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http://blog.sina.com.cn/s/blog_667739ba0100veth.html 桶排序的基本思想 假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ,将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ,那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。 假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶,然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中,并在每个非空的桶中进行快速排序。 桶排序代价分析 桶排序利用函数的映射关系,减少了几乎所有的比较工作。实际上,桶排序的f(k)值的计算,其作用就相当于快排中划分,已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。 对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分: (1) 循环计算每个关键字的桶映射函数,这个时间复杂度是O(N)。 (2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序,其时间复杂度为 ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。 很显然,第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此,我们需要尽量做到下面两点: (1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中,这样每个桶就有[N/M]个数据量。 (2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据,这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。 当然,做到这一点很不容易,数据量巨大的情况下,f(k)函数会使得桶集合的数量巨大,空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。 对于N个待排数据,M个桶,平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为: O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM) 当N=M时,即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。 总结: 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C),其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N,桶数量M越大,其效率越高,最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M),如果输入数据非常庞大,而桶的数量也非常多,则空间代价无疑是昂贵的。此外,桶排序是稳定的。 我个人还有一个感受:在查找算法中,基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。大家好好体会一下:Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢? 基数排序 上面的问题是多关键字的排序,但单关键字也仍然可以使用这种方式。 比如字符串“abcd” “aesc” "dwsc" "rews"就可以把每个字符看成一个关键字。另外还有整数 425、321、235、432也可以每个位上的数字为一个关键字。 基数排序的思想就是将待排数据中的每组关键字依次进行桶分配。比如下面的待排序列: 278、109、063、930、589、184、505、269、008、083 我们将每个数值的个位,十位,百位分成三个关键字: 278 -> k1(个位)=8 ,k2(十位)=7 ,k3=(百位)=2。 然后从最低位个位开始(从最次关键字开始),对所有数据的k1关键字进行桶分配(因为,每个数字都是 0-9的,因此桶大小为10),再依次输出桶中的数据得到下面的序列。 930、063、083、184、505、278、008、109、589、269 再对上面的序列接着进行针对k2的桶分配,输出序列为: 505、008、109、930、063、269、278、083、184、589 最后针对k3的桶分配,输出序列为: 008、063、083、109、184、269、278、505、589、930 性能分析 很明显,基数排序的性能比桶排序要略差。每一次关键字的桶分配都需要O(N)的时间复杂度,而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(N)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字,则基数排序的时间复杂度将是O(d*2N) ,当然d要远远小于N,因此基本上还是线性级别的。基数排序的空间复杂度为O(N+M),其中M为桶的数量。一般来说N>>M,因此额外空间需要大概N个左右。 但是,对比桶排序,基数排序每次需要的桶的数量并不多。而且基数排序几乎不需要任何“比较”操作,而桶排序在桶相对较少的情况下,桶内多个数据必须进行基于比较操作的排序。因此,在实际应用中,基数排序的应用范围更加广泛。 从《基于比较的排序结构总结 》中我们知道:全依赖“比较”操作的排序算法时间复杂度的一个下界O(N*logN)。但确实存在更快的算法。这些算法并不是不用“比较”操作,也不是想办法将比较操作的次数减少到 logN。而是利用对待排数据的某些限定性假设 ,来避免绝大多数的“比较”操作。桶排序就是这样的原理。 桶排序的基本思想 假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ,将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ,那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。 [桶—关键字]映射函数 bindex=f(key) 其中,bindex 为桶数组B的下标(即第bindex个桶), k为待排序列的关键字。桶排序之所以能够高效,其关键在于这个映射函数,它必须做到:如果关键字k1<k2,那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i+1)中最大数据。很显然,映射函数的确定与数据本身的特点有很大的关系,我们下面举个例子: 假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶,然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中,并在每个非空的桶中进行快速排序后得到如下图所示:
对上图只要顺序输出每个B[i]中的数据就可以得到有序序列了。 桶排序代价分析 桶排序利用函数的映射关系,减少了几乎所有的比较工作。实际上,桶排序的f(k)值的计算,其作用就相当于快排中划分,已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。 对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分: (1) 循环计算每个关键字的桶映射函数,这个时间复杂度是O(N)。 (2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序,其时间复杂度为 ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。 很显然,第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此,我们需要尽量做到下面两点: (1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中,这样每个桶就有[N/M]个数据量。 (2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据,这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。 当然,做到这一点很不容易,数据量巨大的情况下,f(k)函数会使得桶集合的数量巨大,空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。 对于N个待排数据,M个桶,平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为: O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM) 当N=M时,即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。 总结: 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C),其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N,桶数量M越大,其效率越高,最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M),如果输入数据非常庞大,而桶的数量也非常多,则空间代价无疑是昂贵的。此外,桶排序是稳定的。 其实我个人还有一个感受:在查找算法中,基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。大家好好体会一下:Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢? 桶排序在海量数据中的应用 一年的全国高考考生人数为500 万,分数使用标准分,最低100 ,最高900 ,没有小数,你把这500 万元素的数组排个序。 分析:对500W数据排序,如果基于比较的先进排序,平均比较次数为O(5000000*log5000000)≈1.112亿。但是我们发现,这些数据都有特殊的条件: 100=<score<=900。那么我们就可以考虑桶排序这样一个“投机取巧”的办法、让其在毫秒级别就完成500万排序。 方法:创建801(900-100)个桶。将每个考生的分数丢进f(score)=score-100的桶中。这个过程从头到尾遍历一遍数据只需要500W次。然后根据桶号大小依次将桶中数值输出,即可以得到一个有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人,501分有***人。 实际上,桶排序对数据的条件有特殊要求,如果上面的分数不是从100-900,而是从0-2亿,那么分配2亿个桶显然是不可能的。所以桶排序有其局限性,适合元素值集合并不大的情况。 源代码
上面源代码的桶内数据排序,我们使用了基于单链表的直接插入排序算法。可以使用基于双向链表的快排算法提高效率。 #include <stdio.h> void swap(int *a, int *b) { int temp = *a; *a = *b; *b = temp; } int partition(int *array, int low, int high) { int middle = (low + high)/2; for(int i=low,j=high; i<j; ) { while(array[i] < array[middle]) ++i; if(i < j && i != middle) { swap(&array[i], &array[middle]); middle = i; } while(array[j] > array[middle]) --j; if(i < j && j != middle) { swap(&array[j], &array[middle]); middle = j; } } return middle; } int quicksort(int *array, int low, int high) { int piovt_pos; if(low < high) { piovt_pos = partition(array, low, high); quicksort(array, low, piovt_pos - 1); quicksort(array, piovt_pos + 1, high); } } struct barrel { int a[10]; int count; }; int main() { int data[] = {23, 12, 3, 54, 1, 98, 24, 34}; int min = data[0]; int max = data[0]; for(int i=1; i<sizeof(data)/sizeof(int); ++i) { min = min < data[i] ? min : data[i]; max = max > data[i] ? max : data[i]; } int num = (max - min + 1)/10 + 1; barrel *pBarrel = new barrel[num]; for(int i=0; i<sizeof(data)/sizeof(int); ++i) { int j = (pBarrel+((data[i]-min+1)/10))->count; (pBarrel+((data[i]-min+1)/10))->a[j] = data[i]; (pBarrel+((data[i]-min+1)/10))->count++; } static int pos = 0; for(int i=0; i<num; ++i) { quicksort((pBarrel+i)->a, 0, (pBarrel+i)->count-1); for(int j=0; j<(pBarrel+i)->count; ++j) { data[pos++] = (pBarrel+i)->a[j]; } } for(int i=0; i<8; ++i) { printf("%d ", data[i]); } return 0; }
简单来说,就是把数据分组,放在一个个的桶中,然后对每个桶里面的在进行排序。 例如要对大小为[1..1000]范围内的n个整数A[1..n]排序 可以把桶设为大小为10的范围,具体而言,设集合B[1]存储[1..10]的整数,集合B[2]存储 (10..20]的整数,……集合B[i]存储( (i-1)*10, i*10]的整数,i = 1,2,..100。总共有 100个桶。 然后对A[1..n]从头到尾扫描一遍,把每个A[i]放入对应的桶B[j]中。 然后再对这100个桶中每个桶里的数字排序,这时可用冒泡,选择,乃至快排,一般来说任 何排序法都可以。最后依次输出每个桶里面的数字,且每个桶中的数字从小到大输出,这 样就得到所有数字排好序的一个序列了。 假设有n个数字,有m个桶,如果数字是平均分布的,则每个桶里面平均有n/m个数字。如果 对每个桶中的数字采用快速排序,那么整个算法的复杂度是 O(n + m * n/m*log(n/m)) = O(n + nlogn - nlogm) 从上式看出,当m接近n的时候,桶排序复杂度接近O(n) 当然,以上复杂度的计算是基于输入的n个数字是平均分布这个假设的。这个假设是很强的 ,实际应用中效果并没有这么好。如果所有的数字都落在同一个桶中,那就退化成一般的 排序了。 |
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