2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
文科数学
（贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径
选择题
（1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则Cu(MN)=
(A){5，7}（B）{2，4}（C）{2.4.8}（D）{1，3，5，6，7}
（2）函数y=(x0)的反函数是
（A）（x0）（B）（x0）
（B）（x0）（D）（x0）
（3）函数y=的图像
（A）关于原点对称（B）关于主线对称
（C）关于轴对称（D）关于直线对称
（4）已知△ABC中，，则
(A)(B)(C)(D)
（5）已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线
与所形成角的余弦值为
（A）(B)(C)(D)
（6）已知向量=(2,1)，·=10，︱+︱=，则︱︱=
（A）（B）（C）5（D）25
（7）设则
（A）（B）（C）（D）
（8）双曲线的渐近线与圆相切，则r=
（A）（B）2（C）3（D）6
（9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
(A)(B)(C)(D)
（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种
（11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=
(A)(B)(C)(D)
（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是
（A）南（B）北（C）西（D）下
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.
（13）设等比数列{}的前n项和为。若，则=×
（14）的展开式中的系数为×
（15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于×
（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于×
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。
（17）（本小题满分10分）
已知等差数列{}中，求{}前n项和.
（18）（本小题满分12分）
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
（20）（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
（21）（本小题满分12分），其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
文科数学参考答案
（1）C（2）B（3）A（4）D（5）C（6）C
（7）B（8）A（9）D（10）C（11）D（12）B
（13）3（14）6（15）（16）8π
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}
则
A{5，7}B{2，4}C{2,4,8}D{1,3,5,7}
解析：集合的并补运算
答案：C
2．函数的反函数是
ABCD
解析：反函数概念
答案：B
3．函数的图像
A关于原点对称B关于直线对称C关于轴对称D关于直线对称
解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算
答案：A
4．3.已知ABC中，cotA=,则cosA=
（A）（B）（C）(D)
解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号
答案：D
5．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为
（A）(B)(C)(D)
解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900
答案：C
6．已知向量，,,则
（A）(B)(C)5(D)25
答案：C
解析：将平方即可
7．，则
(A)(B)(C)(D)
解析：将判断即可
答案：B
8．双曲线的渐近线与圆相切，则r=
AB2C3D6
解析：联立消y得x的一元二次方程，由判别式为0，得r=
答案：A
9．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数
的图像重合，则的最小值为
（A）(B)(C)(D)
解析：由可得
答案：D
10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（A）6种（B）12种（C）30种（D）36种
解析：由得
答案：C
11．已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=（A）(B)(C)(D)
解析：由一元二次根系关系出，由抛物线定义出，三式联立得k
答案：D
12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标的面的方位是
（A）南（B）北（C）西（D）
解析：空间想象几何体还原能力
答案：B
13．设等比数列的前项和为.若.
解析：由条件得q3=3，所以
答案：3
14．的展开式中的系数为.
解析：
答案：6
15．已知圆O：和点A（1，2），过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
解析：由切线方程 得横、纵截距分别为5和，得面积为
答案：
16．设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于.
解析：由小圆面积得小圆的，由得，所以
答案：8
17．解：
设的公差为，则
即
解得
因此
（18）解：
由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故，
或（舍去），
于是B=或B=.
又由知或
所以B=。
（19）解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.
解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，0），=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故°，求得
于是，
，
°
所以与平面所成的角为30°
（20）解：
（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。
（II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
（III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
与独立，，且
故
（21）解：
（I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知
即
解得1
故的取值范围是（1，6）.
（22）解：
（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为
故，
由
得，=
（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。
由（Ⅰ）知C的方程为+=6.设
(ⅰ)
C成立的充要条件是，且
整理得
故①
将
于是,=,
代入①解得，，此时
于是=，即
因此，当时，，；
当时，，。
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。
综上，C上存在点使成立，此时的方程为
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