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浅谈对高中数学新教材中应用问题的认识 传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视了数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。教材的编写注重了科学性，更注重了生活性，由生活中的实例引出问题，最终解决问题，充分展现了知识的发生发展过程。使学生在提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题的过程中理解掌握知识，从而准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题。 一、教材中的应用问题 1、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题以突出知识的实际背景。 如在必修4中《三角函数》由钱塘江的潮汐现象引进周期想象。必修5中《不等式》中由芭蕾舞演员用脚趾支撑，增加下半身的长度来引入不等关系。《平面向量》以力、速度、位移，引入向量的概念。以拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合，再拉伸、再捏合，反复过程引入等比数列。这些都来源于生活，从而激发了学生学习和探索的欲望，既用通俗易懂的语言陈述问题，又附以插图，增加了教材内容的直观性、形象性和趣味性。这些实例的引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。 2、例题中的应用问题 例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的五册必修内容中共有50多个例题是涉及数学应用的。从远古的金字塔、韩信点兵到“神五上天”，从人的衣、食、住、行到健身娱乐，有抗洪、环保、地震到机器人，通货膨胀等。它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。 3、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量 为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有40多题，约占总数的13%；习题有120多题，占总数的18%；复习题有50多题，占总数的14%。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。 4、阅读材料与小资料 中共安排了23个，其中： （1）历史故事方面的，如《康托与集合论》、《物不知数》、《笛卡尔与坐标系》、《历史上数学计算方面的三大发明》、《统计小史》。 （2）介绍数学应用方面，《选举的预测》、《生活中的映射》、《蜜蜂是对的》、《标准差的用途》、《抽签有先后，对各人公平吗？》。（3）扩充知识方面，《数学与音乐》、《函数与中学数学》、《人的潜能》等。问题生动有趣，贴近学生生活，扩大了学生的阅读面。 5、新增了“动手实践”和“研究性课题”。 为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了10次动手实践。其中动手实践有“对数的运算性质”，“模拟圆周率”，“测量人的身高”，“调查人的第一次结婚时间”，“动手掷硬币模拟概率”，“测量人的反应时间”等。 研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材安排了7个研究性课题：“个人所得税的计算”、“通俗歌曲流行趋势”、“追及问题”、“确定线段n等分点的算法”，“打包问题”“同种商品不同型号价格问题”，“ 二、高中数学应用题问题的教学实践 高中学生年龄一般在15—17周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维正在从“经验型”向“理论型”转化，逐步摆脱具体形象和直接经验的限制，可以借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，逐步能在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析思考，逐渐抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的教学。 1、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练 为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。 教学应用题的常规思路是：阅读题意，将实际问题抽象、概括、转化为数学问题，解决数学问题，回答实际问题。具体可按以下程序进行： （1）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、仔细的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。 （2）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。 （3）求解数学问题，得出数学结论 （4）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。 例：九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24h，但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？ 这是一道数列问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求： ——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？是否有不明白的词语及专业术语。 2、引导学生将应用问题进行归类 为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②行程问题③合力的问题④排列组合问题⑤最值问题⑥概率问题等⑦测量与计算问题。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以，通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型。 3、针对不同内容采取不同教法 高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。 （1）实际引例，创设问题情景，增加探索兴趣 对图文并茂的实际引例，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作思维碰撞，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。 （2）重视例题的示范作用 例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题，解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。 （3）指导练习，巩固方法 充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，应用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。 （4）课外阅读，补充提高 对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。 （5）动手实践，重视实际操作与团结协作 完成动手实践，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生的探索精神，培养学生的实践能力，进一步培养学生应用数学的意识和创新能力。但实际问题的因素是错综复杂的，这就要求学生在调查、分析、研究的基础上，抓住本质，通过筛选，去粗取精，结合数学知识，进行建模解决实际问题。如《对数》中的例题，通过列表讨论了三组数据的等量关系， （6）研究性课题，重视自主探究 “研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。 三、对高中数学应用问题的教学思考 1、在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。 一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，高一的概率统计等，如高二运用不等式的性质计算最值、线性规划等。应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。 2、学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象 数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践，能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关，处处联系的。 3、关于应用问题中的算法问题 新教材要求用科学计算器，处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，我认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。 |
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