“几何面积”在高中物理中的应用
一、v--t图的“面积”表示位移
例1．如图所示，AB弧为物体做直线运动的v—t图图线，若物体运动的初速度为v1，末速度为v2,则物体在时间t内的平均速度为：
D.无法确定
解析：连接直线AB，设直线AB与时间轴所围“面积”为S1，弧AB与时间轴所围“面积”为S2。S1表示物体做匀加速直线运动的位移,S2表示物体做变加速直线运动的位移，由几何关系得：S1
由平均速度的定义得：
可见B正确
例2．物体从某高度自由滑下，第一次沿着光滑斜面AB滑到底端所用的时间为t1，第二次沿着光滑曲面ACD滑到底端所用的时间为t2,且两次经过的路程都相等，如图2所示，则
A．t1>t2B.t1=t2C.t1
解析：因斜面的高度相同，根据动能定理
得:
可见物体运动的末速度相同
而两次物体运动的路程相同，可见物体沿着AB运动的位移s1大于沿着ACD运动的位移s2
物体沿着光滑斜面下滑的加速度为a=gsinα
据此作出物体运动的v—t图线如图3所示
因v—t图的面积表示位移，故t1>t2
二．F—x的“面积”表示变力所做的功
例3．一弹簧的劲度为k，伸长量为x，求弹簧的弹力对物体做的功。
解析：弹簧的弹力的大小为F=kx，作出F—x图象如图4所示，则“三角形的面积”表示弹力做的功
三．p—V图的面积表示流体做的功
例4．一定质量的某种理想气体经过下面两个过程，体积由V1膨胀到V2,第一次经过等压膨胀，第二次经过等温膨胀,如图5所示，则两过程气体对外做的功W1____W2
解析：p—V图的图线与V轴所围的面积表示气体做的功。
由几何面积知W1>W2
例5．人的心脏每跳一次，大约输送8×10-5m3的血液。正常人的血压平均值约为p=1.5×104pa,心跳约每分钟N＝70次，据此估测心脏工作的平均功率。
解析：作出血压随输送血液总体积的图象关系得
心脏每分钟做功W=pNV0
心脏工作的功率为P＝W/t=pNV0/t=75w
四．i—t图的面积表示通过导体某横截面的电荷量
例5.如图7所示，恒定电流的大小与正弦交流电的最大值相同，则在交流电的半个周期内，通过导线横截面的电荷量大小关系是：Δq1__Δq2
解析：i—t图线与时间轴所围的面积表示电荷量
故Δq1＞Δq2
五．F—t图的面积表示冲量
例7．一个物体由静止开始在水平恒外力F的作用下先做匀加速直线运动经过时间t1，后做匀速直线运动经过时间t2,最后撤去外力经过时间t3物体停止运动，设物体的质量为m，求摩擦因数μ
解析：物体运动的v—t图如图所示，F—t图的面积表示动力的冲量，根据动量定理得：
Ft1+μmgt2－μmg(t1+t2+t3)=0
解得：
总之，“几何面积”的物理意义及其在高中物理中的运用，要求我们知道，并能运用它解决一些实际问题。
（1）类似公式：s=v·Δt,q=i·Δt,I=F·Δt,w=F·Δx,w=p·Δv……都有相同的物理意义。
（2）在高中物理计算题中，上述物理量速度、电流、力、压强都要取平均值计算。
（3）上面各公式正是高等数学定积分的思想。
（4）理解“几何面积”的物理意义，可以帮助我们搞清物理概念，直观地、高效地、多角度地思考物理问题。
（5）物理概念是解题之鱼，学习方法是解题之渔。
带电粒子在电场中运动问题的“几何”解法
例1．如图1所示，AB是一对平行电极板，在极板之间加上如图2所示的交流电，有一电子从A板的小孔由静止开始在电场力作用下运动，设AB极板间距足够大，试分析下述情况下电子在电场中的运动情况。
（1）t=0时电子进入；（2）t=T/4时电子进入；
（3）t=T/8时电子进入；（4）t=3T/8时电子进入．
解析：（1）依题意，电子受到的合力就是电场力，其大小是F=Eq=Uq/d＝ma可见a∝u，电子受到的电场力即合外力随时间变化也是方波型的，加速度随着时间的变化也是方波形的。从t=0时计时，电子运动的加速度如图3所示．
而速度时间图象的斜率表示加速度，从而得出电子运动的速度图线如图4所示．
v—t图的“面积”表示电子运动的位移，位移始终是正值，可见电子一直向B板运动．
（2）若电子是从t=T/4时刻进入的，同理可作出电子运动的加速度随时间变化的图线如图5所示，由图4据速度与加速度的关系作出速度时间图象如图6所示．
由v—t图象“面积”的物理意义知，电子做往返直线运动．
（3）若电子是从t=T/8时刻进入的，同理可作出电子运动的加速度随时间变化的图线如图7所示
由图4据速度和加速谎报关系作出速度时间图象如图8所示．
由v—t图象的物理意义知，电子从A往B先加速后减速，然后返回来加速从A孔打出．
（3）若电子是从t=T/8时刻进入的，同理可作出电子运动的加速度随时间变化的图线如图9所示，
由图4据速度和加速度的关系作出速度时间图象如图10所示．
由v—t图象的物理意义知，电子从A往B先加速后减速，然后返回来又加速再减速，最后从B孔打出．
变式：
若上述所加的电压是正弦交流电，t=0时电子从A板开始运动，电子的运动类似以上哪一种情况？
由F=Eq=Uq/d=ma及前面的问题不难看出，电子运动的加速度——时间图象也是正弦曲线，又由速度图象的斜率表示加速度，得出速度时间图象是余弦曲线。
由上面问题（2）知电子做往返的运动，但是变加速运动。
若上述所加的电压是余弦交流电，t=0时电子从A板开始运动，电子的运动又类似以上哪一种情况?
电子运动的加速度、速度图象的情况应等效于问题（1），电子将先加速，后减速，又加速，再减速，……最终一直向前运动。
当然上面的一类问题还可以运用F合—t图象的“面积”表示动量的变化，从而作出动量时间图象P—t图，也即v—t图象，从而运用速度时间图象“面积”的物理意义，同样可得结果。
教学方法
42
v
t
0
图1
A
B
t
v
0
t2t1
A
B
C
D
图2
x
F
0
图4
x
F
v
p
0
图5
A
P2
B
P1
v1
v2
C
p
V
V0
0
图6
p
I
t
i
0
图7
T/2
F
t
v
0
图8
f
T2T
u
t
0
图2
u
～
图1
B
A
a
图3
t
0
T2T
2T2T
v
t
0
图4
T2T
t
v
0
图6
T2T
a
t
0
图5
T2T
0
F
t
T
2T
图7
T
t
v
0
2T
图8
t
T
v
0
2T
图10
t
T
a
图9
0
T
U（a）
图11
t
0
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