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2012-02-23  卓越568

    本节课帮助学生学习等腰三角形的性质,主要解决以下三个问题。
   1.证明两个角相等,不是只能用证明两个三角形全等的方法,可由“等边对等角”即由边相等向角相等转化。这是证明两个角相等的一条捷径。
    2.通过学习等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合即等腰三角形三线合一的性质定理,明确它是证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。在等腰三角形中,添加底边的中线或高线或顶角的平分线是常见的辅助线。
    3.通过学习进一步明确等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性质,常常利用等边三角形三边相等,三个角相等且每个角都等于60°的性质,作为证三角形全等的条件。

[问题精讲]

1.等腰三角形的性质定理“等边对等角”常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题. 一般用列方程求角的方法.

例1.已知:如图,∠ACB=90°,D、E在AB上,AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.
    分析:由AD=AC,知△ADC是等腰三角形,因此∠4=∠3+∠DCE. 又由BE=BC,知△BEC是等腰三角形,因而∠2=∠1+∠DCE. 若求∠DCE的度数,必须利用已知的角度,∠ACB=90°,且再利用三角形内角和定理或直角三角形中两锐角互余这个隐含的条件沟通∠2与∠4. 我们可推出∠4=∠B+∠1,∠2=∠A+∠3,通过等量代换,建立方程组,从而解方程组求出∠DCE.
T3.bmp (3990 字节)
  解:∵AD=AC(已知)
    ∴∠4=∠3+∠DCE(等腰三角形两个底角相等)
    同理,∠2=∠1+∠DCE
    又∵∠2是△ACE的外角(外角定义)
    ∴∠2=∠3+∠A(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)
    同理,∠4=∠1+∠B
    ∴∠3+∠DCE=∠1+∠B (1)
    ∠1+∠DCE=∠3+∠4(2)
    由(1)+(2),得
    2∠DCE+∠3+∠1=∠1+∠3+∠A+∠B
    ∴2∠DCE=∠A+∠B
    ∵∠ACB=90°(已知)
    ∴∠A+∠B=90°(直角三角形中两个锐角互余)
    ∴2∠DCE=90° ∴∠DCE=45°
    摸底检测1,可设∠ABD=x°,由“等边对等角”可得∠A=2x,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠BDC=3x,从而可推出∠ABC=∠C=3x,再由三角形内角和定理,构造关于x的方程,得3x+3x+2x=180,从而可知x=22.5°,因此∠A=45°,应该选(C).

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2.等腰三角形“三线合一”性质定理的应用,必须注意等腰是前提条件,一条线段为顶角平分线(或底边上的中线或底边上的高线)是必要条件,这两个条件必须同时具备,才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线(其他两条)的结论。我们常常要通过三角形全等构造等腰三角形,从而运用“三线合一”的性质证明角相等,两条线段相等,两条直线垂直。

例2已知:如图AB=AF,BC=FE,∠B=∠F,D是CE的中点.
    求证:AD⊥CE
    分析:在这个五边形中要证明两条直线垂直,显然需要把AD、CE两条线段放到同一三角形中。由于D是CE的中点,因此AD这条线段既是中线又是高线。只有等腰三角形底边上的中线与高线重合,因此连结AC、AE构造等腰三角形成为必由之路。那么,怎样证明AC=AE呢?由已知条件AB=AF,∠B=∠F,BC=FE可推出△ABC≌△AFE,进而可推出AC=AE. 这样利用两个三角形全等,证明两条线段相等,证明思路形成.
  证明:连结AC、AE
   在△ABC和△AFE中,
    ∵AB=AF,∠B=∠F,BC=FE(已知)
    ∴△ABC≌△AFE(SAS)
    ∴AC=AE(全等三角形对应边相等)
    ∴△ACE是等腰三角形(等腰三角形定义)
    ∵D是CE的中点(已知)
    ∴AD⊥CE(等腰三角形底边上的中线与底边上的高线互相重合)
  思考:如果本题要证明∠BCE=∠FED,怎样推理呢?你的依据是什么?若证明∠BAD=∠FAD呢?(证明△ABC≌△AFE后,证明对应角相等,再由等腰三角的性质,等边对等角,及等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合,得到∠BCD=∠FED,∠BAD=∠FAD.
    摸底检测2,利用等腰三角形“三线合一”的性质,作∠BAC的平分线AE,可推出AE⊥BC,这时出现“燕尾”形的Rt△AEB和Rt△CDB,利用直角三角形两个锐角互余及同角的余角相等推出∠BCD=∠BAC,即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半,因此应该选择(C).
  你知不知道?等边三角形中不仅三线合一,而且“四心归一”,分别是:外心、内心、重心、垂心。以后做题时有可能帮你走很多捷径呢!

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3.在较复杂的图形中,能够识别出等边三角形的边和角所分布的三角形,从而通过证明两个三角形全等而证明两条线段相等或两个角相等。利用等边三角形的性质,可以通过旋转变换,进行一题多变,从而寻找规律。

例3已知:点E在AD上,△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:BD+CD=AD
    分析:观察图形,可以发现,△BDE是等边三角形,因此BD=ED,要证BD+CD=AD,只需证CD=AE,而AE、CD又分别在△ABE和△CBD中,若能证明△ABE≌△CBD,自然推出AE=CD . 显然AB=CB,BE=BD. 此时证明∠ABE=∠CBD成为了问题的突破口,由于∠ABC=60°,∠EBD=60°,因而可得到∠ABC=∠EBD,观察图形不难发现,∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD,此时证明思路畅通无阻地形成了.
  证明:∵△ABC是等边三角形,△BED是等边三角形(已知)
    ∴AB=CB,BE=BD(等边三角形定义)
    ∴∠ABC=60°,∠EBD=60°(等边三角形每个内角都等于60°)
    ∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,即∠ABE=∠CBD
    在△ABE和△CBD中
    ∴△ABE≌△CBD(SAS)
    ∴AE=CD(全等三角形对应边相等)
    ∵AE+ED=AD,且ED=BD,∴BD+CD=AD.
  思考:此题图形可看作是以△CBD的BC、BD边为边在BC的同侧作等边△ABC和△BED. 若将△CBD改为直角三角形或改为锐角三角形,再改变一下结论,你细心地体会一下,有什么感悟?(1)已知:如图一,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,△BCE,△ABD均为等边三角形,连结DE. 求证:BE⊥DE.
    (2)已知:如图二,△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC边为边,在△ABC外的等边三角形,CE、BF相交于O,求∠EOB的度数.
                                 
    请你试一试,相信你在例3的帮助下,很快就会形成思路。图二中的∠EOB应等于60°。
    摸底检测3中一个角的平分线又是这个角所对边的垂线,显然只有等腰三角形顶角平分线垂直于底边,但此题是任何一个角的平分线垂直于这个角的对边,显然这个三角形是特殊的等腰三角形,只能是等边三角形,而且在等边三角形中,“三线合一”的线段有三条。因此这个题应该选(B).
   曾经有过一个数学家写了一本小说叫“二维国”,书中写道:“等边三角形是三角阶层中的最尊贵的人物,其它的三角形都拼命地希望自己的后代是等边的。”我们足以看出等边三角形在三角王国中的重要地位。一位哲人说过:“对称即是美。”等边三角形是三角形中最对称的绅士,也是最优雅,最美的。

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[强化练习]

1.判断正误:
(1)等腰三角形的高一定平分底边 ( )
(2)等腰三角形的角平分线垂直平分对边 ( )
(3)等腰三角形的底角平分线垂直一腰 ( )
(4)等腰三角形两腰上的高,中线分别相等 ( )
2.选择题:
(1)底和腰不相等的等腰三角形,其角平分线、中线和高一共有( )条.
    A.3     B.5      C.7       D.9
(2)等腰三角形的底角与相邻角的关系是( )
    A.底角大于等于相邻外角
    B.底角小于等于相邻外角
    C.底角大于相邻外角
    D.底角小于相邻外角
(3)如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,那么这个三角形的底角为( )度.
     A.45°      B.67.5°       C.90°        D.135°
3.解答题:
(1)已知:如图一,在△ABC中,AB=BC,CD平分∠ACB,CE⊥AB于E,∠DCE=57°,求∠ACB的度数.
(2)已知:如图二,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°
                   
(3)如图三,已知:△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CD⊥BD,BD交AC于E,求证:CD=BE

T9.bmp (4966 字节)
图三

提示与答案:
1.×;×;×;√.
    提示:(1)、(2)要注意顶角的条件.
2.C;D;B.
   提示(3):由45°角所在的直角三角形求出顶角等于45°,再由等边对等角和三角形内角和等于180°求出三角形的底角的度数.
3.提示(1)AB=BC,∴∠A=∠1+∠2,∵∠1=∠2 ∴∠A=2∠1,∵∠E=90°,∠DCE=57°,∴∠CDE=33° ∵∠CDE=∠A+∠1,∴2∠1+∠1=33°,∴∠1=11°∴∠ACB=2∠1=22°.

    提示:(2):在BC上截取BE=BA,用SAS证△BED≌△BAD,从而ED=AD,由已知AD=CD,推得CD=ED,则∠C=∠CED. 由两三角形全等又知∠A=∠BED,因此∠A+∠CED=180°,即∠C+∠A=180°.
   提示(3):延长CD、BA交于F. 在△BAE与△BDF中,∠BAE=∠BDF=90°,∴∠F=∠AEB,在Rt△CAF与Rt△BAE中,∠ACF=∠2,AB=AC,因此Rt△CAF≌△BAE,∴BE=CF,由∠1=∠2,BD⊥CD,可知BC=BF,CD=CF,因此CD=BE.

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