用放缩法证明不等式

不等式是高考数学中 的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的 变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要 依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。

  ⒈利用三角形的三边关系

［例1］        已知a，b，c是△ABC的三边，求证：  

 证明：﹥∵=为增函数，又∵∴。

点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。

⒉利用函数的单调性

［例2］        求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。

证明：  原不等式变形为    ，

 令      则 

        ，所以  。

即  是单调增函数（n=2，3，…），所以  。故原不等式成立。

点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。

⒊利用基本不等式

［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－

证明：,

设   （1）

    （2）

（1）+（2）得

                       

点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。

⒋利用绝对值不等式

［例4］设=，当时，总有，求证：。

证明：∵，∴，，，

又∵∴

所以，∴=7。

点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。

⒌利用不等式和等比数列求和

［例5］求证：。

证明：=，利用不等式

∴﹤=﹤。

点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。

⒍ 利用错位相减法求和

［例6］已知a₁, a₂, a₃, ……, a_n, ……构成一等差数列，其前n项和为S_n＝n², 设b_n＝,

记{b_n}的前n项和为T_n, (1) 求数列{a_n}的通项公式；(2) 证明：T_n<1。

  解：(1) a₁＝S₁＝1, 当n≥2时, a_n＝S_n－S_n－1＝2n－1; 由于n＝1时符合公式，

∴ a_n＝2n－1 (n≥1).  (2) T_n＝, ∴ T_n＝,

   两式相减得T_n＝＋＝＋(1－)－,

   ∴ T_n＝＋(1－)－<1。

⒎ 利用裂项法求和

［例7］已知函数在上有定义，且满足①对任意的

②当时，.证明不等式.

证明：令，则.令，则，故在上为奇函数.

设，且由可得

，则由题有，故，即，所以为 上减函数.从而函数在时，.

所以，即

.

点评：本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力，分析问题能力，变形能力，可以用数学归纳法证明不等式，但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单

⒏利用二项式定理展开

［例8］已知数列满足(n∈N^*),是的前n项的和，并且．

   （1）求数列的前项的和；   （2）证明：≤．（3）求证：

解： (1)由题意得

两式相减得

所以再相加

所以数列是等差数列．又又  

所以数列的前项的和为．           

         

        

而    ≤.

（3）证明：

  

点评：这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了与 a_n 的关系，有些学生没有对a_n中的n进行讨论，也没有合并，虽用了二项式展开，但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。