18×8=144（千米） 此船逆水航行的速度是： 15-3=12（千米/小时） 此船从乙港返回甲港需要的时间是： 144÷12=12（小时） 综合算式： （15+3）×8÷（15-3） =144÷12 =12（小时） 答略。 *例6 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时 解：顺水而行的时间是： 144÷（20+4）=6（小时） 逆水而行的时间是： 144÷（20-4）=9（小时） 答略。 *例7 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时 解：此船顺流而下的速度是： 260÷6.5=40（千米/小时） 此船在静水中的速度是： 40-8=32（千米/小时） 此船沿岸边逆水而行的速度是： 32-6=26（千米/小时） 此船沿岸边返回原地需要的时间是： 260÷26=10（小时） 综合算式： 260÷（260÷6. =260÷（ =260÷26 =10（小时） 答略。 *例8 一只船在水流速度是 解：此船逆水航行的速度是： 120000÷24=5000（米/小时） 此船在静水中航行的速度是： 5000+2500=7500（米/小时） 此船顺水航行的速度是： 7500+2500=10000（米/小时） 顺水航行 150000÷10000=15（小时） 综合算式： 150000÷（120000÷24+2500×2） =150000÷（5000+5000） =150000÷10000 =15（小时） 答略。 *例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度） 解：此船顺水航行的速度是： 208÷8=26（千米/小时） 此船逆水航行的速度是： 208÷13=16（千米/小时） 由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是： （26+16）÷2=21（千米/小时） 由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是： （26-16）÷2=5（千米/小时） 答略。 *例 解：甲船逆水航行的速度是： 180÷18=10（千米/小时） 甲船顺水航行的速度是： 180÷10=18（千米/小时） 根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度： （18-10）÷2=4（千米/小时） 乙船逆水航行的速度是： 180÷15=12（千米/小时） 乙船顺水航行的速度是： 12+4×2=20（千米/小时） 乙船顺水行全程要用的时间是： 180÷20=9（小时） 综合算式： 180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3] =180÷[12+（18-10）÷2×2] =180÷[12+8] =180÷20 =9（小时） 答略。 第三十八讲 解植树问题的方法 植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。 沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。 解答植树问题的基本方法是： （1）沿路旁植树 棵数=全长÷间隔+1 间隔=全长÷（棵数-1） 全长=间隔×（棵数-1） （2）沿周长植树 棵数=全长÷间隔 间隔=全长÷棵数 全长=间隔×棵数 （一）沿路旁植树 例1 有一段路长 解：根据棵数=全长÷间隔+1的关系，可得： 720÷3+1 =240+1 =241（棵） 答：可以种241棵树。 例2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是 解：根据全长=间隔×（棵数-1）的关系，可得： 1200×（14-1） =1200×13 =15600（米） 答：这条马路长 解：根据“间隔=全长÷（棵数-1）”的关系，可得： 612÷（154-1） =612÷153 =4（米） 答：每相邻两棵树间的距离是 例4 两座楼房之间相距 解：因为在 60÷（9+1） =60÷10 =6（米） 答：每两棵树的间隔是 *例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离 解：题中所埋电线杆的根数比段数多1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。 50×（301-1）÷（201-1） =50×300÷200 =75（米） 答：实际上每两根电线杆之间的距离是 （二）沿周长植树 例1 在周长是 解：根据棵数=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数： 480÷12=40（棵） 答：一共可以栽40棵树。 例2 一个圆形湖的周长是 解： 945÷270=3.5（米） 答：相邻两棵树间的距离是 例3 一块长方形场地，长 解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。 （300+300-50）×2÷10 =550×2÷10 =1100÷10 =110（棵） 答：可以栽树110棵。 *例4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是 解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数： 120÷6=20（株） 由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花： 2×20=40（株） 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为： 6÷3=2（米） 答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距 例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为 解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是： 2×314=628（米） 这个圆的直径是： 628÷3.14=200（米） 由于树是植在距离岸边均为 200-3×2=194（米） 圆形水池的周长是： 194×3.14=609.16（米） 综合算式： （2×314÷3.14-3×2）×3.14 =（200-6）×3.14 =194×3.14 =609.16（米） 答略。 第三十九讲 解时钟问题的方法 研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分
出题中所要求的时间。 解题规律： （1）求两针成直线所需要的时间，有：
（3）求两针重合所需要的时间，有：
求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。 （一）求两针成直线所需要的时间 *例1 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度） 解：在7点钟的时候，分针在时针后面（图39-1）：
5×7=35（格） 当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针： 35-30=5（格）
综合算式：
解：4点钟时，分针在时针的后面（图39-2）：
5×4=20（格） 当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共要追上： 20+30=50（格）
综合算式：
（二）求两针成直角所需要的时间 *例1 在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：分针与时针成直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。 （1）6点钟时，分针在时针后面（图39-3）：
5×6=30（格） 因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是： 30-15=15（格）
综合算式：
（2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针不仅追上时针，而且要超过时针： 5×6+15=45（格）
综合算式：
*例2 在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：1点钟时，分针在时针后面： 5×1=5（格） 当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时针的格数是： 5+15=20（格）
综合算式：
当分针走到时针前面45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时间是：
*例3 在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度） 解：在11点钟时，分针在时针后面： 5×11=55（格） 第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是： 55-45=10（格）
综合算式：
（三）求两针重合所需要的时间 在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。 *例1 3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度） 解：在3点钟时，分针在时针后面： 5×3=15（格）
*例2在4点与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度） 解：在4点钟时，分针在时针后面5×4格，分针只要追上时针4×5格，两针就重。
“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。 时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度
垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。 例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面
例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？ 分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：
（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需 （2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需 例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？ 分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后面5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：
（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷ （2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30 例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？ 分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为 例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。 例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？ 分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。 例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的
第四十讲 几何变换法 利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。 （一）添辅助线法 有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。 *例1 求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度）
解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是 25÷2=12.5（平方米） 所以，阴影部分的面积是： 12.5×3=37.5（平方米） 答略。 *例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度） 解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。
小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。 因为它的高是 EC=10÷5=2（厘米） 答：EC长 *例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度） 解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。 如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。
在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是： 7×7÷2=24.5（平方厘米） 在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE= 3×3÷2=4.5（平方厘米） 所以，四边形ABCD的面积是： 24.5-4.5=20（平方厘米） 答略。 （二）分割法 分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。 例1 计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度） 解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。
［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8 =6+32 =38（平方厘米） 答：图形的面积是38平方厘米。 例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB= 解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。 三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。
60×（40÷2）÷2×2 =60×20 =1200（平方厘米） 答：阴影部分的面积是1200平方厘米。 *例3 求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。
（三）割补法 在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。 例1 求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。
答：阴影部分的面积是45平方厘米。 *例2 求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）
16×16×2=512（平方米） 答：阴影部分的面积是 *例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度） 解：经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。
答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。 （四）平移法 在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。 例1 计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移
5×5=25（平方厘米） 答略。 *例2 求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）
解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。
（5+4）×2+2×2 =9×2+4 =22（厘米） 答略。 *例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）
解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移 S形水泥路的面积是： 30×2=60（平方米） 答略。 （五）旋转法 将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。 *例1 计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）
图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。
答略。 例2 图40-29中，小圆的半径是
解：把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。 很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。
答略。 *例3 计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度） 解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。
此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径
答略。 （六）扩倍法 扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。 *例1 求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度）
解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是： （30+40）×30÷2=1050（平方厘米） 答略。 例2 计算图40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度） 解：在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。
3×10×（3+2）÷2 =150÷2 =75（立方分米） 答略。 （七）缩倍法 缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。 例1 图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）
解：将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是 从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。 3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2 =15-4. =4.5（平方厘米） 把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。 4.5×2=9（平方厘米） 答略。 例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是 先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。
答略。 （八）剪拼法 有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。 *例1 计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。
很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。
图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。
图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。
答略。 *例2 图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：作图40-46，并把图40-46中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的4个小正方形。如果画出两个（1），就可以剪出8个（2）那样的小正方形。
用（2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中（1）～（5）中的任何一个图形。 这时可清楚地看出，图40-45中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是： 2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米） 同理，用8个图40-46中（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。 图40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中（1）的阴影面积的2倍： （2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米） 答略。 |
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