机械能守恒定律
目录
第七章 机械能守恒定律 1
专题一动能定理与功能关系 3
［高考要求］ 3
［知识结构］ 3
［知识点拨］ 4
1、动能定理： 4
2、功能关系 4
4、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法： 4
5、求力F做功几种方法： 5
6、重力做功的特点： 5
7、功率： 5
［专题探究］ 5
（一）用动能定理简解多过程问题 5
（二）用动能定理巧求动摩擦因数 6
（三）用动能定理解决变力做功的大小 8
（四）用功能原理求变力做功 9
（五）用动能定理解决分运动问题 11
（六）用动能定理解决电场问题 13
（七）用动能定理解决磁场问题 14
（八）用动能定理解决电磁感应问题 15
［误区分析］ 16
误区1：误认为力对物体做功的位移是“相对位移”，忽视功的定义。 16
误区二：误认为作用力与反作用力所做功的大小相等，符号相反，忽视做功的条件。 17
误区三、误认为任何变力做功，其作用力都能用求解，忽视平均力的研究方法。 17
误区四、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，忽视功能关系的概念。 18
误区五、误认为功率的变化与速率的变化成正比，忽视功率的瞬时性。 18
误区六、误认为两物体运动速度相等时，系统的机械能最大，忽视功能关系。 19
［专题专练］ 20
［参考答案］ 27
专题二机械能守恒与能量守恒 28
［高考要求］ 28
［知识体系］ 28
［知识点拨］ 29
1、机械能守恒定律 29
2、能量守恒定律 29
3、各定理、定律对比 29
4、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法： 30
5、重力做功的特点： 30
［专题探究］ 30
（一）利用机械能守恒定律求解抛体运动问题 30
（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题 31
（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题 33
（四）利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题 34
（五）利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题 35
（六）利用机械能守恒定律解决圆周运动的问题 36
（七）用能量守恒解相对运动问题 37
（八）用能量守恒解决传送带的运动问题 38
（九）用能量守恒解决热力学问题 40
（十）用能量守恒解决电学问题 40
（十一）用能量守恒解决电磁感应中的能量问题 41
［误区分析］ 42
误区一、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，忽视功能关系的概念。 42
误区二：误认为“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”都与杆或绳子垂直，都不做功，每个物体的机械能都守恒，忽视弹力做功的特点。 43
误区三、误认为始末状态机械能守恒成立，忽视物体做圆周运动的过程特点。 43
误区四、误认为摩擦产生的热量就等于物体动能的增加，混淆能量的转化与守恒定律。 44
误区五：误认为全过程机械能都守恒，忽视机械能的瞬时损失。 44
误区六：误认为连接体的速度都是相同的，混淆“物体运动的速度”与“绳子的速度”。 45
误区七、误认为两物体竖直高度变化相同，混淆半径的的变化与高度的变化不等 46
误区八、误认为整个铁链子的动能变化是初始位置的重力做功引起的。忽视“重力”是变力。 47
［专题专练］ 48
［参考答案］ 53
专题动能定理与功能关系
高考重要考点 要求 命题热点 功和功率 Ⅱ 1．重力、摩擦力、电场力和洛伦兹力的做功特点和求解
2．与功、功率相关的分析和计算。
3．动能定理的综合应用。
4．应用动能定理、功能关系解决动力学问题。
其中动能定理和功能关系的应用是考查的重点，考查的特点是密切联系生活、生产实际，联系现代科学技术的问题和能源环保问题 动能和动能定理 Ⅱ 重力做功与重力势能 Ⅱ 电场力做功与电势能 Ⅱ 功能关系 Ⅱ 电功率、焦耳定律 Ⅰ ［知识结构
［知识点拨］
1、动能定理：
适用范围：适用于物体的直线运动和曲线运动；适用于恒力和变力做功；适用于阶段和全程；适用于各种性质的力。
重点提示：
①动能定理W＝EK2－EK1中，W指的是合外力所做的功，解决时不要漏掉某个力做的功；要特别注意力F做的功WF=Fl，其中的l是相对地而言的（或相对同一惯性参考系而言）；而Q热=Ff滑l相对，是指滑动摩擦力产生的热量，l相对是相对另一接触面的。
②若物体运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一整体考虑。
③求各力做功时，要明确哪个力在哪一阶段上所做的功。
④求合外力做功，可用W合=F合?l；或用W合=W1+W2+W3+…。
思维误区警示：
对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。
、功能关系
（1）重力做功与重力势能的关系：W=-ΔEp=EP1-Ep2=mgh1-mgh2
（2）弹力做功与弹性势能的关系：W=-ΔEp=EP1-Ep2=
特别提醒：弹力做功中弹力仅仅适用于弹簧、橡皮筋等等。
（3）除重力和弹簧的弹力之外的力对物体做的总功与物体机械能的关系：
W/=ΔE=E2-E1
特别提醒：系统机械能的变化是由于“除重力和弹簧的弹力之外的力对物体所做的总功”
、各定理、定律对比
适用条件 表达式 研究对象 备注 动量守恒定律 系统所受的合外力为零 P总0=P总t 一定是两个物体或两个以上物体组成的系统 注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别 动能
定理 均适用 W合=ΔEk
=EK2-EK1 W合为外力做的功，重力注意会全程应用动能定理。 功能
关系 能量有变化的情况 W=ΔE=E2-E1 4、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法：
常用方法 求△Ek ΔEk=EK2-EK1 ΔEk=W合通过求合外力做功求动能的变化量（更常用） 求△EP △EP=EP2-EP1 ΔEP=WG=mgΔh通过求重力做功求ΔEP；当WG做正功时，EP减小；当WG做负功时，EP增加(常用） 求△E机 △E机=E2-E1 ΔE机=WG其它通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量（更常用） 、求力F做功几种方法：
备注 1、W=FScos(F为恒力) 只能求恒力F做功 2、W=Pt(功率P恒定) 可求变力做功，也可求恒力做功 3、W合=ΔEk=EK2-EK1 可求变力做功（最常用），可求恒力做功 4、求变力做功的方法 1、用动能定理 2、转换研究对象 、重力做功的特点：
WG=EP-EP2=mgΔh
重力做功与路径无关重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）
、功率：
1、平均功率： 2、瞬时功率：P=Fvcosα 机车恒定功率起动问题 一用动能定理简解多过程问题
案例1、2009年是中华人民共和国成立60周年，某学校物理兴趣小组用空心透明塑料管制作了如图所示的竖直“60”造型。两个“0”字型的半径均为R。让一质量为m、直径略小于管径的光滑小球从入口A处射入，依次经过图中的B、C、D三点，最后从E点飞出。已知BC是“0”字型的一条直径，D点是该造型最左侧的一点，当地的重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在整个运动过程中：
A.在B、C、D三点中，距A点位移最大的是B点，路程最大的是D点
B.若小球在C点对管壁的作用力恰好为零，则在B点小球对管壁的压力大小为6mg
C.在B、C、D三点中，瞬时速率最大的是D点，最小的是C点
D.小球从E点飞出后将做匀变速运动
命题解读：本题是新情景问题，重点考察动能定理、牛顿定律的应用。物体的运动是比较复杂的。但由于只有重力做功，且重力做功与路径无关，所以全程运用动能定理解题特别简单。当然也可以运用机械能守恒定律解析,或者分步运用动能定理解析。
分析与解：直观上可以看出在B、C、D三点中，距A点位移最大的是D点，路程最大的也是D点，A错误。
由机械能守恒定律知B点的动能最大，速率最大。C错
小球飞出后做抛体运动，只受重力作用，故做匀变速运动。D正确。
C点，重力产生向心加速度由牛顿定律得：
由动能定理得：
点，由牛顿定律得：解得：F=6mgB正确。
正确答案：BD
变式训练：
变式1、如图1所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
解析滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。
在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：
得
变式2：如图2所示，和为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑圆弧面的两端相切，圆弧所对圆心角为，半径，整个装置处在竖直平面上。一个物体在离弧底的高度处以速率沿斜面向下运动，若物体与斜面间的动摩擦因数，试求物体在斜面（不包括圆弧部分）上能走多长的路程？
解析设物体在斜面上走过的路程为，经分析，物体在运动过程中只有重力和摩擦力对它做功，最后的状态是在、之间来回运动，则在全过程中，由动能定理得
代入数据，解得
用动能定理巧求动摩擦因数
案例2、如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
命题解读：滑动摩擦力做功是个比较复杂的问题，但在只有重力产生压力的前提下，不管是水平面上的运动，还是斜面上的运动，滑动摩擦阻力对物体做的功都等于Wf=-μmgX。X为物体运动的水平总位移。
分析与解：滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为，斜面倾角为，斜面底边长，水平部分长，由动能定理得：
从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。
变式训练：
变式1、已知物体与轨道之间的滑动摩擦因数相同，轨道两端的宽度相等，且轨道两端位于同一水平面上。问质量不同的物体，以相同的初速度沿着如图所示的不同运行轨道运动时，末速度的大小关系B．
C．D．
解析由于轨道的水平宽度x相等，物体沿着轨道从左端运动到右端，初速度v0相同，虽然滑动摩擦阻力不同，但滑动摩擦阻力做的功相同，均为W=-μmgx，重力做功为零。
根据动能定理：
解得：
可见物体到达右端时速度大小相同，与物体质量无关，与斜面的倾角无关。变式2、如图5所示，在竖直平面内的AC两点间有两点间有三条轨道。一个质量为m的质点从顶点A由静止开始先后沿三条不同的轨道下滑，三条轨道的摩擦因数都是μ，转折点能量损耗不计，由该物体分别沿着AC、AEC、ADC到达C点时的速度大小正确的说法是（）
A．物体沿AC轨道下滑到达C点速度最大
B．物体沿AEC轨道下滑到达C点速度最大
C．物体沿ADC轨道下滑到达C点速度最大
D．物体沿三条轨道下滑到达C点速度相同
解析根据
可见到达C点处的速度相同。正确答案为C
变式3、一木块从左侧斜面上A点由静止开始下滑，经过水平面最后上升到右侧的斜面B处。不计接触处的碰撞能量损失，接触面材料相同，已知AB与水平面的夹角为θ，求摩擦摩擦因数μ。
解析根据动能定理
解得：
动能定理变力做功案例3、质量为小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为
．．．
命题解读：本题考查圆周运动与动能定理的综合。只要知道始末状态的动能，就能根据动能定理求解过程量——功。而始末状态的速度要用牛顿定律求解。变力做功，只能根据动能定理求解。
解析：设小球在圆周最低点和最高点时速度分别为和，由牛顿定律得：
最低点：
最高点：
设经过半个圆周的过程中，小球克服空气阻力所做的功为，则由动能定理得
来源:学科网]
解得
故本题的正确选项为变式训练：
用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成
正比，F=-Ff=kx，可用平均阻力来代替
第一次击入深度为x1，平均阻力=kx1
做功为W1=x1=kx12.
第二次击入深度为x1到x2，位移为x2-x1平均阻力=k（x2+x1）
做功为W2=（x2-x1）=k（x22-x12）
两次做功相等：W1=W2
解后有：x2=x1=1.41cm,
击入的深度为：Δx=x2-x1=0.41cm.
解法二：（图象法）
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象。
曲线上面积的值等于F对铁钉做的功
由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积）
即：kx12=k（x2+x1）（x2-x1）
所以击入的深度为：Δx=x2-x1=0.41cm
用功能原理求变力做功
案例4、两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功是多少？
命题解读：本题考查流体做功问题。研究的方法是把流体等效成小物块，运用“填充”的方法进行研究。由于始末状态的机械能是确定的，但过程是变化的，故运用功能关系容易解决。
分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如图5中的斜线所示。最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：
所以重力做的功WG=
变式训练：
变式1、一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的.在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径ｒ＝0.100m，井的半径R＝2ｒ，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa.求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10m/s2）
解析从开始提升至管内外水面高度差为h0=10m这一过程中拉力逐渐变大，是变力，要用功能关系求解。以后活塞与水面之间出现真空，拉力F=p0πr2为恒力。可用功的公式求解。
大气压p0能够支持的水柱高
图图设管内水柱上升h1时，管外水柱下降h2,见图。因为总体积不变，即
解得：
当h1+h2=h0时，管内液面不再随活塞上升（活塞下出现真空）
此时
H=9m＞h1,故活塞下有9m-7.5m=1.5m长的真空区
F做的功一部分转化为水的重力势能，即
一部分克服大气压力做功
故拉力F所做总功
变式2、如图所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2）求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值（2）此过程中力F所做的功解析（1）设A上升前，弹簧的压缩量为，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2，A上升的加速度为。
A原来静止时，因受力平衡，有：
设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1
B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2
对A：
对B：
由位移公式，对A：得：
a=3.75m/s2F1=45NF2=258N
（2）力作用的0.4s内，在末状态有，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：
小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。变式3、如图所示，物体以100J的初动能从斜面底端向上运动，中途第一次通过斜面上M点时，其动能减少了80J，机械能减少了32J。则当物体沿斜面重新返回底端时，其动能为J。
解析物体沿斜面上滑的过程中，克服摩擦力做的功等于物体机械能的减少量，即
设物体在上滑过程中动能的减少量为△Ek，由动能定理得
即
由得
即在上滑过程中，物体减少的机械能和减少的动能之比为定值并且
物体到达最高点时动能减少了100J，减少的机械能为
由此可知，物体在上滑过程中克服摩擦力做的功为40J。由于物体下滑时摩擦力大小和位移大小没变，所以，下滑过程中克服摩擦力做的功也是40J。即在全过程中物体损失的机械能为80J，物体返回底端是动能为20J。
用动能定理解决分运动问题
例5、一辆汽车通过如图所示中的细绳提起井中质量为m的物体，开始时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计。
命题解读：对于连接体运动，分析两物体间的位移关系、速度关系是解题的关键，解题时应充分注意。
解对m：根据动能定理列方程：
根据几何关系得出
由于左边绳端和车有相同的水平速度v，v可分解成沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分速度，如图所示。
看出：
解得：
变式训练：
变式1、如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A在水平面上。A由静止释放，当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B下降h过程中，地面摩擦力对A做的功？（滑轮的质量和摩擦均不计）
解析把物体A、B看成一个整体，对该系统进行受力分析B下降过程中，B的重力做正功mgh，摩擦力对A做负功，设为Wf由于A与水平面间的正压力是变化的，又不知动摩擦因数、Wf不能用功的定义求得，只能通过动能定理来求解Wf。
A的实际运动沿速度v的方向，它可以分解为分别是沿绳方向和绕滑轮转动两个分运动根据第1步的分析和平行四边形法则，画出如图9的矢量图；
由图中可知，v1为绳的速度，也就是该时刻物体B的瞬时速度v1＝vcosθ对系统列动能定理表达式：mgh－Wf＝Mv2＋mv12
可得Wf＝mgh－Mv2－mvcos2θ
变式2、如图17所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中
（1）斜劈的最大速度。
（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）
解析（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒。
mg（h-r）=mvA2+mvB2
由图中几何知识知：h=cot30°·r=rB的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图18所示。
由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2
即vAcos30°=vBsin30° 解得vA=vB=
（2）A球落地后反弹速度vA′=vA
做竖直上抛运动的最大高度：Hm=
动能定理例、在水平向右的匀强电场中，有一质量为m．带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ现给小球一个垂直悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问（1）小球在做圆周运动的过程中，在那一个位置的速度最小？速度最小值是多少？（2）小球在B点的初速度是多大？命题解读：根据动能定理可得到：圆周运动的速度的最大值在平衡位置，即“物理最低点”。速度的最小值在平衡位置的反方向上，即“物理最高点”。最高点的最小速度是，g/是等效重力加速度。分析平衡位置是关键。
分析与解：（1）
电场力与重力的合力F大小一定，方向沿AB
小球从B到A运动，克服合力F做功，由动能定理得：
可见A点克服阻力做功最多，速度最小。A点等效为竖直面圆周运动的最高点。
对A点，根据牛顿定律得：
所以A点速度的最小值为
（2）从A到B，运用动能定理得：
解得：
变式训练：
半径为r的绝缘光滑圆环，固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图，珠子所受静电力为重力的3/4倍。将珠子从环上的最底位置A点静止释放，则珠子所能获得的最大动能为___________。
解析：设小球平衡时电场力与重力的合力与竖直方向的夹角为θ
由例题图得到：电场力θ=37o
由动能定理得：
解得：珠子获得得最大动能为
（七）用动能定理磁场例7、如图23所示，光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角为θ，磁感强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，有一质量为m，带电量为q的滑块，从某一时刻起，在斜面上由静止开始滑下，设斜面足够长。求：
（1）滑块在斜面上运动的最大速度
（2）滑块在斜面上运动的最远路程
命题解读：洛仑磁力对运动的电荷不做功，但洛仑磁力对带电粒子的运动方向有影响。滑块在斜面上加速下滑，速度增大，洛仑磁力也增大，当重力与洛仑磁力平衡时，斜面对滑块的支持力为零，将会离开斜面。运用牛顿定律与动能定理就能解决此问题。
分析与解：（1）如图24所示滑块在斜面上运动的速度最大，洛仑磁力就最大，滑块将离开斜面。此时FN=0，滑块带负电。
根据牛顿定律：
解得：
（2）根据动能定理：
解得滑块在斜面上运动的最远路程是
变式训练：
设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强如图所示，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是：A．这离子必带正电荷
B．A点和B点位于同一高度
C．离子在C点时速度最大
D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点
从静止开始运动，，EkB=0
则lAB=0，A、B两点必定同高度。由上式知lAB最大，则EkB最大，C正确。离子到达B点时，受力情况同A点，运动轨迹如ACB，但向右运动。D错误。
正确答案：ABC
（八）用动能定理电磁感应例、如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动求：（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v2(2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q命题解读：动能定理、能量守恒定律和功能关系是物理解题中特别倚重的规律，本题在研究线框上升时，利用而安培力做功和克服空气阻力判断机械能的变化，进而判断物体的运动。同时，能量守恒定律是自然界普遍适用的规律，一般没有限制条件，在机械能守恒定律和动量守恒定律不适用的情况下，也可使用。
解析：线框在上升过程中受到向下的重力和安培力还有空气阻力的作用，其中克服重力做功只是使重力势能发生变化，不改变线框的机械能，而安培力做功和克服空气阻力做功转化成焦耳热。在上升过程中已知进入磁场和离开磁场的速度关系，可由能量守恒定律列出产生焦耳热的表达式；由于线框向上离开磁场时还有一定的速度，在重力和空气阻力的作用下继续向上运动到最高点又返回进入磁场，这个过程中克服空气阻力做功使机械能继续减小；再次进入磁场时，线框匀速运动，重力、空气阻力和安培力平衡。
（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零，有，解得
（2）设线框离开磁场能上升的高度为h,则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中
解得，
（3）在线框向上刚进入到磁场到刚离开磁场的过程中
根据能量守恒定律和转化定律可得：
解得：。
m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。
（1）求初始时刻导体棒受到的安培力。
（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能力Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？
（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？
解析：（1）初始时刻棒中感应电动势E=BLv0
棒中感应电流
作用于棒上的安培力F=ILB
解得：安培力方向：水平向左
（2）由功和能的关系，得安培力做功
电阻R上产生的焦耳热
（3）由能量转化及平衡条件等，可判断
棒最终静止于初始位置
［误区误区1：误认为力对物体做功的位移是“相对位移”典型案例1、小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上(如图所示)，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。
A．垂直于接触面，做功为零；
B．垂直于接触面，做功不为零；
C．不垂直于接触面，做功不为零；
D．不垂于接触面，做功不为零。
错误解法：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。即A选项正确。
应对办法：功的计算公式中，l为力的作用点移动的位移，它是一个相对量，与参照物选取有关，通常都取地球为参照物，这一点也是学生常常忽视的，致使发生错误。
走出误区：小物块A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F和F''，如图27所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物体A的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A做负功，即B选项正确。
误区二：误认为作用力与反作用力做功的大小相等，符号相反典型案例2、如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B放在水平地面上，在拉力F的作用下，使物体A做匀加速直线运动．当物体A相对于地面运动了0.1m时，B对A的摩擦力做的功为10J，则A对B的摩擦力做功的大小可能是：
A．0B．-10JC．小于10JD．无法确定
错误解法：一对相互作用力总是等大反向共线，那么它们对物体做的功也一定大小相等，正负相反。故选B。
应对办法：作用力和反作用是两个分别作用在不同物体上的力，因此作用力的功和反作用力对物体做的功没有直接关系。作用力可以对物体做正功、负功或不做功，反作用力也同样可以对物体做正功、负功或不做功。它们不一定能抵消。
走出误区：本题有三种可能
（1）B静止，则B对地面的位移为零，A对B的摩擦力做功为零
（2）B运动，且A和B间有相对运动，则
，
lA>lB，故
（3）A和B相对静止一起运动，
因为lA=lB，所以故选ABC．
误区三、误认为任何变力做功，其作用力都能用求解，典型案例3、静置在光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为()
A．0B．C．D．
错误解法：由图像知道，拉力是变力，大小为，故该力做功W==，答案先A应对办法：v—t图像的“面积”表示位移，同理F—l图像的“面积”表示功，只要能求出图像的面积，该力做的功就确定了。
走出误区：由于水平面光滑,所以拉力F即为合外力，F随位移x的变化图象包围的面积即为F做的功，由图线可知，半圆的半径为：
设x0处的动能为EK，由动能定理得：
即：，有：
，
解得：所以本题正确选项为C、D。
误区四、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化典型案例4、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
错误解法：W=mgh+
应对办法：如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律先求解势能的变化，再根据弹力做功与弹性势能的关系求解弹力做的功。
走出误区：解法一由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则：
系统机械守恒：mgh+=Ep+0
弹力做功：W弹力=0-EP
解得：W弹簧=-（mgh+）=-125J
解法二根据动能定理：
解得：W弹簧=-（mgh+）=-125J
误区五、误认为功率的变化与速率的变化成正比典型案例5、起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图9所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图10中的哪一个？
错误解法：由于物体做匀变速直线运动，各段的拉力都是恒力
由P=Fv得：P∝v所以选项A正确。
应对办法：由于各阶段物体做匀变速直线运动的加速度不同，合力不同，拉力也不同，因此必须先运用牛顿第二定律进行过程分析，进而探究功率的变化。并且要比较各时刻功率的关系，才能正确解题。
走出误区：在0～t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1
则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F1=mg+ma1
速度v1=a1t
所以拉力的功率为：P1=m(a1+g)a1t
在t1～t2时间内，重物匀速上升，
拉力为F2=mg,速度为v1=a1t1
所以拉力的功率为：P2=mga1t1
在t2～t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a3,
则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F2=mg-ma3
速度v3=a1t1-a3t
所以拉力的功率为：P3=m(g-a3)(a1t1-a3t)
综上所述，只有B选项正确。如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。www.ks5u.com在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
解析：处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有，对Ｂ有，www.ks5u.com得，在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。
两物体运动的v-t图象如图，tl时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大。B正确。
两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长。弹性势能最大。D正确。除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。A错误。
正确答案：BCD
专题www.ks5u.com
B．升降机的最大速度
C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功
D．升降机速度由v1增大至v2过程中，钢丝绳的拉力不断减小
2．物体在水平拉力和恒定摩擦力的作用下，在水平面上沿直线运动的关系如图所示，已知第1秒内合外力对物体做功为W1，摩擦力对物体做功为W2，则（）www.ks5u.com
A．从第1秒末到第3秒合外力做功为4W1，摩擦力做功为4W2www.ks5u.com
B．从第4秒末到第6秒合外力做功为0，摩擦力做功也为0
C．从第5秒末到第7秒合外力做功为W1，摩擦力做功为2W2
D．从第3秒末到第4秒合外力做功为-0.75W1,摩擦力做功为1.5W2www.ks5u.com
3．物体m从倾角为α的固定的光滑斜面由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端，重力做功的瞬时功率为(???)
4．如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中A．重力先做正功，后做负功B．弹力没有做正功
C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大150J的初动能由地面沿一个很长的斜面往上滑行，当它到达最高点时，重力势能等于120J，而后物块开始沿斜面往下滑行，设物块与斜面的动摩擦因www.ks5u.com数处处相同，则当物块下滑到离地高度等于最高度的三分之一时(取斜面最低点为重力势能为零)，物块的()
A．机械能等于110J B．机械能等于100J
C．动能等于60JD．动能等于30J．滑块以速率靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速度变为，且，若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为零，则（）
上升时机械能减小，下降时机械能增大。
上升时机械能减小，下降时机械能减小。
上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方
上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方7．如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是：
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
．如图，卷扬机的绳索通过定滑轮用力Ｆ拉位于粗糙面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动。在移动过程中，下列说法正确的是Ａ.Ｆ对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
Ｂ.Ｆ对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
Ｃ.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
Ｄ.Ｆ对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
．如图所示，DO是水平面，初速为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且为零。则物体具有的初速度（）
A．大于v0B．等于v0C．小于v0D．取决于斜面的倾角
．光滑水平面上有一边长为的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行。一质量为m、带电量为q的小球由某一边的中点，以垂直于该边的水平初速进入该正方形区域。当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为：（）
A0B．
C．D．
11．图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，www.ks5u.com与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则A．时刻的瞬时功率为
B．时刻的瞬时功率为
C．在到这段时间内，水平力的平均功率为
D．在到这段时间内，水平力的平均功率为
一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处则A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大B．弹簧在A点的压缩量与h无关C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能下列叙述正确的是()
A．每次实验必须设法算出橡皮筋对小车做功的具体数值
B．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度必须保持一致
C．放小车的长木板必须倾斜，以平衡摩擦力
D．应该先接通电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出
（2）某小组通过实验作出一图象如图所示，符合实际的是()
15．汽车的制动性能，是衡量汽车性能的重要指标．在一次汽车制动性能的测试中，司
可以根据表中的数据究汽车的制动距离与车速的关系分析以下问题：
为什么汽车的速率越大，制动的距离也越大?让汽车载上3名乘客，再做同样的测试，结果发现制动距离加长了原因设汽车在以60km／h的匀速率行驶的时候制动，在表中填上(没有乘客时的)制动距究汽车的制动距离与车速的关系．在光滑绝缘平面上有A．B两带同种电荷、大小可忽略的小球。开始时它们相距很远，A的质量为4m，处于静止状态，B的质量为m，以速度v正对着A运动，若开始时系统具有的电势能为零，则：当B的速度减小为零时，系统的电势能为，系统可能具有的最大电势能为。
14．如图所示，质量为m，带电量为q的离子以v0速度，沿与电场垂直的方向从A点飞进匀强电场，并且从另一端B点沿与场强方向成1500角飞出，A、B两点间的电势差为，且ΦAΦB（填大于或小于）。
15．如图所示，竖直向下的匀强电场场强为E，垂直纸面向里的匀强磁场磁感强度为B，电量为q，质量为m的带正电粒子，以初速率为v0沿水平方向进入两场，离开时侧向移动了d，这时粒子的速率v为（不计重力）。
．1914年，弗兰克和赫兹在实验中用电子碰撞静止的原子的方法，使原子从基态跃迁到激发态，证明了玻意尔提出的原子能级存在的假设，设电子的质量为m，原子的质量为M，基态和激发态的能量差为ΔE，试求入射电子的最小初动能。
．如图所示，斜面倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P为s0，以初速度v0。沿斜面上滑。滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面的下滑力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失。问滑块经过的路程有多大？
18．图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行。当A滑过距离时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回到出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为，重力加速度为。求A从P点出发时的初速度。
19．图示装置中，质量为m的小球的直径与玻璃管内径接近，封闭玻璃管内装满了液体，液体的密度是小球的2倍，玻璃管两端在同一水平线上，顶端弯成一小段圆弧。玻璃管的高度为H，球与玻璃管的动摩擦因素为μ（μ＜tg370＝，小球由左管底端由静止释放，试求：（1）小球第一次到达右管多高处速度为零？（2）小球经历多长路程才能处于平衡状态？
20．如图，长木板ab的b端固定一挡板，木板连同挡板的质量为＝4.0kg，a、b间距离s＝2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m＝1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数＝0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速＝4.0m/s沿木板向前滑动，直到和挡板相碰。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。
21．如图所示，一块质量为M长为L的均质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面的定滑轮，某人以恒定的速率v向下拉绳，物块最多只能到达板的中央，而此时的右端尚未到桌边定滑轮，试求（1）物块与板的动摩擦因数及物体刚到达板的中点时板的位移
（2）若板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面间的动摩擦因数范围
（3）若板与桌面之间的动摩擦因数取（2）问中的最小值，在物体从板的左端运动到
板的右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其它阻力不计）
．滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示。斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为。假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。求：
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离。
．如图所示，一质量为M，长为l的长方形木板B放在光滑的水平面上，其右端放一质量为m的小物体A（m＜M）。现以地面为参照系，给A和B以大小相等，方向相反的初速度使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。（1）若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度大小和方向；（2）若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达最远处（从地面上看）离出发点的距离。
24．如图所示，摆球质量为m，摆线长为l，若将小球拉至摆线与水平方向夹300角的P点处，然后自由释放，试计算摆球到达最低点时的速度和摆线中的张力大小。
［参考答案．BC．CD．B．ABCBC12．BD
13．．小于．
．．
1．19．（1），（2）．2.4J．（1），（2）（3）
．（1）（2）；
．(1)，（2）（3）
．A球从P点做自由落体运动至B点，速度为，方向竖直向下
在B点，由于绳绷紧，小球速度为，方向垂直于OB，则
小球从B点沿圆弧运动至最低点C，则
则
在C点由于新课程标准更注重联系生活、生产实际，更重视能源、环保、节能等问题，因此，能量的转化及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所体现，师生们应引起足够的重视。
、机械能守恒定律
机械能守恒的条件：系统内只有重力（或弹力）做功，其它力不做功（或没有受到其它力作用）
①从做功的角度看，只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功，机械能守恒。
②从能量的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，没有机械能与其他形式能量之间的转化，机械能守恒。
机械能守恒的方程：
①初始等于最终：
②减少等于增加：
用第二种方法有时更简捷。
对机械能守恒定律的理解：
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟弹性势能相关的弹力做功。在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能，而不涉及运动的各个过程的详细情况；因此，用来分析某些过程的状态量十分简便。
机械能中的势能是指重力势能和弹性势能，不包括电势能和分子势能，这一点要注意。
思维误区警示：
对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。
、能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。
（2）对能量守恒定律的理解：
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（3）能量转化和转移具有方向性
第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。
、各定理、定律对比
适用条件 表达式 研究对象 备注 动量守恒定律 系统所受的合外力为零 P总0=P总t 一定是两个物体或两个以上物体组成的系统 注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别 机械能守恒定律 只有重力或弹簧的弹力做功时 E1=E2
△EP减=△Ek增 一个或多个物体组成的系统 E为机械能 能量守恒定律 均适用 E总1=E总2
△E减=△E增 一个或多个物体组成的系统 E为总能量；自然界均遵从能量守恒。 、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法：
常用方法 求△Ek ΔEk=EK2-EK1 ΔEk=W合通过求合外力做功求动能的变化量（更常用） 求△EP △EP=EP2-EP1 ΔEP=WG=mgΔh通过求重力做功求ΔEP；当WG做正功时，EP减小；当WG做负功时，EP增加(常用） 求△E机 △E机=E2-E1 ΔE机=WG其它通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量（更常用） 、重力做功的特点：
WG=EP-EP2=mgΔh
重力做功与路径无关 重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）
专题从离水平地面高为H的A点以速度v0斜向上抛出一个质量为m的石块，已知v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求(1)石块所能达到的最大高度(2)石块落地时的速度：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守恒，作出石块的运动示意图（1）设石块在运动的最高点B处与抛出点A的竖直高度差为h，水平速度为vB，则vB=vOx=v0cosθ石块从A到B，根据机械能守恒定律ΔEk减=ΔEp增mgh=mv02-mvB2
联立得
则石块所能达到的（距地面）最大高度为H+h=H+
（2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A至落地点C的整个运动过程应用机械能守恒定律得mvC2=mv02+mgH
解得石块落地时的速度大小为：vC=弧形轨道末端水平，离地面的高度为H。将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s．（1）若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足＝（用H、h表示）（2）该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：
??请在坐标纸上作出s--h关系图．（3）对比实验结果与理论计算得到的s2--h关系图线（图中已画出），自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速?（填“小于”或“大于”）理论值．（4）从s2--h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是?．动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大。
解析：（1）由钢球在弧形槽上运动，机械能守恒：
竖直方向：
联立解得：s2=4Hh（2）由实验数据作图，得到一条通过原点的斜率比理论图线小的直线。（3）实验图和理论图比较可以发现，小球从相同高度下落，对应的s实
案例2、如图所示一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数为k的轻质弹簧上求：当物体速度达到最大值v时弹簧对物体做的功为多少?：在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F逐渐增大，物体的加速度a逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v。设物体向下的速度v最大时，弹簧的形变量即压缩量为x，则
mg=kx
物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。当物体速度达到最大v时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有mg(h+x)=mv2+Ep
由两式可得：Ep=mgh+-mv2，
由功能关系可知，弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等。故弹簧对物体所做的功为W=-Ep=mv2-mgh-
变式训练：
变式1、如图所示的弹性系统中，接触面光滑，O为弹簧自由伸长状态第一次将物体从O点拉到A点释放，第二次将物体从O点拉到B点释放，物体返回到O点时，下列说法正确的是：A、弹力做功一定相同
B、到达O点时动能期一定相同
C、物体在B点的弹性势能大
D、系统的机械能不守恒
变式2、如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g
解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为，有
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为，
有
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得
联立解得
（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题
案例1、如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l>h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是多少?解得：
当B球刚要落地时，B、C机械能守恒。B、C有共同速度，设v2
解得：
可见：C球离开桌边时的速度大小是变式1、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速度和两小球的质量之比。
M在最高点时，
联立解得：
变式2、如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图中位置释放（无初速度），则小球在下摆过程中（）
A绳对小车的拉力不做功B绳对小球的拉力做正功
C小球的合外力不做功D绳对小球的拉力做负功
案例3如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？
命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做的功。但运用机械能守恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态，不必考虑运动过程，因此解题就简单了。此类问题的重力势能要取每部分的中心，要选好参考平面，尽量使解题简捷。
分析与解：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒。以桌面为重力势能参考面
松手时，桌外部分的质量为ｍ，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－ｍgL＝－mgL
铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－
设此时铁链的速度为v，由机械能守恒定律有：
解得：
故铁链末端经过桌边时，铁链的运动速度是
变式训练：
变式1、如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5，现将铁链由静止释放，当多少？
解得铁链子刚刚离开滑轮时，链子的运动速度是
变式2、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道？
解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值v，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：
要使列车能通过圆形轨道，则必有v>0
解得
（五）利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题
案例5、粗细均匀的U型管两端开口，左端用活塞压着液体，此时两液面的高度差为h，液体的总长度为L，U型管的截面积为s，液体的密度为ρ。现在突然抽去活塞，（1）不计阻力影响，当两端液面相平时，液体运动的速度是多少？（2）若最终液体静止不动，则系统产生的内能是多少？
命题解读：流体的运动也是“变力”作用的运动，但在一定的位置流体的运动状态是一定的。研究流体的运动速度，能量问题，最好运用机械能守恒定律和能量转化及守恒定律。研究的方法是把变质量看作定质量，运用“补偿法”、“等效法”、“整体法”、“对称法”去解决问题。
分析与解：（1）若不计阻力。如图所示，当两端液面相平时，可以等效地认为是把高度为的液体对称地补偿到另一端，看成是定质量问题。系统重力势能的减少量等于动能的增加量。
即：
解得两端液面相平时，液体运动的速度是
（2）根据能量转化及守恒定律，系统重力势能的减少量等于内能的增加量
所以增加的内能是：
变式训练：
如图所示,容器A、B各有一个可以自由移动的活塞,活塞截面积分别为SA、SB,活塞下面是水,上面是空气,大气压恒为P0,A、B底部与带有阀门K的管道相连,整个装置与外界绝热原先,A中水面比B中高h,打开阀门,使A中水逐渐流向B中,最后达平衡,在这个过程中,大气压对水做功为______,水的内能增加为______(设水的密度为ρ)
左侧大气压对水做正功：
右侧大气压对水做负功：
大气压对水做的总功为W=WA+WB=0
（2）由能量转化及守恒定律得：
水的内能增加
案例6、如图所示，半径为r，m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
命题解读：这是一道机械能与圆周运动综合的问题，注意到两球任意时刻的角速度相等。过程中系统的始态、末态的重力势能，因参考面的选取会有所不同，但重力势能的变化是绝对的，不会因参考面的选取而异。机械能守恒的表达方式可记为：，也可写作：。
分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为vA，B
球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
据圆周运动的知识可知：vA=2vB
由上述二式可求得vA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图17所示），则据机械能守恒定律可得：
解得θ=sin-1=370
变式训练：
小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d的取值范围。
解析：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：
根据机械能守恒定律可得
由以上两式可求得：
（七）用能量守恒解问题
、如图所示，小车的质量为，后端放一质量为的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，它们一起以速度沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？
命题解读：本题考查动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律。两个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力Ff与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即。利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。
：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向，设共同速度为，则：
以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为S车
则：
即：
系统损耗机械能为：
；
变式训练：
变式1、如图4-4所示，质量为M，长为L的木板（端点为A、B，中点为O）在光滑水平面上以v0的水平速度向右运动，把质量为m、长度可忽略的小木块置于B端（对地初速度为0），它与木板间的动摩擦因数为μ，问v0在什么范围内才能使小木块停在O、A之间？
解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒。设木块、木板相对静止时速度为v，
则(M+m)v=Mv0
能量守恒定律得：
滑动摩擦力做功转化为内能：
相对位移的范围是：
解得v0的范围应是：
≤v0≤
变式2、在光滑水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的轻弹簧牢固连接，弹簧的另一端与小车左端连接。将弹簧压缩x0后用细线把物体与小车拴住，使物体静止于车上A点，如图4所示。物体m与小车间的动摩擦因素为μ，O为弹簧原长时物体右端所在位置。然后将细线烧断，物体和小车都要开始运动。求：（1）当物体在车上运动到距O点多远处，小车获得的速度最大？（2）若小车的最大速度是v1，则此过程中弹簧释放的弹性势能是多少？
解析：（1）物块m和小车M组成的系统动量守恒。当物块速度最大时，小车的速度也最大。对物块m，速度最大时，加速度为零则有kx=μmg，所以x=μmg/k。（2）由系统动量守恒，得Mv1-mv2=0，V2=Mv1/m由能量守恒定律可知，，弹簧释放的弹性势能转化为动能和内能，有△Ep=EkM+Ekm+Q
而Q=fs相对=μmg(x0-μmg/k)，△Ep=Mv12(M+m)/2m+μmg(x0-μmg/k)
（八）用能量守恒解决传送带的运动问题
案例8、如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A端运动到B端所需的时间是多少？(sin37°=0.6，cos37°=0.8)
0.75，第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动；若L＜5m，物体将一直加速运动。因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出现两种结果的特殊过程都要进行判断。
分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。开始阶段由牛顿第二定律mgsinθ＋μmgcosθ=ma1
解得a1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s2
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间t1＝v/a1＝1s
发生的位移为s＝a1ｔ12＝5m＜16m
可知物体加速到10m/s时仍未到达B点
第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2
所以a2＝2m/s2
设第二阶段物体滑动到B端的时间为t2则LAB－s＝vｔ2＋a2ｔ22
解得t2＝1sｔ2′=-11s（舍去）
故物体经历的总时间ｔ=t1＋t2=2s（2）W1=fs1=μmgcosθ1=10J
W2=-fs2=-μmgcosθ·s2=-22J
所以，W=W1+W2=10-22=-12如图12所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。：由题意可知皮带长=h/sin30°=3m.
工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移为达到0后做匀速运动的位移s-s1=v0（t-t1）加速运动的加速度为a=v0/t1=2.5m/s2工件受的支持力N=mgcosθ，对工件据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma解出动摩擦因数为在时间t1内，皮带运动位移s2=v0t1=1.6m工件相对皮带的位移△s=s2-s1=0.8m在时间t1内，摩擦生热Q=μmgcosθ△s=60J工件获得的动能Ek=mv02/2=20J工件增加的势能Ep=mgh=150J电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep=230J案例、如图6所示的A、B是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同之外，其他一切全同。将此两容器抽成真空，再同时分别插入两个水银池中，当水银柱停止运动时，问二管中水银的温度是否相同？为什么?设水银与外界没有热交换。解：不同。A管中水银的温度略高于B管中水银的温度。两管插入水银池时，大气压强均为P0，进入管中的水银的体积均为V，所以大气压力对两池中水银所做的功相同，但两装置中水银重力势能的增量不同，所以两者内能改变量也不同。由图可知，A管中水银的重力势能较小，所以A管中水银的内能增量较多，其温度应略高。有人设计了这样一台永动机：距地面一定高度架设一个水槽，水从槽底的管中流出，冲击一个水轮机，水轮机的轴上安装一个抽水机和一个砂轮．他指望抽水机把地面水槽里的水抽上去，这样循环不已，机器不停地转动，就可以永久地用砂轮磨制工件做功了请你分析一下，高处水槽中水的势能共转变成哪几种形式的能，说明这个机器是否能够永远运动下去高处水槽中水的势能砂轮磨制工件这个机器能够永远运动下去案例、有一台内阻和损耗均不计的直流发电机，其定子的磁场恒定。先把它的电枢（转子）线圈与一个电阻R连接，再在电枢的转子轴上缠绕上足够长的轻绳绳端悬挂一质量为m的重物，如图9所示，重物最后以速率v1匀速下降。现将一电动势为E，内阻不计的电源，如图10所示，接入电路中，使发电机作为电动机用。悬挂重物不变，最后重物匀速上升。求重物上升的速率v2。电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出：在图9的物理过程中，重物以速率v1匀速下降，带动发电机线圈匀速转动，切割磁感线产生感应电动势，将机械能转化为电能，在电路中消耗。由能量守恒定律可得mgv1t=I12Rt
在图10的物理过程中，电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出由能量守恒定律可得EI2t=I22Rt+mgv2t
在两次工作过程中电机的线圈都匀速转动。作用在转轴上力矩都平衡，而两次重力矩相等，从而两次作用在线圈上的磁力矩相等，所以有I1=I2
联解得
变式训练：
某一用直流电动机提升重物的装置，如图11所示，重物的质量m=50kg，电源电动势E=110V，不计电源电阻及各处摩擦，当电动机以v=0.90m/s的恒定速度向上提升重物时，电路中的电流强度I=5A，由此可知，电动机线圈的电阻R是多少?（g=10m/s2）。解析：在图11的物理过程中，电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出由能量守恒定律可得：EIt=I2Rt+mgvt
解得电动机线圈的电阻R=4Ω.电磁感应中的能量问题如图16（a）所示，倾角为θ=37°，电阻不计，间距L=0.3m，长度足够的平行导轨所在处，加有磁感应强度B=1T，方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R=2Ω的电阻。另一横跨在平行导轨间的金属棒质量m=1kg，电阻r=2Ω，其与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上的初速度v0=10m/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端的电量Δq=0.1C（g=10m/s2，sin370=0.6），求上端电阻R上产生的焦耳热热Q。：金属棒以初速度v0向上滑行的过程中克服重力、安培力和摩擦力做功，动能分别转化为重力势能、电能和内能。从电路构成可知导轨上、下端电阻发出的热量相等，由焦耳定律可求出金属棒发热是R发热的四倍。由电磁感应定律可得△q=△φ/R，可求出金属棒扫过的面积和沿导轨上滑的距离。由电流定义式和并联电路规律，闭合电路欧姆定律和电磁感应定律，可得
2△q=I△t=E△t/R=△φ/R总所以△φ=2△qR总=0.6Wb由磁通量定义，可得△S=△φ/B=0.6m2金属棒沿导轨上滑的距离L0为L0=△S/L=2m金属棒沿导轨上滑的受力如图16（b）所示。金属棒所受各力中安培力是变力，其做负功使机械能转化为电能，进而变为内能。由能量守恒定律可得Q总=mv02/2-mgLsinθ-μmgLcosθ=30J。
则上端电阻发热量Q=Q总/6=5J如图17所示间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感强度为B的匀强磁场中，一端接阻值是R的电阻。一电阻是R0，质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t=0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v=vmsinωt，不计导轨电阻。求：（1）从t=0到t=2π/ω时间内电阻R产生的热量。（2）从t=0到t=π/2ω时间内外力F所做的功。解析：（1）导体棒产生的感应电动势e=BLvmsinωt是正弦交流电，其有效值
在△t=2π/ω=T的时间内，电阻R上产生的热量为：Q=I2RT=πRB2L2vm/ω(R+R0)2
（2）t=0到t=π/2ω时间是1/4，在这段时间内对导体棒运用能量守恒定律有：W外=mvm2/2+Q′，Q′是这段时间内电阻R和R0产生的热量Q′=E2/(R+R0)·π/2ω=πB2L2vm2/4ω(R+R0)
所示这段时间内外力所做的功是W外=mvm2/2+πB2L2vm2/4ω(R+R0)误区、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化典型案例、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
错误解法：W=mgh+
应对办法：如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律先求解势能的变化，再根据弹力做功与弹性势能的关系求解弹力做的功。
走出误区：解法一由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则：
系统机械守恒：mgh+=Ep+0
弹力做功：W弹力=0-EP
解得：W弹簧=-（mgh+）=-125J
解法二根据动能定理：
解得：W弹簧=-（mgh+）=-125J
误区：误认为“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”都与杆或绳子垂直，都不做功，每个物体的机械能都守恒典型案例、如图所示，在长为l的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
错误解法：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功。
应对办法：绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力对一个物体做正功，对另一个物体做负功，这一对作用力与反作用力做功的代数和为零，系统的机械能守恒。
走出误区：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：
2mgl=
又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上二式得：
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于A有
WA+mg=-0
所以WA=－mgl
对于B有WB+mgi=，所以WB=02mgl
误区、误认为始末状态机械能守恒成立，忽视物体的过程典型案例、如图所示，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球，L点是小球下垂时的平衡位置，Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OL直线上，N点在Q点正上方，且QN=QL，M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向L摆动，运动过程中空气阻力可忽略不计，小球到达L后。因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动，在此以后()
A．小球向右摆到M点，然后就摆回来B．小球沿圆弧摆到N点，然后竖直下落
C．小球将绕Q点旋转，直线细绳完全缠绕在钉子上为止
D．以上说法都不正确
错误解法：因为全程只有重力做功，机械能一定守恒，从P到N运用机械能守恒定律，P点机械能为零，N点的机械能必为零，所以B正确。
应对办法：对于竖直面内的圆周运动问题，首先应该考虑圆周运动的临界条件，然后再考虑机械能守恒定律。。
走出误区：从P到M，根据机械能守恒定律得：vM>0可见小球能够通过M点继续做圆周运动。A错误。
设QN=QL=R若使小球能够做圆周运动到达N点，至少有
根据机械能守恒定律，选取PN水平面势能为零。要求PN两点的相对高度小球不可能到达N点。B错误。
由上面的分析知道，小球只能在MN之间的某位置斜抛出去，C错误。
正确答案：D
误区、误认为摩擦产生的热量就等于物体动能的增加，混淆能量的转化与守恒定律。
典型案例、如图所示，传送带以v的初速度匀速运动。将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带带到B端，已知物体到达B端之前已和传送带相对静止，电动机的内阻不可忽略。则下列说法正确的是（）
A．传送带对物体做功为
B．传送带克服摩擦做功
C．电动机消耗的电能为
D．在传送物体过程产生的热量为
错误理解：两物体的相对位移就等于物体的对地位移，根据动能定理系统产生的热量就是物体动能的增加。D正确。
应对办法：这种解法结果虽然碰对了，但是理解却是完全错误的。首先能量守恒是对系统而言的，其次上述观点不符合能的转化及守恒定律。摩擦力对物体做了正功，物体的动能增加了，而物体的内能却也应该增加了，显然不符合能量转化及守恒定律。系统摩擦发热产生的内能，滑动摩擦力对系统做功是阻力做功才损失机械能，增加内能。
分析与解：物体先加速后匀速，在加速过程中滑动摩擦力对物体做功，使物体的动能增加，由动能定理知传送带对物体做功为，A正确。物体移动的位移是，皮带移动的位移是，根据功的定义，传送带克服摩擦做功应为，B错误。由能量守恒定律知电机消耗的电能就是，C错误。由能量守恒定律滑动摩擦产生的内能Q=，D正确。
正确答案：AD
误区：认为全过程机械能都守恒，忽视机械能的瞬时损失典型案例、一质量为m的小球，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把小球从O点的正上方离O点的距离为的O1点以水平的速度抛出，如图所示。试求（1）轻绳刚伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
（2）当小球到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？
错误解法：对全过程，设质点到达O点的正下方时速度为v，根据能量守恒定律可得：
根据向心力公式得：，解得：
应对办法：认真分析小球运动的过程，可知小球运动经过三个阶段。平抛、绷直时、圆周运动。绳子绷直以后，小球在竖直面内做圆周运动，故知绳子绷直时瞬时速度马上变为切线方向。有能量的损失。
走出误区：上述解法是错误的。这些同学对物理过程没有弄清楚，忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失。其实质点的运动可分为三个过程：
第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图所示，则，
，其中
联立解得。
第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图所示
由于绳不可伸长，故绳绷直时，v0损失，质点仅有速度vy，
且。
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为v′，根据机械能守恒守律有：
设此时绳对质点的拉力为T，则
联立解得：。
误区：误认为连接体的速度都是相同的，混淆“物体运动的速度”与“绳子的速度”典型案例6、如图，半径为R的1/4圆弧支架竖直放置，支架底AB离地的距离为2R，圆弧边缘C处有一小定滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体，挂在定滑轮两边，且m1＞m2，www.ks5u.comwww.ks5u.com开始时m1、m2均静止，m1、m2可视为质点，不计一切摩擦。求：
⑴m1释放后经过圆弧最低点A时的速度；
⑵若m1到最低点时绳突然断开，求m1落地点离A点水平距离；
⑶为使m1能到达A点，m1与m2之间必须满足什么关系?
错误解法：两个物体的速度大小相等v2=v1
由机械能守恒定律得：
解得：
应对办法：物体运动到终点的速度图如图所示，由此可知两物体的速度大小并不相等。而两物体沿着绳子的速度分量相等。即m1沿着绳子的速度分量等于m2的速度。
走出误区：⑴设m1运动到最低点时速度为v1，此时m2的速度为v2，
速度分解如图，得：www.ks5uv2=v1sin45°www.ks5u.com
由m1与m2组成系统，机械能守恒，有
由上述两式求得
⑵断绳后m1做平抛运动s=v1t
解得：s=4Rwww.ks5u.com
⑶m1能到达A点满足条件v1≥0
又解得：www.ks5u.com
误区、误认为两物体竖直高度变化相同，混淆半径的的变化与高度的变化不等
典型案例、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速度和两小球的质量之比。
错误解法：M下降的高度与m升高的高度相等都是R
根据机械能守恒定律得：
m在最高点时，
解得：
应对办法：作出两小球运动状态的图景，由于绳长不变，所以M下降，m上升R。
走出误区：对系统运用机械能守恒定律
m在最高点时，
联立解得：
误区、误认为整个铁链子的动能变化是初始位置的重力做功引起的。典型案例、如图所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？
错误解法：根据动能定理，系统动能的变化是由于下垂直垂1/3部分做功引起。根据动能定理：
解得：
走出误区：动能定理不是物理上的万能公式。本题中铁链子在桌面上运动的过程中的下垂部分重力时刻变化，属于变质量、变重力问题。这个变重力做功我们还不能直接求解。这类问题只能运用机械能守恒定律解决。
松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒。以桌面为重力势能参考面
松手时，桌外部分的质量为ｍ，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－ｍgL＝－mgL
铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－
设此时铁链的速度为v，由机械能守恒定律有：
解得：
故铁链末端经过桌边时，铁链的运动速度是
）
A.物体克服阻力做功
B.物体的动能转化为其他形式的能量
C.物体的势能转化为其他形式的能量
D.物体的机械能转化为其他形式的能量
3．一吊车吊物体匀加速上升，则（）
A吊车对物体所做的功等于机械能的增量
B绳的拉力与重力的合力对物体所做的功等于动能的增量
C物体克服重力做功等于势能的增量
D绳的拉力与重力的合力对物体所做的功等于物体势能的增量4．一块质量为m的木块放在地面上，用一根弹簧连着木块，如图所示。用恒力F拉弹簧，使木块离开地面，如果力F的作用点向上移动的距离为h，则（）
A木块的重力势能增加了Fh B．木块的机械能增加了Fh
C拉力所做的功为Fh D．木块的动能增加Fh的物体，以a=2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降高度过程中，物体的（）
A．重力势能减少了2mghB．动能增加了2mgh
C．机械能保持不变D．机械能增加了mgh
6．物体做自由落体运动，代表动能，代表势能，代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列所示图像中，能正确反映各物理量之间的关系的是（）
7．质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F的作用从静止开始通过位移时的动能为E1，当物体受水平力2F作用，从静止开始通过相同位移，它的动能为E2，则()
A．E2=E1B.E2=2E1C.E2＞2E1D.E1＜E2＜2E1
8．如图所示，传送带以的初速度匀速运动。将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带带到B端，已知物体到达B端之间已和传送带相对静止，则下列说法正确的是（）
A．传送带对物体做功为
B．传送带克服摩擦做功
C．电动机由于传送物体多消耗的能量为
D．在传送物体过程产生的热量为
9．利用传感器和计算机可以测量快速变化的力的瞬时值。如图中的右图是用这种方法获得的弹性绳中拉力随时间的变化图线。实验时，把小球举高到绳子的悬点O处，然后放手让小球自由下落。由此图线所提供的信息，以下判断正确的是（）
A.t2时刻小球速度最大
B.t1~t2期间小球速度先增大后减小
C.t3时刻小球动能最小
D.t1与t4时刻小球速度一定相同
10．如图所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()
A.物体的重力势能减少，动能增加
B.斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
11．如图所示A．B．C．D．．如图所示…
（2）分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度、、、…;
（3）做出W-v草图；
（4）分析W-v图像。如果W-v图像是一条直线，表明W∝v；如果不是直线，可考虑是否存在W∝、W∝、W∝等关系。
以下关于该实验的说法中有一项不正确，它是。
A本实验设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W…。所采用的方法是选用同样的橡皮筋，并在每次实验中使橡皮筋拉伸的长度保持一致。当用1条橡皮筋进行实验室，橡皮筋对小车做的功为W，用2条、3条、…。橡皮筋并在一起进行第2次、第3次、…。实验时，橡皮筋对小车做的功分别是2W、3W…。
B小车运动中会受到阻力，补偿的方法，可以使木板适当倾斜。
C某同学在一次实验中，得到一条记录纸带。纸带上打出的点，两端密、中间疏。出现这种情况的原因，可能是没有使木板倾斜或倾角太小。
D根据记录纸带上打出的点，求小车获得的速度的方法，是以纸带上第一点到最后一点的距离来进行计算。
四、论述计算题（共6小题，共92分，解答下列各题时，应写出必要的文字说明、表达式和重要步骤。只写最后答案的不得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。）
17.某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40km/h，一次一辆卡车在市区路面紧急刹车后，量得刹车痕迹s=18m，假设车轮与路面的滑动摩擦系数为0.4。问这辆车是否违章？试通过计算预以证明。
18．如图所示，在光滑的平台上，有一质量为m的物体，物体与轻绳的一端相连，轻绳跨过定滑轮（定滑轮的质量和摩擦不计）另一端被滑轮正下方站在地面上的人拉住，人与绳的接触点和定滑轮的高度差为h，若此人以速度v0向右匀速前进s，求在此过程中人的拉力对物体所做的功。
19．一半径R=1米的1/4圆弧导轨与水平导轨相连，从圆弧导轨顶端A静止释放一个质量m=20克的木块，测得其滑至底端B的速度vB=3米/秒，以后又沿水平导轨滑行BC=3米而停止在C点，如图8所示，试求（1）圆弧导轨摩擦力的功；（2）BC段导轨摩擦力的功以及滑动摩擦系数（取g=10米/秒2）
20．如图9所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与A、B连，A、B的质量分别为、，开始时系统处于静止状态．现用一水平恒力F拉物体A，使物体B上升．已知当B上升距离时，B的速度为．求此过程中物体A克服摩擦力所做的功．重力加速度为．
21．儿童滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD组成，中间用很短的光滑圆弧槽BC连接，如图10所示.质量为m的儿童从斜槽的顶点A由静止开始沿斜槽AB滑下，再进入水平槽CD，最后停在水平槽上的E点，由A到E的水平距离设为L.假设儿童可以看作质点，已知儿童的质量为m，他与斜槽和水平槽间的动摩擦因数都为μ，A点与水平槽CD的高度差为h.
（1）求儿童从A点滑到E点的过程中，重力做的功和克服摩擦力做的功.
（2）试分析说明，儿童沿滑梯滑下通过的水平距离L与斜槽AB跟水平面的夹角无关.
（3）要使儿童沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过v，斜槽与水平面的夹角不能超过多少？
22．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记。图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=10m/s2）
23．如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=05l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计线与钉子碰撞时的能量损失。
可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。
考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律
提示：若物体除了重力、弹性力以外，还其他力(非重力、弹性力)不做功，则机械能守恒得，由得，由得，可求向心加速度。
14．100J75J15.15N
16．答案：I．230mA，057V，320ΩII．（1）3，06，1，0～10（2）电压表的分流III答案：D。
。得v==12m/s=43.2km/h。因为v0＞v规，所以该卡车违章了。
18．解：当人向右匀速前进的过程中，绳子与竖直
方向的夹角由0°逐渐增大，人的拉力就发生了变化，
故无法用W=Fscosθ计算拉力所做的功，而在这个过
程中，人的拉力对物体做的功使物体的动能发生了变
化，故可以用动能定理来计算拉力做的功。
当人在滑轮的正下方时，物体的初速度为零，
当人水平向右匀速前进s时物体的速度为v1，由图
1可知：v1=v0sina
⑴根据动能定理，人的拉力对物体所做的功
W=mv12/2－0
⑵由⑴、⑵两式得W=ms2v12/2(s2+h2)
19．解：（1）对AB段应用动能定理：mgR+Wf=
所以：Wf=-mgR=-20×10-3×10×1=-0.11J
（2）对BC段应用动能定理：Wf=0-=-=-0.09J。又因Wf=μmgBCcos1800=-0.09，得：μ=0.153。
20．解：在此过程中，B的重力势能的增量为，A、B动能增量为，恒力F所做的功为，用表示A克服摩擦力所做的功，根据功能关系有：
解得：
21．解：（1）儿童从A点滑到E点的过程中，重力做功W=mgh
儿童由静止开始滑下最后停在E点，在整个过程中克服摩擦力做功W1，由动能定理得，
=0，则克服摩擦力做功为W1=mgh
（2）设斜槽AB与水平面的夹角为，儿童在斜槽上受重力mg、支持力N1和滑动摩擦
力f1，，儿童在水平槽上受重力mg、支持力N2和滑动摩擦力f2，
，儿童从A点由静止滑下，最后停在E点.
由动能定理得，
解得，它与角无关.
（3）儿童沿滑梯滑下的过程中，通过B点的速度最大，显然，倾角越大，通过B点的速度越大，设倾角为时有最大速度v，由动能定理得，
解得最大倾角
22．解析：本题考查平抛、圆周运动和功能关系。
设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
解得
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
解得m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能原理
由此可得t=2.53s
23．解：这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题。题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（是做圆周运动的半径）。
设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x，则：
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：
①
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：
结合可得
②
由机械能守恒定律得：
即：③
由①②③式联立解得：
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径约大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了。
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x’如图解，则
④
在最高点：⑤
由机械能守恒定律得：⑥
由④⑤⑥联立得
在水平线上EF上钉子的位置范围是：
1
2011年高考物理总复习二轮精品资料太原市第十二中学主编：姚维明
1
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功
机械能
功的定义：
W=Flcosα
平均功率：
P=w/t
=Fvcosα
瞬时功率：
P=Fvcosα
动能：
EK=
重力势能：EK=mgh
弹性势能：
动能定理：
W合=
抛体运动
单摆
弹簧振子
——
——
功能关系：
W其它=
α
m
P
v0
图1
图2
A
B
C
h
x1比1
x2
α
图3
m1
m1
m1
m1
图4
m1
m2
m3
m4
v1
v3
v2
v4
A
B
C
D
E
图5
A
B
θ
h1
图6
h2
图7
h1
h2
图8
h1
h2
图9
A
B
图12
B
A
P
m
Q
H
H
图13
vy
vx
v
图14
图15
图16
图17
B
A
r
图18
vB
vB1
vB2
vA2
vA1
vA
O
B
θ
E
A
图19
O
B
θ
E
A
图20
F
FE
mg
A
B
E
图21
A
B
E
图22
F
mg
FE
θ
θ
图23
mg
θ
qvB
FNN
图24
A
C设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强如图所示，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是：A．这离子必带正电荷
B．A点和B点位于同一高度
C．离子在C点时速度最大
D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点
B
图25
图26
图27
图26
P
Q
图27
P
Q
F
F’
A
B
F
A
B
C
D
2-5-10
A
v
B
A
B
1500
v0
×××××
×××××
v0
B
E
v
d
P
s0
θ
A
P
B
H
370
370
s
b
a
ι
v
M
m
H
C
B
h/2
L
A
B
A
v1
v2
l
O
P
B
l
300
300
A
功
机械能
动能：
EK=
重力势能：EK=mgh
弹性势能：
动能定理：
W合=
抛体运动
单摆
弹簧振子
功能关系：
WG=mgh1-mgh2
W弹力=
W其它=
机械能守恒定律
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
能的转化及
守恒定律
图1
图
OAB
图2
图
R
M
m
图16
v0
R
图16
A
B
θ
图17
D
d
L
O
m
B
C
A
图15
图7
图8
O
A
B
vA
vB
图7
v0
O1
R
O
θ
图9
O1
vx
vy
图10
v0
θ
v
v0
v0
v
vy
v/
O
O1
图11
2R
O
A
B
C
m2
m1
地面
图12
O
v1
R
C
v2
v2
图13
R
M
m
F
m
P
地球
Q
轨道1
轨道2
m
F
B
D
E
A
x
r
v0
α
h
s
图1
v2
v1
α
m
F
B
D
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A
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r’
v’
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