电磁感应的轨道模型之一
单根导体棒以恒定初速度v0开始运动问题
太原市第十二中学姚维明
模型建构：
【模型一】轨道、杆与电阻构成的回路
【模型】水平光滑轨道足够长，匀强磁场方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动，外电阻为R，其他电阻不计。
【特点】有一个动生电源，导体棒只受一个安培阻力的作用做减速运动，加速度在不断减小，最后可能静止，可能做匀速直线运动。
模型典案：
【典案1】如图所示，水平光滑轨道足够长，轨道的宽度都是l，匀强磁场的大小为B，方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动，外电阻为R，轨道电阻及导体棒的电阻都不计。试分析导体棒的运动过程，判断导体棒最终的运动情况，并作出其v-t图象。
【解析】如图所示,导体切割磁感线产生感应电动势
安培力
根据牛顿第二定律：得：
v↓→a↓当v=0时，a=0导体棒最终静止。
v-t图象如图所示
模型体验：
【体验1】如图所示，、是间距为的平行金属导轨，置于磁感强度为、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，、间接有一阻值为的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为／2的金属导线垂直导轨放置以速度向右匀速滑动以速度向右滑动
（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。
。
由牛顿第二定律得：即，
∴。
，∴。
【模型二】轨道、杆与电源构成的回路
【模型】光滑水平平行轨道足够长，匀强磁场的方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动。电源电动势为E，外电阻为R，其他电阻不计。
【特点】有一个恒定电源，还有一个动生电源，导体棒只受一个安培阻力的作用，可能做加速运动，做减速运动，也可能做匀速运动，加速度可能增大、减小，也可能为零，最终只能做匀速直线运动。
模型典案：
【典案1】如图所示，水平光滑轨道足够长，轨道的宽度都是l，匀强磁场的大小为B，方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动。电源电动势为E，外电阻为R，其他电阻不计。试分析导体棒的运动过程，判断导体棒最终的运动情况，并作出其v-t图象。
【解析】本案例分三种情况讨论
（1）若E>Blv0,则电源总电动势为,
安培力方向向右,导体棒做加速运动。
v↑→a↓，当时，做匀速直线运动。
（2）若E=Blv0,则电源总电动势为=0
导体棒开始就做匀速直线运动
（2）若E
安培力方向向左,导体棒做减速运动。
v↓→a↓，当时，做匀速直线运动。
v-t图象如图所示，最终都是匀速运动
模型体验：
【体验1】如图所示，水平平行光滑轨道足够长，轨道的宽度都是l，电源电动势为E，外电阻为R，其他电阻不计，匀强磁场的大小为B，方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动。分析导体棒的运动情况，说明最终做什么运动，并作出v-t图象。
【解析】电源总电动势为,
安培力方向左,导体棒向右做减速运动。
，导体棒反向减速运动。
当v=0时，,导体棒返回向左加速
此时电源总电动势为,
导体棒受到的安培力
v↑→a↓当时，a=0
导体棒又开始就做匀速直线运动
运动的v-t图象如右图
【体验2】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ=7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度
ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：
所以m/s=3.75m/s．
（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
V=3V
由于＞，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：A=1.5A
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N
所以要使ab以恒定速度m/s向右运动，必须有水平向右的恒力N作用于ab．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W
②电阻（R+r）产生焦耳热的功率：W=2.25W
③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W
由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．，
3、两个极值规律
当v=0时，E反=0，电流、安培力和加速度最大且分别为
这就是大型电动机启动时，为了防止电流过大而烧坏绕组线圈是串联启动电阻的原因。
当a=0时，ΣF=0，速度最大，电流最小，安培力最小。
据平衡条件有：
μmg=Fmin=BIminl=
所以最大速度为：
当μ=0时，，即E=Blvm=E反，这是电路中电流为零。
【模型三】轨道、杆与电容器构成的回路
【模型】已知轨道足够长，轨道的宽度都是l，匀强磁场的大小为B，方向始终与轨道平面垂直，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动，外电阻为R，其他电阻不计。轨道串联一个电容器,开始时电容器不带电。
【特点】有一个动生电源，电容器开始被充电，当电容器上的电压与电源电动势E相等时，充电完毕，电荷不再移动，最终导体棒只能做匀速直线运动。
模型典案：
【案例1】如图所示，光滑轨道足够长，轨道的宽度都是l，匀强磁场的大小为B，方向始终与轨道平面垂直，外电阻为R，轨道电阻及导体棒的电阻都不计，轨道串联一个电容器,开始时电容器不带电，导体棒与双轨也垂直，并且以初速度v0开始运动。试分析导体棒的运动过程，判断导体棒最终的运动情况，并作出其v-t图象。
【解析】导体棒向右运动，产生感应电动势
电容器开始被充电，产生充电电流，导体棒从而受到了安培阻力作用，做减速运动，当电容器上的电压UC=Blv时，电荷不再转移，导体棒做匀速直线运动。
其v-t图图象如图所示.
模型体验：
【体验1】光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。
【解析】当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：
Blv=UC=q/C
而对导体棒ab利用牛顿第二定律可得：
由上述二式可求得：
【体验2】如图所示，光滑水平轨道的间距为l，处在大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。导轨上皆有电动势为E的电源和电容为C的电容器，一根质量为m的导体静止在导轨上，若将单刀双掷开关s先掷于位置1，对电容器充电；然后掷于位置2，让电容器放电。
1、电路特点：放电式导轨
2、电流特点：当电容器对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直到电流为零为止。
3、运动特点：导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当电流为零时，速度达到最大值，然后开始做匀速运动。
4、匀速运动的条件
电流I=0，即导体的反电动势等于电容器的电压
U=E反=Blvm
电容器的充电电压为E，放电过程中电压降低；导体在加速过程中速度增加，凡电动势增大当导体中的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，导体开始以最大速度vm匀速运动。
5、最大速度的计算
根据电容器的充电量为Q0=CE，放电结束时的电量为Q=CU=CBlvm，素以电容器放电结束时的电量为ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm①
根据动量定理有mvm=ΣFΔt=ΣBilΔt=BlΔQ②
所以，导体的最大速度为
顺便指出，此结果代入①式，还可计算出电容器的放电量。
根据动量定理和动能定理，安培力对导体的冲量为
安培力对导体做功为
建构物理模型，巧手解决问题
1
×××××
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v0
R
B
l
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×××××
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v0
R
B
l
F
t
v
0
v0
E
E
v
t
v
t
t
v
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a
b
C
v0
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