本节课帮助学生学习等腰三角形的性质,主要解决以下三个问题。 1.等腰三角形的性质定理“等边对等角”常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题. 一般用列方程求角的方法.
∴∠4=∠3+∠DCE(等腰三角形两个底角相等) 同理,∠2=∠1+∠DCE 又∵∠2是△ACE的外角(外角定义) ∴∠2=∠3+∠A(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和) 同理,∠4=∠1+∠B ∴∠3+∠DCE=∠1+∠B (1) ∠1+∠DCE=∠3+∠4(2) 由(1)+(2),得 2∠DCE+∠3+∠1=∠1+∠3+∠A+∠B ∴2∠DCE=∠A+∠B ∵∠ACB=90°(已知) ∴∠A+∠B=90°(直角三角形中两个锐角互余) ∴2∠DCE=90° ∴∠DCE=45° 摸底检测1,可设∠ABD=x°,由“等边对等角”可得∠A=2x,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠BDC=3x,从而可推出∠ABC=∠C=3x,再由三角形内角和定理,构造关于x的方程,得3x+3x+2x=180,从而可知x=22.5°,因此∠A=45°,应该选(C). 2.等腰三角形“三线合一”性质定理的应用,必须注意等腰是前提条件,一条线段为顶角平分线(或底边上的中线或底边上的高线)是必要条件,这两个条件必须同时具备,才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线(其他两条)的结论。我们常常要通过三角形全等构造等腰三角形,从而运用“三线合一”的性质证明角相等,两条线段相等,两条直线垂直。
在△ABC和△AFE中, ∵AB=AF,∠B=∠F,BC=FE(已知) ∴△ABC≌△AFE(SAS) ∴AC=AE(全等三角形对应边相等) ∴△ACE是等腰三角形(等腰三角形定义) ∵D是CE的中点(已知) ∴AD⊥CE(等腰三角形底边上的中线与底边上的高线互相重合) 思考:如果本题要证明∠BCE=∠FED,怎样推理呢?你的依据是什么?若证明∠BAD=∠FAD呢?(证明△ABC≌△AFE后,证明对应角相等,再由等腰三角的性质,等边对等角,及等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合,得到∠BCD=∠FED,∠BAD=∠FAD. 摸底检测2,利用等腰三角形“三线合一”的性质,作∠BAC的平分线AE,可推出AE⊥BC,这时出现“燕尾”形的Rt△AEB和Rt△CDB,利用直角三角形两个锐角互余及同角的余角相等推出∠BCD=∠BAC,即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半,因此应该选择(C). 你知不知道?等边三角形中不仅三线合一,而且“四心归一”,分别是:外心、内心、重心、垂心。以后做题时有可能帮你走很多捷径呢! 3.在较复杂的图形中,能够识别出等边三角形的边和角所分布的三角形,从而通过证明两个三角形全等而证明两条线段相等或两个角相等。利用等边三角形的性质,可以通过旋转变换,进行一题多变,从而寻找规律。
∴AB=CB,BE=BD(等边三角形定义) ∴∠ABC=60°,∠EBD=60°(等边三角形每个内角都等于60°) ∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD 在△ABE和△CBD中 ∴△ABE≌△CBD(SAS) ∴AE=CD(全等三角形对应边相等) ∵AE+ED=AD,且ED=BD,∴BD+CD=AD. 思考:此题图形可看作是以△CBD的BC、BD边为边在BC的同侧作等边△ABC和△BED. 若将△CBD改为直角三角形或改为锐角三角形,再改变一下结论,你细心地体会一下,有什么感悟?(1)已知:如图一,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,△BCE,△ABD均为等边三角形,连结DE. 求证:BE⊥DE. (2)已知:如图二,△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC边为边,在△ABC外的等边三角形,CE、BF相交于O,求∠EOB的度数. 请你试一试,相信你在例3的帮助下,很快就会形成思路。图二中的∠EOB应等于60°。 摸底检测3中一个角的平分线又是这个角所对边的垂线,显然只有等腰三角形顶角平分线垂直于底边,但此题是任何一个角的平分线垂直于这个角的对边,显然这个三角形是特殊的等腰三角形,只能是等边三角形,而且在等边三角形中,“三线合一”的线段有三条。因此这个题应该选(B). 曾经有过一个数学家写了一本小说叫“二维国”,书中写道:“等边三角形是三角阶层中的最尊贵的人物,其它的三角形都拼命地希望自己的后代是等边的。”我们足以看出等边三角形在三角王国中的重要地位。一位哲人说过:“对称即是美。”等边三角形是三角形中最对称的绅士,也是最优雅,最美的。 1.判断正误:
提示与答案: 提示:(2):在BC上截取BE=BA,用SAS证△BED≌△BAD,从而ED=AD,由已知AD=CD,推得CD=ED,则∠C=∠CED. 由两三角形全等又知∠A=∠BED,因此∠A+∠CED=180°,即∠C+∠A=180°. |
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