“对称与反对称”物理模型
太原市第十二中学姚维明
模型建构：
一、竖直上抛运动、斜抛运动、匀速圆周运动，它们的共同特点是：
（1）轨迹具有“对称与反对称关系”
（2）图象具有“对称与反对称关系”
（3）规律具有“对称与反对称关系”
模型典案：
【典案1】如图所示，从一根空心竖直钢管A的上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰时间不计）。若换一根等高但较粗的钢管B，同样的方向抛入此钢球，则运动时间（???）
?A、在A管中的球运动时间长
B、在B管中的球运动时间长
C、在两管中的运动时间一样长
D、无法确定
知，时间相同。
正确答案：C
【典案2】一个质量为m、量为+q的小球以初速度v0平抛，在小球经过的竖直平面内，存在着若干个如图所示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区，相互间隔电场区水平方向无限长，已知每一电场区的方向竖直向上，不计空气阻力，下列说法正确的是A．小球在水平方向一直作匀速直线运动
B．场强大小等于C．场强大小等于，D．小球通过所有无电场区的时间相场强大小等于场强大小等于，【典案3】如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向在电场左边界上A（－2l0l0）到C（－2l0，0）区域内连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。
求匀强电场的电场强度E；
求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
，
解得：
（2）要使粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动
解得：
第三种情况：如粉色图所示
解得：
……
n=2，3，4……
【点评】显然研究物体的运动过程，利用反对称性，做好平抛运动的轨迹是解题的关键。
【典案4】如图a所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,析间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O/且正对，在两板间有垂直纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化的关系如图b所示。有一束正离子在t=0时垂直于M板的小孔O射入磁场。已知正离子的质量为m，带电量为q，正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都是T0，不考虑磁场变化产生的电场的影响，不计离子的重力，求：
（1）磁感应强度B的大小。
（2）要使正离子从O/也垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场的速度的可能值。
【解析】设垂直纸面向里的方向为正方向。
（1）正离子射入磁场，
做圆周运动的周期解得：
（2）要使正离子垂直于N板从O/射出磁场，离子的运动轨迹具有反对称性。v0的方向应该如图所示。
两板之间的正离子运动一个周期T0时，；
两板之间的正离子运动n个周期nT0时，；n=1，2，3……
联立方程解得：
；n=1，2，3……
模型体验：
【体验1】电子以水平速度沿平行金属板中央射入，在金属板间加上如图所示的交变电压，书籍电子的质量为m，电荷量为e，电压周期为T，电压为U0，求：
（1）若电子以t=0时刻进入极板之间，在半个周期内恰好相反能从析的上边缘飞出，则电子飞出的速度应多大？
（2）若电子以t=0时刻进入极板之间，能从板的右边水平飞出,则金属板为多长？
（3）若电子能从板的右边O/点水平飞出，电子应从哪一时刻进入极板之间，两板间距至少多大？
【解析】（1）根据动能定理
解得
（2）若电子以t=0时刻进入极板之间，能从板的右边水平飞出,由反对称关系知粒子运动的轨迹应如图b.
经过的时间应该满足n=1,2,3…
而水平方向为匀速圆周运动运动,所以板长为
n=1,2,3…
（3）要使粒子从O/点水平飞出,由反对称关系,粒子运动的轨迹应如图c.
电子进入的时刻应该是
n=1,2,3…
在半个周期内的位移应满足：
解得：
【体验2】如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=600，两区域的磁感应强度都是B。带电量为q、质量为m的正离子（初速度为零）通过小孔O1进入加速为U的加速电场中，加速后经过小孔O2射出，从接近O点处进入磁场区域Ⅰ，离子进入磁场的速度方向垂直于磁场的边界MN，也垂直于磁场。不计离子的重力。
（1）当加速电压U=U0时，求离子进入磁场做圆周运动的半径。
（2）在OQ上有一点P，P点到O的距离为L，则加速电压取何值，才能使离子经过P点？
【解析】（1）离子在电场中加速时
离子在磁场中运动，
解得：
（2）离子进入磁场中的运动轨迹具有反对称性。如图所示
由几何关系可知,OP1=P1P2=R
要使离子经过P点，需要L=nRn=1,2,3……
解得：n=1,2,3……
【体验3】如图两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a，b，c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线的匀强磁场，磁感应强度B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m，带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为0。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
【解析】带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子再回到S点的条件是能依次沿径向穿过狭缝d，c，b。在各狭缝中粒子在电场力作用下先减速，在反向加速，然后从新进入磁场区，如图所示设粒子进入磁场区时的速度为v，根据能量守恒有：qU=设粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：m=qvB粒子从a到d必须经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r0，即R=r0，由以上各式解得：U=
【体验4】在某一真空空间内建立坐标系，从原点向第一象限发射一比荷的带正电的粒子（重力不计），速度大小、方向与轴正方向成30角。
（1）若在坐标系轴右侧加有匀强磁场区域，在第一象限，磁场方向垂直平面向外；在第四象限，磁场方向垂直平面向里，磁感应强度均为B=1T，如图a所示。求粒子从O点射出后第二次经过x轴时的坐标。
（2）若将上述磁场改为如图b所示的匀强磁场，在时，磁场方向垂直于平面向外；在到时，磁场方向垂直于平面向里，此后该空间不存在磁场。在时刻，粒子仍从O点以与原来相同的速度射入，求粒子从O点射出后第二次经过轴时的坐标。
图a图b
【解析】（1）正电粒子以初速度进入第一象限的磁场中，划过一段圆弧，设从点进入第四象限，作弦的垂直平分线，过原点作跟初速度方向垂直的直线，两线交于，即为粒子在第一象限运动轨迹的圆心。据几何知识可知，△为等边三角形，粒子进入第四象限时的速度方向仍与轴正方向成30角，依同样的方法找出粒子在第四象限运动轨迹的圆心，如图c所示。因两象限的磁感应强度大小相等，故和的半径相等，均为0.1m，因此粒子从点射出后第二次经过轴时的坐标。
图c图d
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，以，代入算得，粒子在内恰运动，转过的圆心角为120。因粒子初速度方向与轴正方向的夹角为30，故末粒子以为圆心运动至A，注意：平行于轴。在接下来的内，因磁场反向（大小不变），粒子以为圆心旋转120至B点，此后磁场被撤去，粒子做匀速直线运动，从C点第二次经过轴，运动轨迹如图d所示。作出了粒子三阶段的运动轨迹，注意到和的半径相等，均为0.1m，利用几何和三角知识不难求得粒子从O点射出后第二次经过轴时的坐标。
【体验5】如图甲所示，在坐标平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感应强度大小恒为，方向垂直于平面，且随时间做周期性变化，如图乙所示，规定垂直平面向里的磁场方向为正。一个质量为，电量为的正粒子，在时刻从坐标原点以初速度沿轴正方向射入，在匀强磁场中运动，经过一个磁场变化周期T（未确定）的时间，粒子到达第一象限内的某一点P，且速度方向沿轴正方向（不考虑重力作用）。
（1）若点、连线与轴之间的夹角为45，则磁场变化的周期T为多大？
（2）因点的位置随着磁场周期的变化而变化，试求点纵坐标的最大值为多少？此时磁场变化的周期又为多大？
【解析】若带电粒子做匀速圆周运动的周期大于磁场的变化周期T，则粒子在磁场中以为圆心做半圆周运动，若在途中某时刻（）磁场方向突变（大小不变），则在后时间内，粒子以为圆心运动相等的弧长至点，据轨迹的对称性，此刻速度方向刚好恢复成沿轴正方向，如图3所示。因为点是任意的，所以图3画出的轨迹是粒子从点到点运动的一般情形。
（1）若、连线与轴之间的夹角为45，则据几何关系可知、的连线必平行于轴，粒子的运动轨迹变成图4所示的情形，这种情况下，磁场变化的周期。
（2）逐渐增大与轴之间的夹角，点的位置将升高，当以为圆心的圆弧与轴相切时，点的纵坐标有最大值，粒子的运动轨迹变成图5的情形，这种情况下，有，磁场变化的周期，的纵坐标。
【体验6】如图4所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为U的电源连接，一带电量为、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进入磁场，并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：
（1）筒内磁场的磁感应强度大小；
（2）带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。
【解析】（1）带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。
由
粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为
由即，得
（2）粒子从A→C的加速度为
由，粒子从A→C的时间为：
粒子在磁场中运动的时间为
将（1）求得的B值代入，得
求得：
【体验6】如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B。导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻。现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右作匀速直线运动并穿越n个磁场区域（1）求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
（2）求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
（3）规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流随时间变化的图象
（4）求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的电荷量q
【解析】（1）棒产生的感应电动势（2分）通过棒的感应电流（1分）
电阻R产生的焦耳热（分）（2）拉力对棒ab所做的功（3分）
（3）如图所示（3分）
（4）若n为奇数，通过电阻R的电荷量（分）
若n为偶数，通过电阻R的电荷量（2分）某透明物体的横截面如图所示，其中ABC为直角三角形，AB为直角边，长度为2L，ABC=45°，ADC为一圆弧，其圆心在AC边的中点。此透明物体的折射率为n=2．0。若一束宽度与AB边长度相等的平行光从AB边垂直射入透明物体，试由光路图画出光线从ADC圆弧射出的区域，并求此区域的圆弧长度s。（不考虑经ADC圆弧反射后的光线）如右图，作出两条边缘光线，所求光线射出的区域为EDF。如图，从圆弧ADC射出的边缘光线对应的入射角等于材料的临界角， 因（1分），故由几何关系得：圆弧EDF长度为故所求
建构物理模型，巧手解决问题
10
……
R
B1
B1
4
B1
B2
B2
B2
P
M
Q
N
a
b
L
d
d
3
2
1
O
I
t
C
B
A
D
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