如何理解数学教育中问题的开放性——访德国柏林洪堡大学舒尔茨教授(徐斌艳教授)
【专题名称】中学数学教与学【专题号】G35【复印期号】2002年02期
【内容提要】舒尔茨（SCHULZ）教授是德国柏林洪堡大学数学系数学教育专家，他对数学教育中的发现式学习、问题解决以及开放式问题等有着长期、独特的研究，并且经常联合美国与欧洲国家的研究人员，以研讨、著书、撰文等形式共同探讨来自这些领域的问题。作者借在德国柏林洪堡大学访学的机会，特地多次拜访舒尔茨教授，请他就数学教育中的热点问题，尤其是数学问题的开放性发表自己的观点。经过他的允许我将几次的访谈整理成文，发表在此，希冀与同行共享。
徐：尊敬的舒尔茨教授，很荣幸我能有机会直接向您请教问题。从网上我已经认识了您，并且拜读不少您的论著，您在数学问题解决领域的研究，尤其是您对数学问题开放性的阐述，给我们的理论与实践研究提供丰富的资源。
舒：有关数学教育中问题开放性的研究，我们应该记住日本国立教育研究所的一群研究人员。早在70年代，日本教育学家非常关注数学问题解决的研究，他们探索各种加强学生问题解决能力的教学模式，其中的成果之一是从理论与实践上提出有关结果开放的问题解决过程的概念，强调问题解决的实施过程应该因人而异，问题解决过程的多样性会导致解决结果的多样性。作为研究人员应该有勇气面对各种可能的结果，并从不同结果入手，分析学生问题解决的不同思路和策略。
徐：我们应该鼓励学生面对问题情境时，以各种不同的思路和策略进行思考，并着手解决。这是锻炼学生独立识别问题、分析问题与解决问题能力的有效方法。但在教学实践中，学生似乎满足于给出某个标准答案，并没有什么机会或者欲望去探询不同的问题解决策略。
舒：可惜这是一个不可抗拒的事实，我们曾经与美国数学教育家联手，调查两国学校学生问题解决能力水平，结果发现，面对那些条件完备、答案唯一的问题时，学生得心应手。当我们对问题表征稍做调整时，如问题解决可能有多种结果，学生则显得茫然，不善于从表征的信息中识别问题。但是这个能力恰恰是我们适应这个快速发展的时代所必需的。我们所生活的现实世界，充满着丰富并复杂的信息。当我们对这些信息以各种方式进行组合、加工时，有可能解决不同的问题，达到不同的目标。由此看来，在数学教育中进行问题开放性的研究是时代的需求。
徐：近年来，开放数学问题成为数学教育中问题解决的重要工具，这类问题的引进使数学教育更加接近现实数学，使学生充分体验到数学问题解决与现实问题的密切相关性。
舒：确实如此。这里存在两个世界，一是现实世界，二是数学世界。当我们面对来自现实世界的问题时，可以先识别出现实问题的重要特征，并将这些特征翻译为数学语言，从而将现实问题抽象为在数学世界中的某个数学模型，应用数学模型解决数学问题，在解决问题中可能需要新的数学理论。然后要检验，在这个数学世界中获得的结果是否与现实世界提供的数据匹配，并且要思考是否存在其他的数学模型，也就是说需要建构新的数学理论，以便解决现实问题。这个翻译过程或者抽象过程应该是开放式的，其结果不是预先确定的（或者说存在着多种答案）。在这些过程中，学生为了能解决现实情境中的问题，需要通过一系列的思维活动，利用事先学到的知识与能力，或根据需要改善相应的能力。在这种情况下，学生拥有的知识与能力系统越丰富，他们表述情境的方法就越多，表述的质量就越高。
但是传统教学模式执行的是一种相反过程，当一个教师在教学中引进某一新概念时，通常先引进问题，帮助学生了解这新概念的用处，或者根据学生以前学习的知识来构造新概念，引导他们得出某个新理论。也就是说，教学活动直接从数学语言开始，‘转换工作’已经由教师或教科书作者完成。教学活动从数学语言进行到应用数学语言，再到数学结论。紧接着，将数学结论一般化为数学理论，然后安排一套形式练习，用于消化那些学习的一般理论和算法。此外，为了让学生消化吸收新的内容，教师会安排所谓的应用或书面问题。尽管这些问题是用现实世界的术语来描述的，但它们被设计得只有一个固定的答案。例如，在采购问题中，假定费用与购买的数量成比例，即每件3马克。问题中的‘每件3马克’实际上表示的只是两个变量间比例关系的特殊情况。在现实世界中，比例关系是一种买卖双方都接受的数学模型，如果购买大量货物，这个模型可以发生变化。但在所谓的应用问题中，这种情况绝对不会出现，因为购买问题只是用来练习简单的乘除法计算能力。
徐：所以在当前的教育改革中，许多教育家对数学教育进行重新审视，对学习活动成果的唯一性提出质疑，建议实施问题结果开放的教学思想，数学教育过程应该由一系列数学活动构成，也就是从现实问题中提取重要的条件和假设出发，将它们翻译为数学语言，然后判断这些数学概念是否能反映现实问题，如果回答肯定，就进行演绎方法，推导出相应的数学结论，然后将数学结论与来自现实世界的数据进行对比，如果不能匹配，我们应该修正问题的条件，再进行数学化过程。
舒：这是我们近年来进行数学教育改革的热点问题。当然这里建议的数学问题开放性的活动与传统实施的教学活动应该是互补的，不是两者之间选其一。为了促进那种互补关系，我们应该更好地为学生提供许多机会，从多重角度来挖掘问题情境，利用对传统材料的改善设计小规模的教学单元，替代那种一两次的大规模的单元活动。我们要把握这个过程的特征表现，由于问题情境没有预定的结果，学生就会设计各种不同的表述方式，积极地使用那些已经学的或自然获得的知识、技能、观点以及思维方式。有效地实施这种基于开放问题的数学教学，对我们的教师是一个不小的挑战。
徐：这也是我们经常在探讨的问题，如何使习惯于传统教学的教师能合理把握数学教育中问题的开放性。我们的教师承担着较为繁重的教学与教育任务，基本上是利用业余时间，参加培训活动，因此我们希望培训达到事半功倍的效果。
舒：这是我们从事数学教育研究者的责任。我在这几年里的很大一部分精力用于教师的培训。当然，我的培训概念是宏观的，也就是说，在对师范生的培养中我们就注重对最新教学思想、教学模式的传播。这种传播应该是主动、积极的。我们以师生共同研讨的形式组织对师范生的数学教育。一种新的教育思想的介绍常常会引起师范生的热烈讨论，在讨论的同时，我们鼓励学生收集或编制合适的数学开放问题，并要求他们论述编制的思路以及可能的教学方法。学生对数学教学理论学习也应该是非常主动，我们鼓励学生通过各种媒体收集有关数学问题开放性的研究，学生在相互合作中了解到不少精彩的网站，有的是大学数学教育研究人员创建的，有的是一线教师主持的专题讨论。通过这种研讨型的课程，我们发现学生的学习能力、研究能力不断提高，另对教学理论的热情也有很大提高，逐渐改变着‘你开发理论，我使用’的被动状态。
令我感动的是与一线教师的培训过程。我们的教师是否参与培训是自愿决定的，我们研究人员开出培训的菜单，教师可以自己选择希望参与的培训课程。有关开放性数学问题研究的课程开设后，受到许多教师的关心。我们的培训基本是在中学进行的，在与教师一起探讨数学问题的开放性理论后，我们以传统问题为蓝本，与教师一起将传统问题改善为开放性问题，并探讨可能的教学方法。另外我们总是邀请有经验的教师开设相应的观摩课，然后参与该教学活动的学生会转换角色，以教师的身份给参与培训的教师谈论自己参与这种教学活动的感想，以及编制开放问题的思路。
徐：这类培训模式非常有启发意义，它强调培训者与被培训者的互动、互助，这个整体构成一个学习、创造的共同体。我想它不仅仅是我们数学教育课程培训的模式，也可以为其他培训所借鉴。欢迎你到我们学校访问，与我们的研究人员或教师一起探讨教育理论以及教育培训模式。
舒：非常乐意。中国数学教育应该是处于世界领先的，尤其是经过TIMSS后，欧洲国家纷纷对各自的数学教学理论与实践进行反省，并且兴起了学习亚洲数学教育模式的浪潮。你的关于中国数学教育改革的报告在我们之间引起了很大反响。
徐：谢谢你给我的这次机会，使我能够给德国的同行报告我们的改革动向，我更希望你们能给我们的数学教育提出建议。我还有一个问题，就是体现新数学教学思想效益的评价问题。没有相应的评价机制作支撑，理论会显得苍白，没有说服力。
舒：针对某个开放式问题学生往往有各种不同的反映或回答，因此对教师来说比较难以进行评价，我们认为在此可以采用以下几方面对学生活动进行评价，首先教师可以准备一份列举各种可能答案的表格，按照数学特征将这些可能的答案进行分类。在上课期间，检验学生实际给出的回答，并将答案记录到表格相应的空栏中。评价指标可以包括思维的流畅性，即每个学生面对开放性问题能够给出多少合理的解答；思维的灵活性，即每个学生能够发现多少不同的数学思想；思维的创意性，即学生表达的数学思想是否有原创性。思维的流畅性和灵活性指标属于定量评价范畴，而创意性指标可以看作定性的评价指标。另外我们要注重学生表达自己思想的不同表征形式，我们发现一些学生擅长用文字清晰地表述自己的解答，而另一些学生人则能以数学符号或代数表达式简洁、精致地表达自己的数学观点。
徐：多元表征思想是我们教育理论中非常重要的话题。我在进行博士论文的写作中，以德国数学教育家施万克教授的认知结构差异理论为基础，对学生的数学思维进行实验研究，发现学生在分析、建构数学概念时表现出自己的认知特长，有的擅长分析概念的特征以及概念之间的关系，进行特征性思维；有的擅长分析概念的效用以及概念变化的过程，进行功能性思维。为让学生充分发挥自己的认知特长，我们提供多元的问题表征方式，使得学生有机会挑选适合自己的思维方式的表征工具，表达自己的内部思想。
舒：这些研究很有意义。我们也观察到，不同的学生喜欢用不同的方式表达自己的思想，这是学生不同思维方式的表现，我们不能将这差异看作评价学生成绩差异的指标。我们也发现，有些学生由于在某方面的思维非常突出，而另一方面的思维方式则非常弱，因此当要求他们解决不适应自己思维方式的问题时，显得束手无策。我们的教育任务在于，首先是尊重学生特有的思维方式，另外应该探讨一种教学模式，训练学生的思维方式的转换能力或翻译能力，使学生面对不同类型问题时，都有解决的能力。
徐：基于开放数学问题的数学教学模式，使学生能更积极地参与到课堂教学中，并且经常表达自己的想法；学生拥有更多的机会，全面地使用其数学知识和技能；另外一些成绩较差学生（也许因为思维方式的干扰）也能够以他们自己的方式回答问题；学生能够从内心被动员起来论证自己解决问题的方式方法；另外学生积累丰富的经验，乐于发现并接受其他同学的论证方式。
舒：你分析得很有道理，希望我们能够有机会进行实质性的合作，共同探讨数学教与学的理论与实践，交流开放性数学问题设计的思想与策略。
徐：如果我们能够联手合作研究，定能促进两国的数学教育发展。非常感谢你的热情接待，以及精辟的观点。^
