“圆周运动的临界【模型】①竖直面内绳子拉小球的临界竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态（1）如图1所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=
上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=②能过最高点的条件：v≥v临界
③不能过最高点的条件：v
（2）如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg当0FN>0当v=时，FN=0
当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是
当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即FN=mg.
当0FN>0当v=时，FN=0当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v临界=当v>时，小球将脱离轨道做平抛运动【】如图所示，两绳系一个质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？解析两绳张紧时，小球受的力如图1-5-5所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1,则有
Fx=F1sin30°=mω12Lsin30°①
Fy=F1cos30°-mg=0②
代入已知解①②得，ω1=2.40rad/s.
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2,则有
Fx=F2sin45°=mω22Lsin30°③
Fy=F2cos45°-mg=0④
代入已知解③④得ω2=3.16rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s.
答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s
点评：注意临界状态的选取,这是解答这类问题的关键.
【2】如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°在距转动中心0.1m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为A.8rad/s B.2rad/s C.rad/sD.rad/s
〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则
μmgcos37°－mgsin37°=mω2r
ω=
=rad/s=2rad/s
所以，选项B正确.
说明：分析角速度最大时的临界条件，是求解这类极值的关键.
【】一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O为a处放有小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态，如图所示.若此杆突然以角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？物体相遇的条件是在相同的时间内物体的路程或位移相等.本题中是物体自由下落的位移与由于杆的转动而引起的相同时间内的杆的两位置与B所在竖直线交点间的距离相等，从图（a）中看出，此最大距离为BD的长，即atanθ1物体做自由落体运动，起始速度较小，速度逐渐变大而杆在匀速转动，在相同时间内，BC大于自由落体高度，当两者相等时则相遇，相遇的最大距离为BD，即为ω的最大值.若ω再增大，当物体落至D点时，杆已转过OD位置，则此时不可能相碰但当ω再增大时，即在物体没有到达D之前杆可能再次转入∠AOD区域，这种情况下物体与杆也能相碰这种情况相遇的最长时间是在D点相遇，此时的ω为这种情况的最小值，只要ω大于该值均能在∠AOD区域内相碰，如图（b）.
应用自由落体规律求出物体下落到D点所用的时间，再由圆周运动求解出杆到OD所用的时间.相遇则距离相等，同时还具有等时性.
小物体做自由落体运动，在时间t内下落BC=atanθ=gt2
此时A点转过角度θ=ωt
由以上两式得ω=·
可见在不同的角度θ时相遇要有不同的ω值，小物体追上杆的临界情况是在D点相碰，所以有：BD==gt2
ω1t=arccos
消去时间t有：
ω1=·arccos
若ω很大时，即转一圈后追上小物体并与小物体相碰，如图（b）所示.
这时杆转过的角度θ2=arccos+2π
所以ω2=
=（2π+arccos）
此为第二种情况下相遇的最小角速度.
故物体与杆相遇的条件是：ω≤ω1或ω≥ω2.
（1）杆突然转动后，小木块做自由落体运动.如果在杆转动的时间t内，杆端A恰好转到小物体的正下方使小物体与杆端相碰，即杆转过θ角的时间与小物体自由下落高度h的时间相等.
【】如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1m、长1m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉紧，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上.
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间?
（2）如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?
小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F不断增大，半周期不断减小.推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间.
在第一个半周期内：F1=mt1=
在第二个半周期内：F2=m
t2=
在第三个半周期内：F3=m
t3=
……
在第n个半周期内：
Fn=m
tn=
由于==10，所以n≤10.
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间
t=t1+t2+…+t10
={10L0－［1+2+3+…+（10－1）］LAB}
=［10L0－×0.1］≈8.6s.
（2）设在第x个半周期时，Fx=7N
由Fx=m
代入数据后得x=8
则所经历的时间
t=［8L0－LAB］
=［8×1－×0.1］s≈8.2s.
说明：运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法.物理和数学是紧密联系的，应用数学知识处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求.因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解.
【】如图所示，质量均为m的A、B球分别固定在长为L的轻杆的一端和中点（球可视为质点）.转至最高点A球速度为v时，AB杆对A球作用力刚好为零，在最高点，A球速度为4v时，OB杆对B球的作用力多大？
当A球速度为v时，对A球有
mg=m
当A球速度为4v时，B球速度为2v，对A球有
FAB+mg=m
对B球有FOB+mg－FAB=m，
解得FOB=22mg.
答案：22mg
【】如图所示，长度为L=1.0m的绳，栓着一质量m=1kg小球在竖直面内做圆周运动，小球半径不计，已知绳子能够承受的最大张力为74N，圆心离地面高度h=6m，运动过程中绳子始终处于绷紧状态
求：（1）分析绳子在何处最易断，求出线断时小球的角速度
（2）绳子断后小球平抛运动的时间及落地点与抛出点的水平距离在最低点绳子中的张力最大最容易断，即当绳子拉力达到为74N时候，角速度达到最大值，这时拉力和重力的合力提供向心力。在绳子断开后，小球做平抛运动，初速度为最低点的线速度。
且：平抛的高度是最低点到地面的距离H－r
解：（1）在最低点当拉力为74N时。对小球由合力提供向心力得：
得：
（2）在最低点以切线方向水平抛出
初速度
下落高度
飞行时间
水平距离
如图所示，匀速转动的水平圆盘上在离转轴某一距离处放一滑块，该滑块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不产生相对滑动，则在改变下列何种条件的情况下，滑块仍能与圆盘保持相对静止（）A.增大圆盘转动的角速度
B.增大滑块到转轴的距离
C.增大滑块的质量m
D.改变上述任一条件的情况下都不可能使滑块与圆盘保持相对静止
解析:用ω、r分别表示圆盘转动的角速度和滑块到转轴的距离，圆盘对滑块的最大静摩擦力fm=kmg ①
滑块跟随圆盘的转动做匀速圆周运动，恰不发生相对滑动时，应有mω2r=fm.②
联立①②两式得:ω2r=kg ③
由③式可知，滑块质量的大小不影响滑块是否能相对圆盘滑动.但若增大ω或r，一定会使ω2r＞kg，滑块会做离心运动而相对圆盘滑动.因此，正确选项为C.
答案:C
如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？g取10m/s2.设物体M和水平面保持相对静止．当ω具有最小值ω1时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力2N．隔离M有：代入数值得：ω1＝2.9rad/s当ω具有最大值ω2时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，大小也为2N．隔离M有代入数值得：ω2＝6.5rad/s故ω范围是：2.9rad／s＜ω＜65rad／s．圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题．对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况，从而建立方程求出。
如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4，圆环半径为R，斜面倾角为θ=53°，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37o，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：即：
由动能定理有：
联立可求出此时的高度h=10R
用极限法通过分析两个极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。当F供=F需时，物体做圆周运动；当F供>F需时物体做向心运动；当F供
(1)小球C与小球B碰撞后的速度为多少？
(2)小球B的带电量q为多少？
(3)P点与小球A之间的距离为多大？
(4)当小球B和C一起向下运动与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？
解析(1)小球C自由下落H距离的速度v0==4m/s
小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：mv0=2mv1，所以v1=2m/s
(2)小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知：
代入数据得：C
(3)C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P与A之间的距离为x，由能量守恒得：
代入数据得：x=(0.4＋)m（或x=0.683m）
(4)当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析有：，代入数据有：y=m（或y=0.283m）
由能量守恒得：
代入数据得：（或vm=2.16m/s）
点评：此题是动量守恒和能量守恒与电学知识的综合。
如图所示，两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定在O点，另端栓着一个质量为m，带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一冲量后，它可绕O点在竖直平面内作匀速圆周运动。若两板间电压增大为原来的4倍时，求：
（1）要使小球从C点开始在竖直平面内作圆周运动，开始至少要给小球多大冲量？
（2）在运动过程中细线所受的最大拉力。
对本题的物理情景不难想象：一绳系带电小球在两板间原来的电场中作匀速圆周运动。后来两板间电压升高为4倍，小球仍在竖直面内作圆周运动。但这两情况下相应的物理条件是不同的，必须注意正确地把它们转化为具体的物理条件。
(1)设原来两极板间电压为U，间距为d，小球电量为q，因小球开始能在电场中作匀速圆周运动，故小球所受电场力向上，并且和重力相等所以小球带正电，且满足qU/d=mg…①
当两板间电压增到4U时，设需在C点给小球的冲量为I才能使其在竖直平面内做圆周运动，并且C点就是小球做圆周运动的等效最高点，(即临界点)在等效最高点处小球的线速度最小，小球所受新的电场力与重力的合力恰好满足在该处作圆周运动的向心力，此时细线对小球的拉力为零(这是等效最高点的特点)，即：
…………②
∴………③
（2）小球在最高点D时就是小球做圆周运动的等效最低点，小球在等效最低点处的线速度最大，所以细线L所受拉力最大，设拉力为T，由牛顿第二定律，有：
…………④
小球C点运动到D点过程中，重力和电场力做功，根据动能定理，有：
…⑤
由②式得小球在等效最低点处的线速度…⑥
将⑥式代入④式，得T=18mg
如图所示，粗糙的水平绝缘轨道与竖直放置的光滑绝缘的圆形轨道平滑连接，处于水平方向的匀强电场中，圆形轨道的最低点有A、B两带电小球，中间压缩一轻弹簧，弹簧与A、B均不连接，已知A、B两球的质量均为m，A、B两球均带正电，电量均为q，A球与水平轨道间的动摩擦因数为，，电场强度，圆形轨道半径为R，由静止释放AB后，B恰能做完整的圆周运动。假定A、B球不再碰撞。求：从释放开始到A在水平轨道上运动的速度大小为其被释放时速度大小的一半时所需要的时间。（不计A、B间的静电作用，设弹簧弹力足够大，且作用时间极短）
〖解答〗：根据带电小球B恰能做完整的圆周运动，因，则小球能通过复合场中的最高点P（如图）。
设经过轨道上的P点的速度为v，由小球B的重力和电场力的合力提供向心力有：
…………①
在圆周轨道的最低点弹簧将A、B两球向左、右弹开，设弹开时A、B两球的速度大小分别为vA、vB，由动量守恒有：，即…………②
小球B从圆周轨道的最低点运动到P的过程中，由动能定理有：③
由①②③求得：……④
A球向左弹开后在水平面上作匀减速运动，当速度减为0时，由于电场力大于摩擦力0.6mg，将向右匀加速运动，因此，小球A的速度大小减为，有两种情况：一是匀减速过程速度减为，另一情况是向右加速过程速度等于，设相应经历的时间分别为t1、t2。
对第一种情况，由动量定理有：………⑤
由④⑤两式得：
对第二种情况，设球A弹开后到速度减为零的时间为，此后再经时间速度增大为，同样由动量定理有：⑥
⑦
则所求时间为t2为：⑧
由④⑥⑦⑧四式得：
【体验4】风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图所示），当小球静止在A点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求：
⑴水平风力的大小；
⑵若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？小球静止在A点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？
⑴参照图，根据平衡知识，可求得风力大小F=mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cosα．
⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图所示的坐标系：在x轴方向，当Fcosβ>mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ
如图所示，小球必须能通过B点才能做完整的圆周运动，设通过B点时小球的最小速度为vmin，则此时绳上拉力恰好为零
【体验5】小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图23所示。试求d的取值范围。
〖解析〗为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：
根据机械能守恒定律可得
由以上两式可求得：
【体验6】如图24所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
〖解析〗列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：
要使列车能通过圆形轨道
则必有v>0
解得
【体验7】如图25所示，在质量为M的电动机上，装有质量为ｍ的偏心轮，偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?
〖解析〗设偏心轮的重心距转轴ｒ，偏心轮等效为用一长为ｒ的细杆固定质量为ｍ(轮的质量)的质点，绕转轴转动，如图4-3-7，轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即：
F=Mｇ①
根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F=Mｇ，其向心力为：
F+mg=mω2r②
由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：
r=(M+m)g/(mω2)③
当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大．
对偏心轮有：F''-mg=mω2r④
对电动机，设它所受支持力为FN，FN=F''+Mg⑤
由③、④、⑤解得FN=2(M+m)g
由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2(M+m)g
【点评】本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰；先以电动机为研究对象，再以偏心轮为研究对象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找出最高点和最低点这两个临界状态．
【体验7】如图26所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：
（1）小球通过最高点A的最小速度；（2）小球通过最高点的最小速度。
（3）若细绳的抗断拉力为Fmax=10N，小球在最低点B的最大速度是多少？
〖解析〗（1）小球在最低点时的等效重力为G=mgsinα
小球在最高点A速度最小。
（2）根据动能定理：
当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小
解得最低点速度的最小值是
（3）若绳子的抗断拉力为10N，根据牛顿第二定律
解得小球在最低点B的最大速度是vBM=6m/s
【体验8】如图所示半径为R、r(R>r)甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，如果小球从轨道AC离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道。小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑。为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象.试设计CD段的长度。
【提示】小球滑上乙轨道而不撞轨，小球可以通过乙轨道的最高点；也可以使小球到乙轨圆心等高处之前再返回.)
【解析】(1)小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为
设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1
由机械能守恒定律：
解得：
∵>∴小球能通过甲轨道而不撞轨
(2)设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，则需满足：
得：x≤
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：
且
得：≤x＜
总结论：CD≤或≤CD＜
【答案】CD≤或≤CD＜
【体验9】如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计线与钉子碰撞时的能量损失。
这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题。题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（是做圆周运动的半径）。
设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x，则：
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：
①
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：
结合可得
②
由机械能守恒定律得：
即：③
由①②③式联立解得：
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径约大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了。
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x’如图解,则
④
在最高点：⑤
由机械能守恒定律得：⑥
由④⑤⑥联立得
在水平线上EF上钉子的位置范围是：
建构物理模型，巧手探析题目
14
H
v
T
mg
C
O
D
图16
O
R
E
A
B
图17
O
R
A
B
图18
P
A
O
r
m
图25
图20
图21
LAB
图3
O
m
B
A
·O
v
图8
图10
图11
A
m
m
M
图12
图1
图2
图4
图5
图6
图7
图9
图13
图14
图22
B
L0
图15
图7
D
d
L
O
m
B
C
A
图23
图24
v0
R
L
O
B
α
图26
m
F
B
D
E
A
x
r
m
F
B
D
E
A
x’
r’
v’
|
|
