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用放缩法证明不等式

2012-03-01  老爷子喜...

不等式高考数学中 的难点,而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具,在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的 变形能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性,难在找中间量,难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时,要 依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的放缩方法。

  ⒈利用三角形的三边关系

[例1]        已知a,b,c是△ABC的三边,求证:  

 证明:=增函数,又∵

点评:学生知道要利用三角形的三边关系,但无法找到放缩的方法,难在构造函数

⒉利用函数的单调性

[例2]        求证:对于一切大于1的自然数n,恒有

证明:  原不等式变形为   

 令      则 

        ,所以 

即  用放缩法证明不等式是单调增函数(n=2,3,…),所以  。故原不等式成立。

点评:一开始学生就用数学归纳法进行尝试,结果失败,就放弃了。若使不等式的右边变为常数,再用单调性放缩就好了。

⒊利用基本不等式

[例3]已知f(x)=x+(x﹥0) 求证:

证明:,

   (1)

    (2)

(1)+(2)得

                       

点评:用数学归纳法证明,思路简单,但是难度很大,可以通过二项式定理展开,倒序法与基本不等式相结合进行放缩。

⒋利用绝对值不等式

[例4]设=,当时,总有,求证:

证明:∵,∴用放缩法证明不等式

又∵

所以,∴=7。

点评:本题是一道函数与绝对值不等式综合题,学生不能找到解题的突破口,关键在于找到a,b,c与f(0),f(1),f(-1)的联系,再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。

⒌利用不等式和等比数列求和

[例5]求证:

证明:=,利用不等式

=

点评:有些学生两次用错位相减进行放缩,但是没有找到恰当的变形放缩,对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合,再利用等比数列求和放缩就到了。

⒍ 利用错位相减法求和

[例6]已知a1, a2, a3, ……, an, ……构成一等差数列,其前n项和为Snn2, 设bn,

记{bn}的前n项和为Tn, (1) 求数列{an}的通项公式;(2) 证明:Tn<1。

  解:(1) a1S1=1, 当n≥2时, anSnSn1=2n-1; 由于n=1时符合公式,

an=2n-1 (n≥1).  (2) Tn, ∴ Tn,

   两式相减得Tn(1-用放缩法证明不等式)-,

   ∴ Tn(1-)-<1。

⒎ 利用裂项法求和

[例7]已知函数上有定义,且满足①对任意的

②当时,.证明不等式.

证明:令,则.令,则,故上为奇函数.

,且由可得

,则由题有,故,即,所以上减函数.从而函数时,.

所以,即

.

点评:本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力,分析问题能力,变形能力,可以用数学归纳法证明不等式,但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单

⒏利用二项式定理展开

[例8]已知数列满足(n∈N*),的前n项的和,并且

   (1)求数列的前项的和;   (2)证明:.(3)求证:

解: (1)由题意

两式相减得

所以再相加

所以数列是等差数列.又  

所以数列的前项的和为.           

         

        

  *  .

(3)证明:

  

点评:这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了an 的关系,有些学生没有对an中的n进行讨论,也没有合并,虽用了二项式展开,但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。

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