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2012高考复习专题限时集训:导数在研究函数性质中的应用及定积分

2012-02-01  中华秘方...
2012高考复习专题限时集训:
导数在研究函数性质中的应用及定积分
 
文/网络     编辑制作/荷花小女子
 

 

 
 

限时集训()A

[4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分]

(时间:10分钟+35分钟)

                   

1.函数yx·ex的图象在点(1e)处的切线方程为(  ) 

Ayex  

Byx1e

Cy=-2ex3e  

Dy2exe

2已知函数f(x)的图象如图41所示,f(x)f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是(  )

41

A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)

B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)

C0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)

D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)

3.设f(x),x∈(1,e](1)(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为(  )

A.3(4)  B.4(5)

C.5(6)  D.6(7)

4.若函数f(x)3(1)x3f(1)x2x5,则f(1)的值为(  )

A.-2  B2

C.-3(2)  D.3(2)

1.曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(  )

A.-9  B.-3

C9  D15

2.若曲线f(x)xsinx1x2(π)处的切线与直线ax2y10互相垂直,则实数a等于(  )

A.-2  B.-1  C1  D2

3.已知函数f(x)ex(cosx),则函数f(x)的图象在点(0f(0))处切线方程为(  ) 

Axy10  

Bxy10

Ccosx·xy10  

Dex·xcosx·y10

4.抛物线x22y和直线yx4所围成的封闭图形的面积是(  )

A16  B18  C20  D22

5.已知f(x)x3ax22x是奇函数,则其图象在点(1f(1))处的切线方程为________

6.x(1)dx________.

7.已知函数f(x)x2alnx(aR)

(1)a2,求证:f(x)(1,+)上是增函数;

(2)f(x)[1e]上的最小值.

8.已知函数f(x)(x2ax2)ex(xaR)

(1)a0时,求函数f(x)的图象在点A(1f(1))处的切线方程;

(2)若函数yf(x)为单调函数,求实数a的取值范围;

(3)a=-2(5)时,求函数f(x)的极小值.

限时集训()B

[4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分]

(时间:10分钟+35分钟)

                   

1.过点(0,1)且与曲线yx-1(x+1)在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(  )

A2xy10  B2xy10

Cx2y20  Dx2y20

2.已知直线yx2与函数yln(exa)的图象相切,e为自然对数的底数,则a(  )

A.2(e)  B.-2(e)  C2e  D.-2e

3.若a>0b>0,且函数f(x)4x3ax22bx2x1处有极值,则ab的最大值等于(  )

A2  B3  C6  D9

4.如图42,设T是直线x=-1x2与函数yx2的图象在x轴上方围成的直角梯形区域,S是在T上函数yx2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为(  )

42

A.5(1)  B.5(2)  C.3(1)  D.2(1)

12(π)0(xsinx)dx等于(  )

A.4(π2)1  B.8(π2)1

C.8(π2)  D.8(π2)1

2.函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图43所示,则x1(2)x2(2)等于(  )

43

A.9(8)  B.9(10)  

C.9(16)  D.5(4)

3.函数f(x)eax(x>0)(2x3+3x2+1(x≤0),)[2,2]上的最大值为2,则a的范围是(  )

A.ln2,+∞(1)  B.ln2(1)

C(0]  D.ln2(1)

4.已知函数f(x)x3ax2bxc,若f(x)在区间(1,0)上单调递减,则a2b2的取值范围是(  )

A.,+∞(9)  B.4(9)

C.,+∞(9)  D.5(9)

5.已知实数ax(2)7的展开式中x2的系数,则1(-32a)x(1)dx________.

6.设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数,且图象关于点,1(1)对称,则f(1)f(2)f(22)f(2100)________.

 

7.已知函数f(x)x(a)ex(x>0),其中e为自然对数的底数.

(1)a2时,求曲线yf(x)(1f(1))处的切线与坐标轴围成的面积;

(2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为e5,求a的值.

8.已知函数f(x)alnxx21.

(1)若曲线yf(x)x1处的切线方程为4xyb0,求实数ab的值;

(2)求证:f(x)0对任意x>0恒成立的充要条件是 a2

(3)a<0,且对任意x1x2(0,+),都|f(x1)f(x2)||x1x2|,求a的取值范围.

限时集训()A

【基础演练】

1D 【解析】 因为yexxex,所以在点x1处函数的导数值是y|x1ee2e,所以在点(1e)处函数图象的切线方程是ye2e(x1),即y2exe.

2B 【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的,函数在[2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率.所以0<f(3)<3-2(f(3)-f(2))<f(2),即0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)

3A 【解析】 f(x)dxf(x)dxf(x)dxx2dxx(1)dx3(1)x3|0(1)lnx|1(e)3(1)13(4).

4D 【解析】 由已知得f(x)x22f(1)x1?f(1)12f(1)1?f(1)3(2).

【提升训练】

1C 【解析】 因为y3x2,所以ky|x13,所以过点P(1,12)的切线方程为y123(x1),即y3x9,所以与y轴交点的纵坐标为9.

2D 【解析】 f(x)sinxxcosxf2(π)1,即曲线f(x)xsinx1在点x2(π)处的切线的斜率是1,而直线ax2y10的斜率是-2(a),所以2(a)×1=-1,解得a2.

3B 【解析】 由于f(x)e2x(-sinx·ex-cosx·ex),所以f(0)=-1,又f(0)1,所以函数f(x)的图象在点(0f(0))处切线方程为y1=-(x0),即xy10.

4B 【解析】 根据x22y以及yx4,得x22x80,解得x=-24,故所求的面积S2x2(1)dxx3(1)-2(4)246(64)66(8)18.

5xy20 【解析】 函数f(x)是奇函数可得a0,此时f(x)x32x,所以f(x)3x22,故所求切线的斜率是1,切点坐标是(1,-1),切线方程是y1x1,即xy20.

6ln2(3) 【解析】 x(1)dxln|x||2(3)ln3ln2ln2(3).

7【解答】 (1)a2时,f(x)x22lnx

x(1,+)时,f(x)x(2(x2-1))>0

所以f(x)(1,+)上是增函数.

(2)f(x)x(2x2-a)(x>0)

x[1e]2x2a[2a,2e2a]

a2,则当x[1e]时,f(x)0

所以f(x)[1e]上是增函数,

f(1)1,故函数f(x)[1e]上的最小值为1.

a2e2,则当x[1e]时,f(x)0

所以f(x)[1e]上是减函数,

f(e)e2a,所以f(x)[1e]上的最小值为e2a.

2<a<2e2,则:

1x<2(a)时,f(x)<0,此时f(x)是减函数;

2(a)<xe时,f(x)>0,此时f(x)是增函数. 

f2(a)2(a)2(a)ln2(a)

所以f(x)[1e]上的最小值2(a)2(a)ln2(a).

综上可知,当a2时,f(x)[1e]上的最小值为1

2<a<2e2时,f(x)[1e]上的最小值为2(a)2(a)ln2(a)

a2e2时,f(x)[1e]上的最小值为e2a.

8【解答】 f(x)ex[x2(a2)xa2] 

(1)a0时,f(x)(x22)exf(x)ex(x22x2)

f(1)3ef(1)5e

函数f(x)的图象在点A(1f(1))处的切线方程为

y3e5e(x1),即5exy2e0.

(2)f(x)ex[x2(a2)xa2]

考虑到ex>0恒成立且x2系数为正,

f(x)R上单调等价于x2(a2)xa20恒成立.

(a2)24(a2)0

2a2,即a的取值范围是[2,2] 

(3)a=-2(5)时,f(x)x+2(5)ex

f(x)ex2(1)

f(x)0,得x=-2(1)x1

f(x)>0,得x<2(1)x>1

f(x)<0,得-2(1)<x<1

xf(x)f(x)的变化情况如下表:

x

2(1)

2(1)

,1(1)

1

(1,+)

f(x)

 

0

0

f(x)

极大值

极小值

 

所以,函数f(x)的极小值为f(1)2(1)e.

限时集训()B

【基础演练】

1A 解析】 yx-1(x+1)1x-1(2),则y=-(x-1)2(2)x3处的导数值为-2(1),故所求的直线的斜率是2,直线方程为y2x1,即2xy10.

2C 【解析】 对函数yln(exa)求导得yex+a(e),令y1,解得xe(e-a),此时代入函数yln(exa)y1,即切点坐标是,1(e-a),代入切线方程得1e(e-a)2,解得a2e.

3D 【解析】 f(x)12x22ax2b

f(x)x1处有极值,

f(1)0,即122a2b0,化简得 ab6

a>0b>0

ab2(a+b)29,当且仅当ab3时,ab有最大值,最大值为9,故选D.

4B 【解析】 根据几何概型的意义,这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形面积之比.根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为1x2dx3(1)x3-1(2)3.直角梯形区域的面积是2(4+1)×32(15),故所求的概率是2(15)5(2).

【提升训练】

1B 【解析】 2(π)0(xsinx)dxx2+cosx(1)2(π)08(π2)1.

2C 【解析】 从函数图象上可知x1x2为函数f(x)的极值点,根据函数图象经过的三个特殊点求出bcd,根据函数图象得d0,且f(1)=-1bc0f(2)84b2c0,解得b=-1c=-2,故f(x)3x22x2.根据韦达定理x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x29(4)3(4)9(16).

3D 【解析】 x0时,f(x)6x26x,函数的极大值点是x=-1,极小值点是x0,当x=-1时,f(x)2,故只要在[0,2]eax2即可,即axln2(0,2]上恒成立,即ax(ln2)(0,2]上恒成立,故a2(1)ln2.

4C 【解析】 根据三次函数的特点,函数f(x)(1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f(x)3x22axb在区间(1,0)上小于或者等于零恒成立,即32ab0b0,把点(ab)看作点的坐标,则上述不等式组表示的区域如下图.根据a2b2的几何意义得,最小值就是坐标原点到直线32ab0的距离的平方.

5e7eln7 【解析】 Tr1C7(r)·2(x)7r·(1)r2rxr

(1)r22r7C7(r)x2(7-3r)

r1时,T2=-32(7)x2x2的系数为-32(7).

a=-32(7).

∴∫1(-32a)dx=(ex-lnx)(1)1(7)

e7eln7.

60 【解析】 根据函数图象关于,1(1)对称,可得f(1x)f(x)2,由于函数是偶函数可得f(x1)f(x)2,进而得f(x)f(x1)2,由此得f(x1)f(x1),进而f(x2)f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,由于函数是可导偶函数,其中在x0的导数等于零,根据周期性,在x2,222100处的导数都等于零.再根据函数可导和f(x1)f(x)2,可得f(x1)f(x)0,令x1可得f(1)0.故所求的结果是0.

7【解答】 (1)f(x)x2(x2-ax+a)ex

a2时,f(x)x2(x2-2x+2)ex

f(1)12(1-2+2)×e1ef(1)=-e

所以曲线yf(x)(1f(1))处的切线方程为yex2e

切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)(0,-2e)

所以,所求面积为2(1)×2×|2e|2e.

(2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,

所以,方程x2axa0(0,+)内存在两个不等实根, 

a>0.(Δ=a2-4a>0,)

所以a>4.

x1x2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点,

x1x2ax1x2a

因为f(x1)f(x2)e5

所以,x1(x1-a)ex1×x2(x2-a)ex2e5

x1x2(x1x2-a(x1+x2)+a2)ex1x2e5

化简得eae5

解得a5,此时f(x)有两个极值点,

所以a5.

8【解答】 (1)f(x)x(a)2x(x>0)f(1)a2,又f(1)0,所以曲线yf(x)x1处的切线方程为y(a2)(x1),即(a2)xy2a0

由已知得a24,2ab,所以a6b=-4.

(2)证明:充分性:

a2时,f(x)2lnxx21

此时f(x)x(2)2xx(2(1-x2))(x>0)

0<x<1时,f(x)>0,当x>1时,f(x)<0

所以f(x)(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数,

f(x)f(1)0

必要性:f(x)x(a)2xx(a-2x2)(x>0)

a0时,f(x)<0f(x)(0,+)上是减函数,而f(1)0

0<x<1时,f(x)>0,与f(x)0恒成立矛盾,

所以a0不成立,

a>0时,f(x)x(2)+x(a)-x(a)(x>0)

0<x<2(a)时,f(x)>0,当x>2(a)时,f(x)<0

所以f(x)2(a)上是增函数,

,+∞(a)上是减函数,

f(x)f2(a)2(a)ln2(a)2(a)1

因为f(1)0,又当a2时,2(a)1f2(a)>f(1)0f2(a)0不符.

所以a2.

综上,f(x)0对任意x>0恒成立的充要条件是a2

(3)a<0时,f(x)<0f(x)(0,+)上是减函数,

不妨设0<x1x2,则|f(x1)f(x2)|f(x1)f(x2)|x1x2|x2x1

|f(x1)f(x2)||x1x2|等价于f(x1)f(x2)x2x1,即f(x1)x1f(x2)x2

g(x)f(x)xalnxx2x1g(x)(0,+)上是减函数,

g(x)x(a)2x1x(-2x2+x+a)(x>0)

2x2xa0x>0时恒成立,

18a0a8(1),又a<0

a的取值范围是8(1).

 

 
 

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